W （0，1）型代數(shù)的二維中心擴(kuò)張的導(dǎo)子代數(shù)＊

張嘉盛，高壽蘭

（湖州師范學(xué)院 理學(xué)院，浙江 湖州313000）

0 引 言

文獻(xiàn)［1］中引入了一類W（a，b）型李代數(shù)，它有一組基｛Lm，Jm，｜m∈Z｝，滿足下列李運(yùn)算：

文獻(xiàn)［1］對(duì)W（a，b）型李代數(shù)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了研究，確定了它們的2－上同調(diào)群.特別地，對(duì)于W（0，1）型李代數(shù)有：

本文計(jì)算了帶有α1、α3的W（0，1）的二維中心擴(kuò)張P的導(dǎo)子代數(shù)，確定P有四個(gè)外導(dǎo)子.

本文用Z和C分別表示整數(shù)集和復(fù)數(shù)域，所有的向量空間都是復(fù)數(shù)域C上的線性空間.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1.1［2］設(shè)M是一個(gè)交換群，g＝⊕m∈Mgm是M－階化李代數(shù).g－模V稱為是M－階化的，如果V＝Vn，gmVn?Vm＋n，?m，n∈M.

定義1.2［2］設(shè)g是李代數(shù)，V是g－模.線性映射D：g→V稱為一個(gè)導(dǎo)子，如果對(duì)任意的x，y∈g，有：

如果存在某個(gè)v∈V，使得D：x→x·v，那么稱D為內(nèi)導(dǎo)子.

設(shè)g是李代數(shù)，V是g－模.記所有的導(dǎo)子張成的空間和內(nèi)導(dǎo)子張成的空間分別為Der（g，V）、Inn（g，V）.令H1（g，V）＝Der（g，V）／Inn（g，V）.為了方便，記g的導(dǎo)子代數(shù)和內(nèi)導(dǎo)子代數(shù)分別為Der（g）、Inn（g）.

2 李代數(shù)P 的導(dǎo)子

定義2.1［1］李代數(shù)P是復(fù)數(shù)域C上的線性空間，有一組基｛Lm，Jm，C1，C2｜m∈Z｝，對(duì)任意的m，n∈Z滿足下列李運(yùn)算：

顯然，P有2維中心span｛C1，C2｝.易知P是有限生成的，｛L－1，L－2，L1，L2，J1｝是P的一組生成元.P有一個(gè)自然的Z－階化：P＝Pm，其中Pm＝span｛Lm，Jm，δm，0C1，δm，0C2｝，從而由文獻(xiàn)［2］中命題1.1得下列引理：

引理2.1 Der（P）＝（Der（P））m，對(duì)任意的Dm∈（Der（P））m，Dm（Pn）?Pm＋n，?m，n∈Z.

引理2.2H1（P0，Pm）＝0，?m∈Z＼｛0｝.

證明 對(duì)于任意的μ∈H1（P0，Pm），設(shè)

其中：pi，ji∈C；i＝1，2，3，4.

由μ［L0，C1］＝［μ（L0），C1］＋［L0，μ（C1）］，得：

從而有p3＝0，j3＝0，即μ（C1）＝0.

由μ［P0，C2］＝［μ（P0），C2］＋［P0，μ（C2）］，得：

因此p4＝0，j4＝0，即μ（C2）＝0.

由μ［L0，J0］＝［μ（L0），J0］＋［L0，μ（J0）］，得：

所以

則p2＝0，p1＋j2＝0，即μ（J0）＝－p1Jm.由此可得：

故μ∈Inn（P0，Pm）.由此可得：

引理2.3 HomP0（Pm，Pn）＝0，?m，n∈Z，且m≠n.

證明 設(shè)m≠n時(shí)，對(duì)任意的f∈HomP0（Pm，Pn），有：

即

所以f（Em）＝0，從而可得f＝0.此引理成立.

根據(jù)引理2.2和引理2.3，以及文獻(xiàn)［2］中命題1.2得下列引理：

引理2.4 Der（P）＝Der（P）0＋I(xiàn)nn（P）.

定理2.1H1（P，P）＝CD1⊕CD2⊕CD3⊕CD4，其中：D1（Jm）＝Jm；D1（C2）＝C2；D2（Jm）＝δm，0C1；D3（Jm）＝δm，0C2；D4（Lm）＝m2Jm＋δm，0C2；其余為零.

證明 對(duì)任意D∈（Der（P））0，設(shè)

其中：，qij，xij∈C；i，j＝1，2.

由D［Lm，Ln］＝［D（Lm），Ln］＋［Lm，D（Ln）］，得：

在（1）式中，令m＝0，n≠0，則有＝0，從而可得：

在（5）式中，令n＝－m，則有：

把n＝1代入（5）式中，得：

當(dāng)m≥2時(shí)，由上式進(jìn)行歸納可得：

在（5）式中，令m＝－2，n＝1，并由（6）式得＝2，從而可得：

在（2）式中，當(dāng)m＞0時(shí)，令n＝1，則有：

從而可得：

將上述等式等號(hào)兩邊相乘后，得：

在（2）式中，令m＝2，n＝－1，則有3＝－，從而可得：

在（2）式中，當(dāng)m＜0時(shí)，令n＝－1，則有：

從而可得：

在（2）式中，令m＝－2，n＝1，則有＝3＋，從而可得：

在（2）式中，令m＋n＝0，則有＝0，從而可得：

在（3）式中，令n＝－m，則有：

從而可得：

即

因?yàn)榇耸綄?duì)任意m都成立，故q11＝0，x11＝0.

由（4）式可得對(duì)任意的m∈Z，有：

則

即

因?yàn)椋?）式對(duì)任意m都成立，故x12＝0，.

由D［Lm，Jn］＝［D（Lm），Jn］＋［Lm，D（Jn）］，得：

在（8）式中，當(dāng)n≠0時(shí)，有＝0，再令m＝1，n＝0，即可得＝0，從而可得＝0，?m∈Z.

在（9）式中，當(dāng)m＋n≠0時(shí)，有：

令n＝0，則有：

在（10）式中，令n＝－m，得：

則有x21＝0.

由（11）式得：

則

設(shè)a＝，2b＝＋，c＝，d＝，e＝q21，f＝q22，則有：

令D0＝ad（－aL0＋（c－b）J0），則有：

令＝D－D0，則有：

從而可得：

其中：D1（Jm）＝Jm；D1（C2）＝C2；D2（Jm）＝δm，0C1；D3（Jm）＝δm，0C2；D4（Lm）＝m2Jm＋δm，0C2；其余為零.這里D1，D2，D3，D4是P的4個(gè)線性無(wú)關(guān)的外導(dǎo)子.

定理證畢.

定理2.2 Der（P）＝Inn（P）⊕CD1⊕CD2⊕CD3⊕CD4，其中D1，D2，D3，D4如定理2.1所定義.

［1］Gao S，Jiang C，Pei Y.Low－dimensional cohomology groups of the Lie algebrasW（a，b）［J］.Comm Alg，2011，39（2）：397－423.

［2］Farnsteiner R.Derivations and extensions of finitely generated graded Lie algebras［J］.J Algebra，1988，118（1）：34－45.