關(guān)于平分三角形面積的直線(xiàn)的討論

趙俊達(dá)

關(guān)于“過(guò)一點(diǎn)作平分三角形面積的直線(xiàn)”的問(wèn)題，文[1]通過(guò)將一個(gè)三角形（其頂點(diǎn)為一邊的中點(diǎn)、一個(gè)頂點(diǎn)和已知點(diǎn)）進(jìn)行旋轉(zhuǎn)、位似變換，構(gòu)建相似三角形，利用比例線(xiàn)段溝通面積之間的關(guān)系，使該問(wèn)題獲得了一個(gè)較為簡(jiǎn)單的思路.但由于已知點(diǎn)的位置情況、解的情況比較復(fù)雜，對(duì)旋轉(zhuǎn)、位似中心以及中點(diǎn)的選取給人以說(shuō)不清、道不明的感覺(jué).筆者經(jīng)過(guò)深入研究，對(duì)平分三角形面積的直線(xiàn)有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，現(xiàn)整理如下，算是對(duì)文[1]的補(bǔ)充，不當(dāng)之處，歡迎批評(píng)指正.

1關(guān)于平分三角形面積的直線(xiàn)所交邊的確定

如圖1，AD、BE、CF是△ABC的中線(xiàn)，點(diǎn)O是重心，點(diǎn)P在對(duì)頂角∠BOD或∠AOE內(nèi).設(shè)想將點(diǎn)D向點(diǎn)B移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)A向E移動(dòng)，保持CD×CA不變.當(dāng)點(diǎn)D移到B時(shí)，點(diǎn)A正好移到E.可見(jiàn)直線(xiàn)AD在上述變化過(guò)程中必然掃過(guò)點(diǎn)P，即經(jīng)過(guò)點(diǎn)P必有一條平分△ABC面積的直線(xiàn)和線(xiàn)段AE、BD相交，也就是與∠ACB的兩邊相交（不排除經(jīng)過(guò)點(diǎn)P還圖1有平分△ABC面積的直線(xiàn)與AB、AC相交）.因此構(gòu)造△CPD或△CPE，用文[1]的方法以點(diǎn)C為中心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)、位似變換必然能作出這條直線(xiàn).

說(shuō)明：（1）點(diǎn)P不論在△ABC內(nèi)，還是在△ABC外，只要點(diǎn)P在對(duì)頂角∠BOD或∠AOE內(nèi)，都可用這個(gè)方法.如圖2、3、4、5，連接PD、PC，將∠PCD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使射線(xiàn)CP與射線(xiàn)CA重合，得∠ACQ.作射線(xiàn)AQ，使∠CAQ=∠CPD，AQ交CQ于Q.過(guò)點(diǎn)P作PT∥BC交直線(xiàn)QC于點(diǎn)T，過(guò)點(diǎn)P、Q、T作圓交AC于N，則直線(xiàn)PN就是所求（證明略）.

（2）作法成功與否還與過(guò)點(diǎn)P、Q、T的圓是否可作相關(guān)，即點(diǎn)P、Q、T是否不在同一直線(xiàn)上.事實(shí)上，當(dāng)點(diǎn)P在∠ACB的角平分線(xiàn)上時(shí)，如圖6，同樣構(gòu)造△ACQ∽△PCD，這時(shí)點(diǎn)Q在直線(xiàn)CP上，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)PL∥BC時(shí)，直線(xiàn)PL與CQ的交點(diǎn)T就是點(diǎn)P，因此過(guò)點(diǎn)P、Q、T的圓有無(wú)數(shù)個(gè)，但其中與直線(xiàn)PL相切的圓只有一個(gè)，設(shè)該圓交AC于N，直線(xiàn)PN就是所求.其證明如下：

由于PL是切線(xiàn)，PL∥BC，故∠CMP=∠LPN=∠NQT，又因?yàn)镃P平分∠ACB，所以△PCM∽△ACQ，所以CM×CN=CP×CQ；由△ACQ∽△PCD，得CA×CD=CP×CQ，所以CM×CN=CA×CD.

2過(guò)已知點(diǎn)平分三角形面積的直線(xiàn)的條數(shù)

如圖7，△ABC中，中線(xiàn)AD、BE、CF相交于點(diǎn)G，點(diǎn)I、J、K分別是三條中線(xiàn)的中點(diǎn).點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿折線(xiàn)ACD移動(dòng)、點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)沿折線(xiàn)DBA移動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，并始終保持直線(xiàn)MN平分△ABC面積.在此過(guò)程中，直線(xiàn)MN與所有平分△ABC面積的直線(xiàn)都重合了一次（除起始和結(jié)束與AD各重合一次以外）.利用幾何畫(huà)板進(jìn)行演示發(fā)現(xiàn)：

在△ABC所在的平面內(nèi)，在由三條“雙曲線(xiàn)段”IJ、JK、KI所圍成的區(qū)域（不含邊界）內(nèi)所有的點(diǎn)都被直線(xiàn)MN掃過(guò)3次，故經(jīng)過(guò)這些點(diǎn)平分△ABC面積的直線(xiàn)都有3條.如圖7，當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段GB、GD和“雙曲線(xiàn)段”JK圍成的區(qū)域內(nèi)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P的的3條平分△ABC面積直線(xiàn)中，1條與CA、CB相交，另外2條都分別與AB、AC相交.

在上述區(qū)域邊界上除點(diǎn)I、J、K外其余的點(diǎn)都被掃過(guò)2次，故經(jīng)過(guò)這些點(diǎn)有且只有2條直線(xiàn)平分△ABC面積.

經(jīng)過(guò)上述區(qū)域以外的點(diǎn)只有1條直線(xiàn)平分△ABC面積.

不存在這樣的點(diǎn)P，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P有3條以上的直線(xiàn)平分△ABC面積.

參考文獻(xiàn)

[1]黃良春.過(guò)任意一點(diǎn)作三角形面積平分線(xiàn)的問(wèn)題研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2014（8）：38.endprint