對(duì)運(yùn)籌學(xué)課程中百分之一百法則的進(jìn)一步思考

陳士成，何麗紅，李橋興，羅云中

（蘭州大學(xué) 管理學(xué)院，甘肅 蘭州 730000）

對(duì)運(yùn)籌學(xué)課程中百分之一百法則的進(jìn)一步思考

陳士成，何麗紅，李橋興，羅云中

（蘭州大學(xué) 管理學(xué)院，甘肅 蘭州 730000）

目前，運(yùn)籌學(xué)課程的線性規(guī)劃靈敏度分析的表述中，都只給出了判斷條件不超過100%時(shí)，決策方案中的關(guān)鍵決策量不會(huì)改變，而超過100%時(shí)就不能確定關(guān)鍵決策量是否會(huì)發(fā)生改變，只能重新求解。在教學(xué)過程中，師生都認(rèn)為這種表述不盡完整，若能對(duì)判斷值超過100%時(shí)也能更明晰的表述，可更進(jìn)一步提高決策方法的可操作性。為此，我們總結(jié)了一部分判斷條件超過了100%，但決策方案中的關(guān)鍵決策量仍然不會(huì)改變。補(bǔ)充了原百分一百法則的表述。

運(yùn)籌學(xué)課程；線性規(guī)劃；百分之一百法則

一、問題的提出

運(yùn)籌學(xué)課程的線性規(guī)劃靈敏度分析中，有兩個(gè)百分之一百法則：對(duì)多個(gè)價(jià)值系數(shù)同時(shí)變化判斷最優(yōu)解是否變化的百分之一百法則；以及對(duì)多個(gè)常數(shù)項(xiàng)同時(shí)變化判斷對(duì)偶價(jià)格是否變化的百分之一百法則。這兩個(gè)判斷法則的具體表述為[1，2]：

定理1.1如果多個(gè)價(jià)值系數(shù)（cj）同時(shí)變動(dòng)，計(jì)算出每一個(gè)系數(shù)變動(dòng)量占該系數(shù)允許變動(dòng)量（允許增加量或允許增加量）的百分比，然后將各個(gè)系數(shù)的變動(dòng)百分比相加，所得的和不超過100%，則最優(yōu)解不會(huì)改變；如果超過100%，則不能確定原最優(yōu)解（xj）是否改變，只能通過重新進(jìn)行規(guī)劃求解來判斷。

定理1.2如果多個(gè)常數(shù)項(xiàng)（bi）同時(shí)變動(dòng)，計(jì)算出每一個(gè)常數(shù)項(xiàng)變動(dòng)量占該常數(shù)項(xiàng)允許變動(dòng)量（允許增加量或允許增加量）的百分比，如果所有常數(shù)項(xiàng)的變動(dòng)百分比之和不超過100%，則對(duì)偶然價(jià)格（di）不會(huì)改變（仍然有效）；如果所有變動(dòng)百分比之和超過了100%，那就無法確定原對(duì)偶價(jià)格是否效，只能通過重新進(jìn)行規(guī)劃求解來判斷。

在上述定理所給出的判斷準(zhǔn)則中，只給出了判斷值不超100%的充分條件，而當(dāng)百分比之和超過100%時(shí)，就無法確定最優(yōu)解或?qū)ε純r(jià)格是否會(huì)發(fā)生變化，只能重新求解才能得知具體值。而在筆者多年的教學(xué)過程中，對(duì)線性規(guī)劃應(yīng)用做了多方面研究[3，4]，同時(shí)我們發(fā)現(xiàn)在線性規(guī)劃模型求解的靈敏度分析討論中，確實(shí)存在百分比之和超過100%但可以確定原最優(yōu)解或原對(duì)偶價(jià)格不變的條件。由此，本文給出如下結(jié)論。

二、百分之一百法則的補(bǔ)充

定理2若多個(gè)價(jià)值系數(shù)（cj）按當(dāng)前值同比例增減，不論百分比之和是否超過100%，則最優(yōu)解（xj）一定不變。

證明：假設(shè)一般線性規(guī)劃模型如下所示：

假設(shè)cj同比例增加（或減少）p%，則目標(biāo)函數(shù)可以改寫為：max（min） z’=（1±p%）（clxl+c2x2+…+cnxn），因?yàn)閜%為正數(shù)，為不改變目標(biāo)函數(shù)值的正負(fù)數(shù)屬性，暫設(shè)減少的比例p%＜1。這時(shí)max（min） z’必然與max（min） z同解，所以，最優(yōu)解不變。

定理3若多個(gè)常數(shù)項(xiàng)（bi）按當(dāng)前值同比例增減，不論百分比之和是否超過100%，則對(duì)偶價(jià)格（di）一定不變。

證明：在由線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的約束條件構(gòu)成的可行域中，若各約束條件的常數(shù)項(xiàng)同比例增減，可使可行域的每個(gè)邊界同比例擴(kuò)張或收縮，無論改變量有多大，都始終使可行域發(fā)生相似形的變化，因此只改變形狀，不會(huì)改變可行域的結(jié)構(gòu)。根據(jù)對(duì)偶價(jià)格變化的判定條件（可行域的結(jié)構(gòu)改變導(dǎo)致對(duì)偶價(jià)格改變，可行域形狀變化不會(huì)影響對(duì)偶價(jià)格）[2]。所以原對(duì)偶價(jià)格不會(huì)發(fā)生改變。

三、實(shí)例驗(yàn)證

假設(shè)某廠利用2種原料A、B生產(chǎn)甲、乙、丙3種產(chǎn)品，生產(chǎn)單位產(chǎn)品所需原料數(shù)（公斤）、單位利潤（元/單位）及有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：

該決策問題的線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型：

運(yùn)用作者開發(fā)設(shè)計(jì)的運(yùn)籌學(xué)求解軟件[2]，得到該模型的決策結(jié)果如圖1所示：

（1）假設(shè)，價(jià)值系數(shù)同比例增加50%，即三個(gè)產(chǎn)品的單位利潤都增加50%，則應(yīng)該怎么決策？

（2）假設(shè)，兩種原材料同比例增加10%，各對(duì)偶價(jià)格將會(huì)怎么變化？

圖1 原模型的求解結(jié)果

對(duì)問題1，價(jià)值系數(shù)的實(shí)際增加量Δcl=250、Δc2=230、Δc3=180，而允許的增量分別為638-500=138、720-460=260和613.333-360=253.333。按百分一百法則，其判定值為：

遠(yuǎn)大于100%。而用計(jì)算機(jī)求解的結(jié)果如圖2：

圖2 增加價(jià)值系數(shù)后的求解結(jié)果

最優(yōu)解并沒發(fā)生變化。

對(duì)于問題2，常數(shù)項(xiàng)的實(shí)際增加量Δbl=55、Δb2=36，而允許的增量分別為1440-550=890和366.6667-360=6.6667：此時(shí)百分一百法則的判定值為：

遠(yuǎn)大于100%。而用計(jì)算機(jī)求解驗(yàn)證對(duì)偶價(jià)格并沒發(fā)生變化。如圖3：

圖3 常數(shù)項(xiàng)變化后的求解結(jié)果

四、本問題研究的用途

對(duì)上述的實(shí)例分析，若其它企業(yè)愿意分別以45元/公斤的價(jià)格出售原料A和原料B，該廠應(yīng)不應(yīng)該購進(jìn)而擴(kuò)大生產(chǎn)？

對(duì)于該問題，原材料B對(duì)應(yīng)約束條件的對(duì)偶價(jià)格76遠(yuǎn)大于市場(chǎng)購進(jìn)價(jià)格，而原材料A對(duì)應(yīng)約束打傷的對(duì)偶價(jià)格26遠(yuǎn)小于市場(chǎng)購進(jìn)價(jià)格，所以應(yīng)該大量購進(jìn)原材料B以擴(kuò)大生產(chǎn)獲取較高的利潤，但原材料B對(duì)應(yīng)約束對(duì)偶價(jià)格不變總量上限為366.667公斤，從總體比例上看，只購進(jìn)6.667公斤（占當(dāng)前值的1.85%）擴(kuò)大生產(chǎn)并沒有實(shí)際意義。因此必須考慮在保持對(duì)偶價(jià)格不變的前提下找到大量購進(jìn)原材料以擴(kuò)大生產(chǎn)，用于對(duì)資源利用效果做出盈虧核算的客觀條件。這就可以用到定理3的判斷準(zhǔn)則：

如仍按兩種原材料當(dāng)前值同時(shí)增加10%的比例購進(jìn)，既然對(duì)偶價(jià)格不會(huì)發(fā)生變化，我們就可以直接用原對(duì)偶價(jià)格來進(jìn)行原材料利用效果的盈虧核算。即核算原材料的價(jià)值與價(jià)格貢獻(xiàn)的差值（目標(biāo)函數(shù)的凈增加值）：

目標(biāo)函數(shù)的凈增加值大于0，說明可以按這個(gè)比例購進(jìn)原材料而擴(kuò)大生產(chǎn)。這里就用到了約束條件各常數(shù)項(xiàng)的增加的值導(dǎo)致百分之一百法則判定值大于100%，但對(duì)偶價(jià)格仍然不變的判定結(jié)果。這樣就可用原對(duì)偶價(jià)格進(jìn)行核算，完全可以避免由于常數(shù)項(xiàng)的變化而重新建模，重新求解的過程。這也是對(duì)線性規(guī)劃靈敏度分析用途的一種拓展。

五、結(jié)論

運(yùn)籌學(xué)課程中，雖然線性規(guī)劃中百分之一百法則強(qiáng)調(diào)的是關(guān)鍵決策量變化的充分條件而非必要條件，但能對(duì)法則中明確部分必要條件也能為決策應(yīng)用帶來很大的方便。本文針對(duì)在運(yùn)籌學(xué)教學(xué)過程和線性規(guī)劃運(yùn)用實(shí)踐中總結(jié)了某類參數(shù)同比例增減變化時(shí)，雖然判斷條件值已大于100%，但相應(yīng)的決策量并不會(huì)發(fā)生變化的規(guī)律性特征，是對(duì)百分之一百法則中關(guān)鍵決策時(shí)變化必要條件的研究嘗試。并且在教學(xué)和運(yùn)用實(shí)踐中可能還會(huì)有其它的條件有待于繼續(xù)研究。

[1]葉向.實(shí)用運(yùn)籌學(xué)[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，2007.

[2]陳士成.實(shí)用管理運(yùn)籌學(xué)——基于Excel[M].北京：清華大學(xué)出版社，2011.

[3]何麗紅，陳士成.管理運(yùn)籌學(xué)課程的教學(xué)改革與實(shí)踐[J].教育教學(xué)論壇，2011，（12）上旬刊：21-23.

[4]陳士成，何麗紅，何麗紅.大學(xué)《運(yùn)籌學(xué)》課程分層教學(xué)目標(biāo)研究[J].教育教學(xué)論壇，2013，（9）：70-71.

G642.4

A

1674-9324（2014）30-0203-03

蘭州大學(xué)教學(xué)研究項(xiàng)目（201203）資助，蘭州大學(xué)管理學(xué)院管理教育研究專項(xiàng)資金資助（13SMJXYJ001）。

陳士成（1957—），男，河南省鎮(zhèn)平縣人，經(jīng)濟(jì)學(xué)碩士，副教授，研究方向：企業(yè)管理與系統(tǒng)分析。