五點(diǎn)數(shù)值微分公式及其外推算法

夏愛(ài)生，夏軍劍，張會(huì)鵬

(軍事交通學(xué)院 基礎(chǔ)部，天津300161)

目前的《數(shù)值分析》教材都給出了插值型的二階三點(diǎn)(等距)數(shù)值微分公式，并給出中間節(jié)點(diǎn)x2的余項(xiàng)，其截?cái)嗾`差為O(h2)，該公式精度較低且沒(méi)有給出一階和二階五點(diǎn)數(shù)值微分公式及其余項(xiàng)。本文首先推出了中間節(jié)點(diǎn)x2處一階五點(diǎn)數(shù)值微分公式和二階五點(diǎn)數(shù)值微分公式，然后求出其截?cái)嗾`差的漸進(jìn)展開(kāi)式，利用Richardson 外推算法提高節(jié)點(diǎn)x2處數(shù)值微分公式的精度和其收斂階數(shù)。

1 中間節(jié)點(diǎn)x2 一階和二階五點(diǎn)數(shù)值微分公式

設(shè)f(x)為定義在區(qū)間上［a，b］的函數(shù)，給定f(x)在節(jié)點(diǎn)a=x0＜x1＜x2＜x3＜x4=b處的函數(shù)值為f(xk)(k= 0，1，2，3，4)。且x0、x1、x2、x3、x4為等距節(jié)點(diǎn)，即x4-x3=x3-x2=x2-x1=x1-x0=h，f(x)在x2的某領(lǐng)域U(x2，δ1)內(nèi)任意次可微［1］。

由

得到

式中L4(x)為4 次Lagrange 插值多項(xiàng)式。

2 中間節(jié)點(diǎn)x2 一階和二階數(shù)值微分公式的外推

根據(jù)已知條件，利用Taylor 公式，分別將f(x0)、f(x1)、f(x3)和f(x4)在U(x2，δ1)內(nèi)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)［2］:

將式(3)—(6)代入式(1)，得到［3］

所以

有

對(duì)于固定節(jié)點(diǎn)x2，顯然是與h無(wú)關(guān)的常數(shù)。故式(8)符合Richardson 外推算法［4］，所以有

由16 ×式(9)-式(8)，得到

以此類推，可遞推序列如下

式中S1，k+1(h)的截?cái)嗾`差為O(h2(k+2))，且k=1，2，…。

利用Richardson 外推算法經(jīng)次外推后得到高精度的一階數(shù)值微分公式f'(x2)≈S1，k+1(h)，將截?cái)嗾`差由原來(lái)的O(h4)減小為O(h2(k+2))，k=1，2，…。

將式(3)—(6)代入式(2)，得到

對(duì)于固定節(jié)點(diǎn)x2，顯然是與h無(wú)關(guān)的常數(shù)。故式(12)符合Richardson 外推算法［4］，所以有

以此類推，可遞推序列如下

式中S2，k+1(h)的截?cái)嗾`差為O(h2(k+2))，且k=1，2，…。

即利用Richardson 外推算法經(jīng)k次外推后，得到高精度的二階數(shù)值微分公式f″(x2)≈S2，k+1(h)，將截?cái)嗾`差由原來(lái)O(h4)減小為O(h2(k+2))(k=1，2，…)。

3 結(jié) 語(yǔ)

通過(guò)本文的推導(dǎo)分析，中間節(jié)點(diǎn)x2的一階、二階數(shù)值微分公式經(jīng)k次外推后得到的公式能以較快的速度收斂于精確值，且其截?cái)嗾`差減小為O(h2(k+2))(k=1，2，…)，其精度大大提高。

［1］ 翟瑞彩，謝偉松. 數(shù)值分析［M］. 天津:天津大學(xué)出版社，2000:201-212.

［2］ 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.微積分:上冊(cè)［M］.北京:高等教育出版社，2000:141-149.

［3］ 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.微積分:下冊(cè)［M］.北京:高等教育出版社，2000:287-306.

［4］ 鄧建中.Richardson 外推算法及其應(yīng)用［M］.北京:科學(xué)出版社，1999:125-201.