柱面螺線的一般方程＊

張巧媚，紀永強

（湖州師范學(xué)院 理學(xué)院，浙江 湖州313000）

0 引 言

設(shè)C：r＝r（s）是空間撓曲線，s是曲線C的弧長，在文獻［1］中有如下定義：若曲線C上每一點的單位切矢量e1（s）與定幺矢量δ成定角θ，即

則稱曲線C是柱面螺線.由文獻［1］有：

定理1［1］空間撓曲線C：r＝r（s）是柱面螺線的充要條件是：曲線C上每一點的曲率k（s）與撓率τ（s）之比是非零常數(shù)a，即.

由文獻［2］得下面定理成立.

定理2［2］設(shè)曲線C：r＝r（s）是柱面螺線，S：ρ（s，v）＝r（s）＋ve2（s）是曲線C的主法線曲面，e2（s）是曲線C的單位主法矢量，C1：ρ1（s）＝r（s）＋e2（s）是曲線C的曲率中心軌跡.

（1）若C1是曲面S上的一條漸近線，則柱面螺線C是圓柱螺線.

（2）若C1是曲面S上的一條測地線，則柱面螺線C的一般方程是：

設(shè)C：r＝r（s）是柱面螺線，曲線C的副法線曲面S的方程是：

其中：e3（s）是曲線C的單位副法矢量.曲線C的撓率中心軌跡C1的方程是：

顯然，曲線C1在曲面S上.當C1是曲面S上的一條漸近線或C1是曲面S上的一條測地線時，可得柱面螺線C的具體方程.

由文獻［1］可知，空間撓曲線C的基本公式是：

設(shè)s1是曲線C1的弧長，對（3）式關(guān)于s求導(dǎo)得：

（6）式表明，沿曲線C1，曲面S的切矢量ρv與曲線C1的單位切矢量α1線性無關(guān).因此，沿曲線C1，曲面S的單位法矢量是：

其中：ε＝±1.對（5）式兩邊關(guān)于s求導(dǎo)，并由（4）式得：

另外，在文獻［3］給出了柱面螺線的一般方程：

其中：θ為定角；x（s）和y（s）是任意函數(shù).

事實上，x（s）和y（s）是滿足某個條件的函數(shù)，不是任意函數(shù).反例：曲線C：r（s）＝不是柱面螺線.

下面給出x（s）和y（s）滿足具體的條件，使得曲線為柱面螺線.

1 定理及其證明

定理1 設(shè)C：r＝r（s）是柱面螺線，若曲線C的撓率中心軌跡C1是曲線C的副法線曲面S上的一條漸近線，則柱面螺線C的一般方程是：

其中：

證明 由（6）式可知，曲面S的法矢量n（s）與曲線C1的單位切矢量α1正交，即它們的內(nèi)積為零，即

由（7）式得：

在（8）式兩邊與n（s）作內(nèi)積得：

由文獻［1］知，法曲率kn的定義是：

所以（11）式為：

由此可得，曲線C1是曲面S上的漸近線的充要條件是：沿曲線C1，法曲率kn≡0，由（13）式得：

由文獻［4］得柱面螺線C的方程是：

其中：

定理2 設(shè)C：r＝r（s）是柱面螺線，＝a≠0.若曲線C的撓率中心軌跡C1是曲線C的副法線曲面S上的一條測地線，則柱面螺線C的一般方程是：

證明 將（5）式兩邊與曲面的法矢量n作外積，并由（7）式得：

由（8）式兩邊與（n×α1）作內(nèi)積得：

由文獻［1］中測地曲率kg的定義知，kg＝n，α1，（ ），所以（17）式為：

由此可得，曲線C1是曲線C的副法線曲面S上的測地線的充要條件是：沿曲線C1，測地曲率kg≡0.由（18）式得：

因為τ≠0，令t＝，得：

（19）式兩邊關(guān)于s求導(dǎo)得，解得：

將（20）式代入（19）式得：

由文獻［4］得柱面螺線C的方程是：

其中：

定理3 設(shè)C：r（s）＝（x（s），y（s），z（s））是柱面螺線，δ＝（0，0，1）為定幺矢量，則柱面螺線C的一般方程是：

其中：θ為定角；x（s）和y（s）是滿足方程

的任意函數(shù).

證明 曲線C的單位切矢量是：

又δ＝（0，0，1），因為曲線C是柱面螺線，由（1）式得：

即（s）＝cosθ，其中θ為定角，所以z（s）＝scosθ.

又因為e1（s）是曲線C的單位切矢量，所以（s）2＋（s）2＋（s）2＝1.由此可得：

方程（26）式表示的柱面螺線是圓柱螺線.

［1］紀永強.微分幾何［M］.北京：高等教育出版社，2009.

［2］張量.兩種特殊的螺旋線［J］.數(shù)學(xué)的實踐與認識，2011，41（12）：187－190.

［3］梅向明，黃敬之.微分幾何［M］.北京：高等教育出版社，1988.

［4］沈純理，黃宣國.微分幾何［M］.北京：經(jīng)濟科學(xué)出版社，1997.