針對不可展曲面的近似展開方法淺析

羅振華+蔣芬+蔣威

摘 要：隨著市場發(fā)展和人們生活質(zhì)量的提升，現(xiàn)代工業(yè)產(chǎn)品造型越來越復(fù)雜多樣。復(fù)雜曲面大多通過平面材料加工而成，對不可展曲面的近似展開已成為工業(yè)設(shè)計的重要課題。該文對近20年來常用的不可展曲面的近似展開方法進(jìn)行了分析、總結(jié)和歸納。

關(guān)鍵詞：不可展曲面 ?近似展開 ?市場

中圖分類號：T-9 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）10（c）-0051-02

Analysis of the Approximate Development Algorithms for Undevelopable Surfaces

LUO Zhenhua1 ?JIANG Fen1 ?JIANG Wei2

（1.Wuhan University of Technology Huaxia College， Wuhan Hubei， 430223;2.Shanghai High School， Shanghai， 200231，China）

Abstract：With the development of market and the improvement of people's living quality， modern industrial product design is more and more complicated. Most complex surfaces are processed by plane materials， the approximate development of undevelopable surfaces has become the important subject of industrial design. In this paper， the approximate development algorithms of undevelopable surfaces in recent twenty years are analyzed， summarized and concluded.

Key Words：Undevelopable Surface ?Approximate development ?Market

隨著市場發(fā)展和人們生活質(zhì)量的提升，現(xiàn)代工業(yè)產(chǎn)品造型越來越復(fù)雜多樣，而在工業(yè)生產(chǎn)過程中，許多情形下曲面是通過對平面材料的加工而來的。為了節(jié)約原材料并提高生產(chǎn)效率，對不可展曲面的近似展開成為CAGD（Computer Aided Geometric Design）與工業(yè)制造中的重要課題。早在公元二世紀(jì)，希臘天文學(xué)家Ptolemy就提出了利用球面上的經(jīng)線與緯線將球面展開到平面的方法。然而對于復(fù)雜曲面的展開問題一直沒能很好地解決，直到近20年來，隨著計算機技術(shù)的不斷進(jìn)步，許多新的方法被學(xué)者們提出來。總的說來這些方法可以分為物理方法與幾何方法。

1 不可展曲面的物理展開方法

20世紀(jì)50年代，前蘇聯(lián)物理學(xué)家楚達(dá)列夫提出了滑移線法。滑移線是曲面上每點的兩個最大剪應(yīng)力方向的包絡(luò)線?；凭€理論表明，處于屈服狀態(tài)的物體，塑性形變就沿著滑移線方向進(jìn)行滑移。由于適用于滑移線方法的材料是要滿足一系列較為理想的假設(shè)條件的，因此，其應(yīng)用范圍受到了這些較為嚴(yán)苛的假設(shè)條件的限制。到了20世紀(jì)80年代，比擬法應(yīng)用較廣。這一方法的主要思路是，通過模擬材料內(nèi)部介質(zhì)在受到外力時的流動模型來探尋在實際加工中產(chǎn)生的形變。根據(jù)材料的不同特性衍生出了不同的模擬物理模型，常見的方法有電模擬法，熱傳導(dǎo)法，以及流體法。

電模擬法：對于不可壓縮的各向同性剛體，其塑性流動方程如下：

?2φ?x2+?2φ?y2=0 ? ? ? ?（1）

（1）式中φ表示流場速度的勢函數(shù)，這完全和電壓場中電壓U所應(yīng)滿足的方程一樣：

?2U?x2+?2U?y2=0 ? ? ? ? （2）

于是可以通過實驗的方式用金屬絲模型來測量出電流的流動，進(jìn)而模擬出變形后材料的外形。與之類似的熱傳導(dǎo)法針對在變形過程中滿足熱傳導(dǎo)方程的材料，而流體法則用來模擬易于流動的一類材料。從這里可以看出不僅材料的性質(zhì)制約著比擬法的應(yīng)用范圍，而且需要采用實驗的方法模擬材料的變形過程也不易于操作。有限元算法出現(xiàn)在20世紀(jì)60年代，目前被廣泛地應(yīng)用到各個領(lǐng)域中。用有限元來展開曲面要先研究每一小塊物質(zhì)單元的變形性質(zhì)，來獲得一個合理的目標(biāo)函數(shù)求解出最優(yōu)值，進(jìn)而得到所求的展開結(jié)果，C.H.Lee，H.Hu在1998年提出了一種簡單有效的目標(biāo)函數(shù)：

minJp=en（he-h0）p1p ? ? ? （3）

（3）式中n表示節(jié)點數(shù)，he為單元的厚度，h0為初始的厚度，p為罰因子。

有限元算法是一種結(jié)果較為精確，并且可以反復(fù)連續(xù)地優(yōu)化多次的方法。但是計算量十分巨大，花費時間較長。

2 不可展曲面的幾何展開方法

從幾何的角度講曲面展開就是去尋求如下的一一映射：φ：S→Ω ? ? ? （4）

這里S是一個三維曲面，Ω是平面上的一個區(qū)域。評判某種展開算法效果的優(yōu)劣主要是計算曲面與其近似展開的平面區(qū)域之間的一些幾何量的變化程度，通常作為判斷標(biāo)準(zhǔn)的幾何量有邊長（弧長），角度，面積等。由于算法對象是不可展曲面，因此上述幾何量勢必會發(fā)生變化，以哪種幾何量作為判斷標(biāo)準(zhǔn)，需要根據(jù)實際需要來決定。近20年來通過幾何方法研究曲面展開主要有兩種算法：參數(shù)映射法和網(wǎng)格細(xì)分算法。endprint

2.1 參數(shù)映射法

參數(shù)映射法就是從某一類映射中去找合適的映射φ，在這類方法中線性參數(shù)映射是形式最簡潔，研究最深入，應(yīng)用最廣泛的一類方法，具體的實現(xiàn)步驟可以歸納成以下幾步：第一步，將三角化曲面的邊界網(wǎng)格頂點，映射到平面的一個凸多邊形。第二步，在展開平面上，其內(nèi)部網(wǎng)格點可以寫成其相鄰網(wǎng)格點的凸組合：

φv=w∈Nvμvwφ（w） ? ? ? ?（5）

Nv為所有與v相鄰的網(wǎng)格點的集合。記V1表示所有曲面內(nèi)部網(wǎng)格點的集合，Vb表示所有曲面邊界網(wǎng)格點的集合，將式（5）中的內(nèi)部頂點與邊界頂點進(jìn)行分離，（5）式可以寫成如下形式：φv-w∈NV ∩V1μVWφw=w∈NV∩VbμVWφw （6）

將（6）寫成矩陣形式AX=B，這里X=φ（v）v∈V1為列向量，B是列向量，其元素由（6）式右端給出，A=awvw，v∈V1，且滿足：awv=1，w=v-μvw，w∈Nv0， otherwise求解這個線性方程組就可以得到φ的形式。不同的μvw的取值方式，會形成不同的展開結(jié)果。

2.2 網(wǎng)格細(xì)分算法

網(wǎng)格細(xì)分算法的發(fā)展時間不長，但是這種方法對曲面本身的形狀要求很低，因此被廣泛地應(yīng)用到工業(yè)設(shè)計領(lǐng)域。其主要思路是將曲面細(xì)分成小的三角片或四邊形片區(qū)域，然后將這些小的三角片和四邊形片拼到同一個平面上，目前主要有以下兩種拼接方式。第一種方式是以曲面上某個網(wǎng)格點為中心，按照某種方式先拼接中心附近的三角片或四邊形片，再依次按算法規(guī)律向外拓展。龐林，劉玉君等提出了一種保形映射的方法，文章中將曲面近似展開時，允許每個三角片的三個內(nèi)角發(fā)生變化而三角片的某兩條邊長度不變。依此方法是從展開中心開始，先橫向拼接，再縱向拼接，這樣的保形映射在展開的中心位置有比較好的吻合結(jié)果，而在離中心越遠(yuǎn)者形狀會無法保持，同時在縱向拼接時會產(chǎn)生縫隙，康小明等在其文章中提出了另一種保面積的拼接方法，通過在拼接時邊長的伸縮保證映射前后的每個四邊形片的面積不發(fā)生變化，但與龐林等人的方法類似的也會遇到離中心越遠(yuǎn)者形狀的偏差會很大。網(wǎng)格細(xì)分算法的研究大多是將細(xì)分后的曲面在一個平面上以某種方式拼接在一起，這類算法的特點在于簡潔方便，易于計算。其主要不可克服的缺陷就是過度的保證第一塊或前幾塊被映射到平面的曲面片的性質(zhì)，同時這些方法也缺乏對近似展開后的圖形與原曲面的差別比較。

3 結(jié)語

目前，網(wǎng)格細(xì)分算法被廣泛應(yīng)用與工業(yè)設(shè)計制造中。為保證其在展開過程中形變向量達(dá)到最小，展開結(jié)果與原曲面盡可能保持一致，還需要在網(wǎng)格細(xì)分算法的基礎(chǔ)上進(jìn)一步優(yōu)化。

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