巧用線段圖解決行程問題

劉佳

數(shù)學(xué)解題策略有很多種，其中畫線段圖是最基本的一種. 行程問題類型較多，有的問題文字?jǐn)⑹霰容^抽象，數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，解決起來有些困難. 利用線段圖可以將一些抽象的數(shù)學(xué)問題具體化，把一些復(fù)雜的問題簡單化，幫助我們找到問題中的數(shù)量關(guān)系.

一、 相遇、追及類問題

【例1】 甲、乙兩站相距480 km，一列慢車從甲站開出，每小時(shí)行90 km，一列快車從乙站開出，每小時(shí)行140 km.

（1） 慢車先開出1小時(shí)，快車再開，兩車相向而行，問快車開出多少小時(shí)后兩車相遇？

【解析】 設(shè)快車開出x小時(shí)后兩車相遇. 根據(jù)題意畫出線段圖：

從圖中可以看出，本題的等量關(guān)系為：慢車1小時(shí)的路程+慢車x小時(shí)的路程+快車x小時(shí)的路程=480 km.

用方程表示為：90+90x+140x=480，解得：x=.

（2） 兩車同時(shí)開出，相背而行，多少小時(shí)后兩車相距600 km？

【解析】 設(shè)x小時(shí)后兩車相距600 km.

根據(jù)題意畫出線段圖：

從圖中可以看出，本題的等量關(guān)系為：快車行駛路程+慢車行駛路程+480 km=600 km，用方程表示為：90x+140x+480=600，解得x=.

（3） 兩車同時(shí)開出，慢車在快車后面同向而行，多少小時(shí)后快車與慢車相距600 km？

【解析】 設(shè)x小時(shí)后快車與慢車相距600 km.

根據(jù)題意畫出線段圖：

從圖中可以看出，本題的等量關(guān)系為：快車行駛路程+480 km=慢車行駛路程+600 km，用方程表示為：140x+480=90x+600，解得x=.

（4） 慢車開出l小時(shí)后兩車同向而行，快車在慢車后面，快車開出后多少小時(shí)追上慢車？

【解析】 設(shè)快車開出后x小時(shí)追上慢車.根據(jù)題意畫出線段圖：

從圖中可以看出，本題的等量關(guān)系為：慢車1小時(shí)的路程+慢車x小時(shí)的路程+480 km=快車x小時(shí)行駛的路程，用方程表示為：90+90x+480=140x，解得x=.

【說明】 由這道題我們可以看出，在審題過程中，如果能把文字語言變成圖形語言——線段圖，即可使問題更加直觀，等量關(guān)系更加清晰. 我們只要設(shè)出未知數(shù)，并把線段圖表達(dá)的意義用代數(shù)式表示出來，便可得到方程.

二、 利用線段圖幫助分析，間接找到解決問題的方案

【例2】 從甲地到乙地的路程有一段平路和一段上坡路. 如果騎自行車保持平路每小時(shí)行15 km，上坡每小時(shí)行10 km，下坡每小時(shí)行18 km，那么從甲地到乙地需29 min，從乙地到甲地需要25 min，從甲地到乙地的路程是多少？

【解析】 首先根據(jù)題中的描述畫出線段圖：

由線段圖我們可以看出，往返過程中上坡路程等于下坡路程，而平路路程是相同的，且平路的行駛速度不變，故往返過程中在平路所花時(shí)間相同，由此可知，往返的時(shí)間差主要是上坡路和下坡路的時(shí)間差，即：上坡所花時(shí)間-下坡所花時(shí)間=29 min-25 min.

設(shè)上坡路為x km.

-=-，解得：x=.

甲地到乙地的路程為：

15×

-+=6.5（km）.

【說明】 本題雖不能直接由線段圖找到等量關(guān)系，但是線段圖卻可以幫助我們找到問題中隱含的數(shù)量關(guān)系，從而挖掘出解決問題的等量關(guān)系.

三、 利用線段圖解決環(huán)形跑道問題

【例3】 一條環(huán)形跑道長400 m，小虎每分鐘跑450 m，小兵每分鐘跑250 m.

（1） 兩人同時(shí)同地背向起跑，多少分鐘后他們首次相遇？

【解析】本題是環(huán)形跑道，雖不是直線，但是我們可以將跑道拉直，轉(zhuǎn)化成線段圖，如圖：

設(shè)x分鐘后他們首次相遇.

由圖可得：450x+250x=400，解得：x=.

（2） 兩人同時(shí)同地同向起跑，多少分鐘后他們首次相遇？

設(shè)x分鐘后他們首次相遇.

由圖可得：250x+400=450x，解得：x=2.

【總結(jié)】掌握一種解題方法比做一百道題更重要，實(shí)踐證明，利用線段圖具有直觀性、形象性、實(shí)用性，對(duì)于解答應(yīng)用題有很大幫助. 希望同學(xué)們能養(yǎng)成畫線段圖的好習(xí)慣，體會(huì)線段圖的優(yōu)點(diǎn)，找到解題的樂趣.

（作者單位：江蘇省常州外國語學(xué)校）