《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》教學(xué)改革探討

朱淑芹，班朝磊

（聊城大學(xué) a.計算機學(xué)院；b.材料科學(xué)與工程學(xué)院，山東 聊城 252000）

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》教學(xué)改革探討

朱淑芹a，班朝磊b

（聊城大學(xué) a.計算機學(xué)院；b.材料科學(xué)與工程學(xué)院，山東 聊城 252000）

本文嘗試從引入數(shù)學(xué)史，案例教學(xué)法，注重科學(xué)思維和科學(xué)方法的培養(yǎng)，提煉知識、把握脈絡(luò)，統(tǒng)計軟件輔助實踐，考核形式六方面闡述《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程教學(xué)改革的一些問題。

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》；案例教學(xué)法；教學(xué)改革

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程是大學(xué)數(shù)學(xué)公共基礎(chǔ)課程之一，是一門應(yīng)用性很強的學(xué)科，它從數(shù)量上研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性，在先進(jìn)材料設(shè)計、計算機模擬計算、天氣預(yù)報、人口統(tǒng)計等眾多科學(xué)技術(shù)與人類實踐活動中運用概率統(tǒng)計的知識去解決問題。它對培養(yǎng)學(xué)生處理“隨機”的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本能力和綜合素質(zhì)具有其他課程不能替代的作用，然而，怎樣才能使學(xué)生從傳統(tǒng)的確定性思維模式進(jìn)入隨機性思維模式，進(jìn)而學(xué)好這門重要課程是相關(guān)教師面臨的挑戰(zhàn)。筆者結(jié)合自身的教學(xué)經(jīng)歷，從以下幾個方面進(jìn)行了教學(xué)改革，取得了一定的教學(xué)效果。

一、引入數(shù)學(xué)史，增強趣味性

在教學(xué)中引入一些教材中沒有出現(xiàn)的相關(guān)數(shù)學(xué)史，特別是介紹數(shù)學(xué)家的生平軼事及其對本學(xué)科的貢獻(xiàn)，往往能吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并且也會提高他們的問題意識與思維能力。例如上第一次課時，可以首先從著名的“德·梅耳問題”與“分賭注問題”出發(fā)，向?qū)W生介紹概率論與數(shù)理統(tǒng)計的起源和發(fā)展，在此過程中穿插講解數(shù)學(xué)家帕斯卡、費馬、惠更斯、拉普拉斯、馬爾科夫、辛欽等的貢獻(xiàn)；在講解概率的公理化定義時，可講解前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫的生平及其提出的“概率的公理化定義”的重要意義；在講解幾何概率時可以穿插介紹幾何概率開創(chuàng)者蒲豐的生平，以及由蒲豐投針試驗所產(chǎn)生的蒙特卡洛方法的影響；在講解中心極限定理時，可以穿插講解伯努利、切比雪夫、李雅普諾夫等數(shù)學(xué)家的生平；在講解“t-分布”時，告訴學(xué)生“t-分布”還有一個名稱——學(xué)生氏分布，然后介紹“開創(chuàng)了小樣本理論的先河”的英國數(shù)學(xué)家戈塞特提出該分布的艱辛過程。這些數(shù)學(xué)家的故事不僅可以讓學(xué)生慢慢對這門課程產(chǎn)生興趣，還在無形中了解了豐富的數(shù)學(xué)文化，而且提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

二、案例教學(xué)法，突出趣味性

目前數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師普遍采用給出概念、公式、定理，然后再去解釋概念、推導(dǎo)公式、證明定理的教學(xué)方式，學(xué)生感覺枯燥無味，學(xué)習(xí)興趣會大大降低。案例教學(xué)法是把案例作為一種教學(xué)工具，把學(xué)生引導(dǎo)到實際問題中去，通過分析與互相討論，調(diào)動學(xué)生的主動性和積極性，并提出解決問題的基本方法和途徑的一種教學(xué)方法。通過案例教學(xué)把所學(xué)的理論知識和實際生活結(jié)合起來，把抽象的數(shù)學(xué)與生動有趣的案例結(jié)合起來，培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問題的能力。例如在講授全概率公式和貝葉斯公式時首先可提出這樣一個有趣的問題：假如你有機會參加電視臺的一檔娛樂節(jié)日，主持人指著三個商標(biāo)對你說，其中一個商標(biāo)后面的獎金是2000元，另兩個商標(biāo)后面的獎金分別是20元和50元，你可以隨意選擇一個商標(biāo)，所對應(yīng)的獎金就歸你了。你當(dāng)然想得到2000元，你可選定一個商標(biāo)，如1號商標(biāo)（但未打開），主持人知道哪個商標(biāo)后面是2000元，哪兩個商標(biāo)后是20元和50元，他打開了50元的一個商標(biāo)，比方他打開3號商標(biāo)，主持人對你說，現(xiàn)在再給你一次機會，允許你改變原來的選擇，為了得到2000元，你是堅持選擇1號商標(biāo)還是改選2號商標(biāo)呢？教師可引導(dǎo)學(xué)生開展討論，在討論的基礎(chǔ)上引入全概率公式和貝葉斯公式幫助大家做出選擇。這無疑使學(xué)生對學(xué)習(xí)的新知識產(chǎn)生了強烈的欲望，喚起了學(xué)生的注意，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性，并取得了很好的教學(xué)效果。

三、注重科學(xué)思維和科學(xué)方法的培養(yǎng)

趣味與科學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性是相輔相成的。在教學(xué)過程中，不但要用趣味性提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還要體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維在教學(xué)中的滲透與學(xué)生創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)。通過有意識地營造使學(xué)生不斷在取得思維成就的環(huán)境中，讓學(xué)生不斷在思維成功的喜悅中良性循環(huán)，越學(xué)越想學(xué)，越思考越靈活。對同一問題不同的求解方法，鍛煉不同的思維方式，從而潛移默化地培養(yǎng)了學(xué)生的科學(xué)思維方法。例如，有2張甲等票和n-2張乙等票共n張票，n人通過抽簽決定所得的是甲等票還是乙等票，問抽簽的結(jié)果與抽簽的順序是否有關(guān)？該問題的解決可以有兩種方法。

方法1：首先我們可以很容易的得出第1個人抽簽，抽中甲等票的概率是2/n，關(guān)鍵是第2人、第3人……第n人抽中甲等票的概率是否也是2/n？由于我們關(guān)心的是第i人（i=2，3，…，n）抽到甲等票的概率，因而第i人只要從2張甲等票中任意抽取1張，而前i-1人可從剩余的n-1張票中任取i-1張，其概率為以上問題的求解方法是突出考慮要求解的問題（第i人抽到甲等票）而忽略其他非主要問題（前i-1人抽取票的情況），也就是通常在思維中的突出主要問題。雖然在理解上困難一些，但對于鍛煉學(xué)生分析問題、解決問題的能力是十分有益的。下面一種求解方法在理解上要自然一些。

方法2：設(shè)Ai（i=1，2，3，…，n）表示第i人抽到甲等票，則p（Ai）=2/n，由全概率公式得：p（A2）=p（A1）p（A2|A1）+p（-A1）p（A2|-A1）=（2/n）[1/（n-1）]+[（n-2）/n）] [2/（n-1）]=2/n，設(shè)C0、C1分別表示前i-1人恰好抽到0張和1張甲等票，則：其中（3≤i≤n）。

四、提煉知識，把握脈絡(luò)

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》這門課程涉及的內(nèi)容較多，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中往往不能從全局把握這門課程的脈絡(luò)與結(jié)構(gòu)，頭腦中往往只是些零散的知識點，尤其學(xué)習(xí)數(shù)理統(tǒng)計時，感覺像套公式解決問題，似乎與概率論部分沒有關(guān)系，很容易導(dǎo)致學(xué)習(xí)興趣下降。實際上本課中很多知識是有聯(lián)系的，教師可啟發(fā)學(xué)生自己嘗試總結(jié)規(guī)律，把書本知識化零為整，用一根“線”串起一門課程。例如幾種常見的離散型分布，除了超幾何分布外其他幾種均是貝努利實驗背景下與所關(guān)注的事件A相關(guān)的特定隨機變量X的概率分布，記p=p（A），則：（1）設(shè)X表示1次實驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，則X~b（1，p）（兩點分布）；（2）設(shè)X表示n次實驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，則X~b（n，p）（二項分布）；（3）設(shè)X表示∞次實驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，則X~p（λ）（泊松分布），其中λ≈np，n→∞；（4）設(shè)X表示事件A首次發(fā)生時的實驗次數(shù)，則X~Ge（p）（幾何分布）；（5）設(shè)X表示事件A第r次發(fā)生時的實驗次數(shù)，則X~Nb（r，p）（負(fù)二項分布）。上述5種不同類型的分布之間存在如下聯(lián)系：（1）設(shè)Xi~b（1，p），i=1，2，3，…，n且相互獨立，則X=∑Xi~b（1，p）；（2）設(shè)Xi~Ge（p），i=1，2，3，…，n且相互獨立，則X=∑Xi~Nb（r，p）；（3）設(shè)X~b（n，p），當(dāng)p較小且n充分大時，令λ=np，則X≈p（λ），即泊松定理：limCpk（1-p）n-k=λ-k·e-λ/k！。

五、統(tǒng)計軟件的輔助實踐

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》這門課程公式多、計算煩瑣，給應(yīng)用帶來困難。對具有概率統(tǒng)計功能軟件的了解和掌握顯然對理解和應(yīng)用有極大的幫助。除Excel外，通用Mathem atica、SPSS等都是很好的工具，概率統(tǒng)計是最需要使用計算機的領(lǐng)域，我介紹SPSS軟件自帶的統(tǒng)計程序包，其中有實現(xiàn)常用統(tǒng)計計算的各種外部函數(shù)，我在教學(xué)中針對一個具體工程問題教授學(xué)生使用國內(nèi)外廣泛流行的SPSS統(tǒng)計軟件進(jìn)行分析，要求學(xué)生：（1）會用SPSS軟件求概率、均值與方差；（2）能進(jìn)行常用分布的計算；（3）會用上述軟件進(jìn)行期望和方差的區(qū)間估計；（4）會用上述軟件進(jìn)行回歸分析。

例題：電容器鋁箔電解擴面腐蝕工藝的影響因素主要包括電解液溫度（A）、HCl濃度（B）、H2SO4濃度（C）、電解時間（D）、電解電流密度（E），以A、B、C、D、E為實驗影響因素，比電容為影響指標(biāo)，通過L16（45）正交實驗，考察五個實驗因素對指標(biāo)的影響程度并做出顯著性分析。對用SPSS軟件對實驗結(jié)果進(jìn)行方差統(tǒng)計分析可知，五個實驗因素電蝕擴面效果和陽極箔比電容都有顯著影響，這和文獻(xiàn)報道的結(jié)論相一致。五個實驗因素影響程度大小順序為硫酸濃度＞鹽酸濃度＞電流密度＞時間＞溫度，硫酸濃度是最重要的影響因素，因此可以對硫酸濃度進(jìn)一步進(jìn)行單因素實驗，以確定出最佳的電解腐蝕擴面工藝，為相關(guān)行業(yè)高比容陽極鋁箔的研制提供參考。

六、考核形式的轉(zhuǎn)變

考核是對學(xué)生學(xué)習(xí)情況、教師教學(xué)效果的評估，采取何種形式進(jìn)行考核，對于學(xué)生學(xué)習(xí)方法、教師教學(xué)方法都有導(dǎo)向作用。受應(yīng)試教育的影響，國內(nèi)大多課程的考核方法都是閉卷，但對于《概率論與統(tǒng)計學(xué)》這門實用性很強的課程來說，我認(rèn)為授課的重點是要讓學(xué)生掌握統(tǒng)計學(xué)的核心思想，學(xué)會利用統(tǒng)計的思維處理問題，而不是教會學(xué)生像學(xué)習(xí)“純數(shù)學(xué)”那樣機械地做題。該課程公式和計算眾多，不能讓公式和計算成為學(xué)生學(xué)習(xí)的障礙，應(yīng)當(dāng)重視對概率統(tǒng)計重要概念的理解、總結(jié)歸納問題和研究問題能力的培養(yǎng)。因此，我認(rèn)為本課程考核中可以嘗試開卷考核、半開半閉考核以及分組考核、實驗考核及撰寫小論文等多種形式，使學(xué)生不至于為死記一些定理公式浪費過多的時間。

七、教學(xué)效果

課堂教學(xué)無非有三種境界：一是傳授知識，二是培養(yǎng)思想方法和能力，三是激發(fā)興趣和應(yīng)用意識。教師的教學(xué)任務(wù)之一就是要提升課堂教學(xué)境界，從上述幾個方面改進(jìn)傳統(tǒng)教學(xué)模式，與時俱進(jìn)引入新的思想和方法，使原本抽象、枯燥的數(shù)學(xué)理論變得形象生動，減輕了學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)而提高了教學(xué)質(zhì)量。可以說本文提出的教學(xué)改革方式真正實現(xiàn)了第二種、第三種境界。調(diào)查問卷和學(xué)生的反饋表明，新措施是有效的，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和教學(xué)效果。教學(xué)工作是一項復(fù)雜而艱巨的任務(wù)，還需要在長期的教學(xué)工作中不斷探索，積累經(jīng)驗，逐步提高。

[1]盛驟.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]魏宗舒.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3]李曉莉.概率統(tǒng)計的多元化教學(xué)探討[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2005，21（04）.

[4]馮鳳萍，崔繼賢.概率統(tǒng)計的探索與改進(jìn)[J].高師理科學(xué)刊，2004，24（02）.

[5]張瑞亭.對概率統(tǒng)計教學(xué)中若干問題的探討[J].教育教學(xué)論壇，2014，（02）.

G642.0

A

1674-9324（2014）45-0109-03

山東省高校智能信息處理與網(wǎng)絡(luò)安全重點實驗室（聊城大學(xué)）資助

朱淑芹（1979-），女，山東聊城人，聊城大學(xué)計算機學(xué)院，講師。

班朝磊（1975-），男，河南安陽人，聊城大學(xué)材料學(xué)院，副教授。