勾股定理常見錯題剖析

蔡銳

本章學(xué)習(xí)的勾股定理是初中幾何的一個重點內(nèi)容. 一開始，有些同學(xué)由于各種原因常會犯一些錯誤. 在這里我們選了一些例子共同來探討，希望大家參考借鑒，在以后的學(xué)習(xí)中避免類似錯誤的發(fā)生.

一、 審題不清，思維定勢

例1 已知直角三角形的兩邊長分別為3、4，求第三邊長的平方.

【錯解】第三邊長的平方為32+42=52=25.

【錯解原因】題目中并沒有指明3和4是直角邊，而以3、4、5為三邊的直角三角形也是大家所希望得到的結(jié)果.

【正解】（1） 當(dāng)兩直角邊為3和4時，第三邊長的平方為25；

（2） 當(dāng)斜邊為4，一直角邊為3時，第三邊長的平方為7.

【點評】因大家習(xí)慣了“勾三股四弦五”的說法，即意味著兩直角邊為3和4時，斜邊長為5. 但這一理解的前提是3、4為直角邊. 而本題中并未加以任何說明，因而所求的第三邊可能為斜邊，但也可能為直角邊，審題時不夠仔細(xì)，又加上思維定勢的影響造成了本題的錯誤.

例2 在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，且 （a+b）（a-b）=c2，則（ ）.

A. ∠A為直角 B. ∠C為直角

C. ∠B為直角 D. 不是直角三角形

【錯解】選B.

【錯解原因】因為常見的直角三角形表示時，一般將直角標(biāo)注為∠C，經(jīng)常就習(xí)慣性地認(rèn)為∠C一定表示直角，加之對本題所給條件的分析不縝密，導(dǎo)致錯誤.

【正解】選A. 該題中的條件應(yīng)轉(zhuǎn)化為a2-b2=c2，即b2+c2=a2. 故直角是∠A.

【點評】與之前類似，當(dāng)遇到問題時部分同學(xué)常會有以c為斜邊、∠C為直角等一些“習(xí)慣上”的看法.

二、 勾股定理及其逆定理概念理解不透

例3 下列各組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)，可以作為直角三角形的三邊長的是（ ）.

A. 1、2、3

B. 32、42、52

C. 、、

D. 、、

【錯解】選B.

【錯解原因】不能清晰透徹地理解勾股定理及其逆定理，對概念的理解流于表面形式.

【正解】因為（）2+（）2=（）2，故選C.

【點評】利用勾股定理逆定理判斷一個三角形是否為直角三角形時，應(yīng)把三角形的三邊長度分別平方，再看是否滿足a2+b2=c2的形式.

例4 如圖1，在△ABC中，BC邊上有一點D，連接AD，AB=10，AC=17，BD=6，AD=8，求BC長度.

【錯解】在△ADC中，

因為AC=17，AD=8，

所以DC2=AC2-AD2=172-82=225，

所以DC=15，所以BC=BD+DC=21.

【錯解原因】看似沒有問題的解答過程卻有一個“致命的漏洞”，還沒有判斷出△ADC是否為直角三角形就已經(jīng)開始利用勾股定理解題了.

【正解】在△ABD中，

因為AB=10，BD=6，AD=8，

即AD2+BD2=AB2，

所以△ABD為直角三角形，

所以∠ADB=∠ADC=90°.

在Rt△ADC中，

因為AC=17，AD=8，

所以DC2=AC2-AD2=172-82=225，

即DC=15，

所以BC=BD+DC=21.

【點評】由于基本概念理解不夠透徹，忽略了勾股定理應(yīng)用的前提條件，這是造成本題錯誤的主要原因，而勾股定理逆定理的應(yīng)用剛好可以解決本題的難點.

三、 考慮問題不夠全面，造成漏解

例5 已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC邊上的高AD=8，則邊BC的長為（ ）.

A. 21 B. 15

C. 6 D. 以上答案都不對

【錯解】選A.

【錯解原因】高線AD可能在三角形的內(nèi)部也可能在三角形的外部，本題應(yīng)分兩種情況進行討論. 分別依據(jù)勾股定理即可求解.

【正解】在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理，得BD=15；

在直角三角形ACD中，根據(jù)勾股定理，得CD=6.

當(dāng)AD在三角形ABC的內(nèi)部時，BC=15+6=21；

當(dāng)AD在三角形ABC的外部時，BC=15-6=9. 則BC的長是21或9.

故選D.

【點評】本題沒有給出圖形，也沒有告知△ABC的形狀特征，所以開頭就應(yīng)考慮到多種情況的可能性. 當(dāng)遇到涉及三角形的高的題目時，要注意高的位置可能在三角形的內(nèi)部，也可能在三角形的外部，應(yīng)該分別畫出圖形再進一步求解.

鞏固練習(xí)：

1. 下列命題中，是假命題的是（ ）.

A. 在△ABC中，若∠B+∠C=∠A，則△ABC是直角三角形

B. 在△ABC中，若a2=（b+c）（b-c），則△ABC是直角三角形

C. 在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，則△ABC是直角三角形

D. 在△ABC中，若a∶b∶c=5∶4∶3，則△ABC是直角三角形

2. 下列各組數(shù)作為三邊長，能構(gòu)成直角三角形的是（ ）.

A. 4，5，6 B. 1，1，

C. 6，8，11 D. 5，12，23

3. 一直角三角形的三邊分別為2，3，x，那么以x為邊長的正方形的面積為（ ）.

A. 13 B. 5

C. 13或5 D. 4

4. 如圖2，在△ABC中，AB=17 cm，BC=16 cm，BC邊上的中線AD=15 cm，求AC.

（作者單位：江蘇省鎮(zhèn)江市第三中學(xué)）