《一個四邊形的面積引發(fā)的思考》再思考

鄒守文

文[1]中童永芳老師解決了：如右圖，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，△ABD，△ACE，△BFC都是等邊三角形，求四邊形ADFE的面積.

在解完題目后，作者得到：顯然，

當(dāng)∠BAC>90°時，則S四邊形ADFE>S△ABC；

當(dāng)∠BAC=90°時，則S四邊形ADFE=S△ABC；

當(dāng)∠BAC<90°時，則S四邊形ADFE

當(dāng)∠BAC=60°時，四邊形ADFE不存在.

在敬仰童老師的研究精神的同時，發(fā)現(xiàn)該結(jié)論不完全正確，因為當(dāng)∠BAC=30°時，S四邊形ADFE=2S△ABC，故作如下商榷：

設(shè)∠BAC=θ，由三角形的面積公式知，

S△ABC=12AB·ACsinθ，

S四邊形ADFE=AB·ACsin（360°-120°-θ）=

AB·ACsin（240°-θ），

所以S四邊形ADFES△ABC=AB·ACsin（240°-θ）12AB·ACsinθ=2sin（240°-θ）sinθ=f（θ），

所以f（θ）=2sin（240°-θ）sinθ=

2sin（60°-θ）sinθ（0°<θ<60°），

2sin（θ-60°）sinθ（60°<θ<180°），

化簡得f（θ）=3cotθ-1（0°<θ<60°），

1-3cotθ（60°<θ<180°）.

當(dāng)60°<θ<90°時，有S四邊形ADFE

當(dāng)θ=90°時，則S四邊形ADFE=S△ABC；

當(dāng)90°<θ<180°時，則S四邊形ADFE>S△ABC.

當(dāng)0°<θ<60°時，f（θ）=1，即3cotθ-1=1，有cotθ=23，θ=arccot23.

因為cotθ在0°<θ<60°上為減函數(shù)，所以

當(dāng)arccot23<θ<60°時，01.

綜合上述分析，我們可以得到：

定理△ABC中，以AB、AC、BC向同側(cè)作等邊三角形△ABD，△ACE，△BFC，如果A、D、F、E能組成四邊形，則四邊形ADFE是平行四邊形，且當(dāng)60°<∠BAC<90°或arccot23<∠BAC<60°時，S四邊形ADFES△ABC.特別，當(dāng)∠BAC=30°時，S四邊形ADFE=2S△ABC，當(dāng)∠BAC=150°時，S四邊形ADFE=4S△ABC.

參考文獻

[1]童永芳.一個四邊形的面積引發(fā)的思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2014（4）：52.