構(gòu)造法在立體幾何解題中的應(yīng)用

周洪玉

【摘 要】文章就立體幾何教材中常見的一些基本立體圖形進(jìn)行梳理，同時(shí)對這些典型的基本圖形在解題中應(yīng)用進(jìn)行分析。

【關(guān)鍵詞】化歸思想；構(gòu)造法；基本圖形

解決數(shù)學(xué)問題的過程，本質(zhì)上就是不斷的敘述問題、轉(zhuǎn)化問題，直到找到某些能解決問題的“東西”的過程，同時(shí)轉(zhuǎn)化也是減少運(yùn)算的重要途徑，從而使解題速度得到提高。可以說，數(shù)學(xué)問題的解決過程無不是在不間斷的轉(zhuǎn)化過程中得到解決的。因此解決數(shù)學(xué)問題的過程中我們提倡“遇困難，要轉(zhuǎn)化”的基本思想方法，這就是的高中數(shù)學(xué)重要的轉(zhuǎn)化與歸的思想方法。

轉(zhuǎn)化與化歸思想：指在研究的和解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，將遇到的難解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化，歸結(jié)為已經(jīng)解決或比較容易解決的問題，最終使原問題得到解決。

轉(zhuǎn)化與化歸的原則：將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟知的問題——熟悉化原則；將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體直觀的問題—— 直觀化原則；將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題——簡單化原則；正面討論比較困難時(shí)，應(yīng)從問題的反面去探求——正難則反原則。

轉(zhuǎn)化與化歸思想的要素：轉(zhuǎn)化什么、轉(zhuǎn)化到何處去、怎么進(jìn)行轉(zhuǎn)化、有幾種轉(zhuǎn)化方式。

轉(zhuǎn)化與化歸的方法：換元法、數(shù)形結(jié)合法、參數(shù)法、構(gòu)造法、坐標(biāo)法、類比法、特殊化方法、一般方法、等價(jià)問題法、補(bǔ)集法等。其中構(gòu)造法指“構(gòu)造”出一個(gè)合適數(shù)學(xué)模型，從而把問題轉(zhuǎn)化成易于解決的問題。

一、利用教材中立體幾何中的基本圖形“解決”問題

立體幾何解題的重要基礎(chǔ)是作圖，幾何作圖的基本原則，強(qiáng)調(diào)立體與實(shí)際，因此解決問題過程中要善于利用教材中典型例題、典型習(xí)題、公理、定理、性質(zhì)“解決”所對應(yīng)的基本圖形，現(xiàn)將就這些典型的基本圖形在解題中應(yīng)用進(jìn)行分析。

教材問題：如果有一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，那么這點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在 這個(gè)角的平分線上。

教材習(xí)題：經(jīng)過一個(gè)角的頂點(diǎn)引這所在平面的斜射線，設(shè)它和已知角的兩邊的夾角為銳角且相等，求證：這條斜線在平面內(nèi)的射影是這個(gè)的平分線。

三垂線定理，基本構(gòu)成：一面四線三垂直，可處理空間兩直線的垂直問題、點(diǎn)直線的距離問題。

最小角定理：平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角，是這條斜線與這個(gè)平面內(nèi)經(jīng)邊斜足的直線所成的一切角中最小的角，可得公式cosθ=cosθ1cosθ2，公式也可用來求異面直線所成的角。

長方體的性質(zhì)：長方體的一條對角線長的平方等于同一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長的平方和；體對角線長等于它外接球的半徑；可將一個(gè)對棱相等的空間四面體內(nèi)置于長方體內(nèi)；共點(diǎn)的兩兩互垂的三條線段可構(gòu)造一個(gè)長方體。

正方體的性質(zhì)：正方體是特殊的長方體，正四面體可內(nèi)置于正方體；正四面體的相關(guān)距離、角度計(jì)算中借助正方體來研究；正方體有外接球、內(nèi)切球、內(nèi)嵌球（內(nèi)切球不斷膨脹與正方體的所有棱均相切）；共點(diǎn)且兩夾角相等三條直線由正四面體來構(gòu)造。

球的截面的性質(zhì)：一個(gè)平面截一個(gè)球面，所得的截線是以球心在截面內(nèi)的射影為圓心，以r=（其中R為球的半徑，d為球心到截面的距離）為半徑的一個(gè)圓，截面是一個(gè)圓。

平面的法向量：如果表示向量a的有向線段所在直線垂直于平面α，則稱這個(gè)向量垂直于平面α，記作a⊥α，那么向量a叫球做平面α的法向量。

二、巧用構(gòu)造基本圖形：解決“問題”

立體幾何常見問題有證明空間的平行與垂直關(guān)系、空間角、空間距離等。問題的解決一般有兩條途徑，即兩種轉(zhuǎn)化方式，：空間問題平面化、構(gòu)造基本圖形來解決問題；兩種方法：傳統(tǒng)的幾何法（找—證—算）、空間向量坐標(biāo)法（建系—點(diǎn)的坐標(biāo)—向量的坐標(biāo)—代入公式運(yùn)算）。

例：如右圖，△ADP為正三角形，四邊形ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，M為平面ABCD內(nèi)的一動點(diǎn)，且滿足MP=MC，則點(diǎn)M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為（點(diǎn)O為正方形ABCD的中心）（）

A B C D

分析：對于條件MP=MC易聯(lián)想平面幾何中的結(jié)論：平面內(nèi)一動點(diǎn)M到線段PC兩端點(diǎn)的距離相等，動點(diǎn)M在線段PC的中垂線上，往空間拓展，則中垂線過線段的中心，中垂線的方向呢？不確定，動起來，形成一個(gè)平面，即線段PC的中垂面，至此構(gòu)造了一個(gè)點(diǎn)M所在平面；題設(shè)又要求點(diǎn)M同時(shí)必須在平面AC上，那么點(diǎn)M在兩個(gè)平面的交線上，是一條線段，故排除選C、D，如何確定這條交線呢？找兩個(gè)點(diǎn)，兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，結(jié)合選項(xiàng)，選項(xiàng)B中的點(diǎn)B不能充當(dāng)點(diǎn)M的角色，排除選項(xiàng)B，正確選項(xiàng)為A，可進(jìn)一步進(jìn)行驗(yàn)證。

例：四面積P—ABC可，三條側(cè)棱兩兩垂直，M是面ABC內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)M到三個(gè)面PAB、PAC、PBC的距離分別是2、3、6，則點(diǎn)M到頂點(diǎn)P的距離是（）。

分析：如圖可構(gòu)造出滿足條件的長方體，其體對角線長7即為所求。.

例：已知二面角α-1-β的大小為60°，m、n為異面直線，且m⊥α、n⊥β，則m、n所成的角為（）

A.30° B.60° C.90° D.120°

分析：易聯(lián)想教材中的習(xí)題，但有些不同，m、n為異面直線，而不是相交直線，能轉(zhuǎn)化嗎？根據(jù)異面直線成角的概念，平移轉(zhuǎn)化為相交直線成角——空間問題平面化，答案易確定為D，錯(cuò)了，忽略了異面直線的范圍，因此要注意思維的嚴(yán)謹(jǐn)性：求角，在哪里、如何的轉(zhuǎn)化。

例：如圖正三棱錐A-BCD中，E、F分別是AB、BC中點(diǎn)，EF⊥DE，且AC=1，則正三棱錐A=BCD的外接球的體積（）

A. B. C. D.

分析：正三棱錐對棱垂直，得AC⊥BD，由EF⊥DE，得AC⊥平面ABD，結(jié)論：AB、AC、AD兩兩垂直，構(gòu)造正方體，構(gòu)造外接球，體對角線與球的直徑相等，得球的半徑R=，正確選項(xiàng)為C。

例：過空間一點(diǎn)作四條射線，每兩條射線所成的角均相等，那么這個(gè)角的余弦值為（）

分析：

法一、構(gòu)成正四面體，中心為P，與四個(gè)頂點(diǎn)連接起來，在三角形中完成計(jì)算。

法二：構(gòu)造正四面體，中心為P，過點(diǎn)P分別作四個(gè)面的垂線，轉(zhuǎn)化為求側(cè)面與底面所成二面角的補(bǔ)角問題，同樣可以完成計(jì)算，答案為

例：已知球的半徑為2，相互垂直的兩個(gè)平面分別截球面得兩個(gè)圓，若兩圓的公共弦為2，則兩圓的圓心距等于（）

A.1 B. C. D.2

分析：做圖難，輔助線多；轉(zhuǎn)化難。

法一：做球面，兩個(gè)平面截此球面，截面圓相交弦長為2，弦AB中點(diǎn)C。

思路一：球面的截面的性質(zhì)指導(dǎo)結(jié)引作圖，連OO1，連OO2，構(gòu)造平面，得矩形OO1CO2；

思路二：轉(zhuǎn)化為平面，局部研究，其中一個(gè)截面圓，圓心O1，弦AB弦AB中點(diǎn)C，連O1C.

同理：連O2C，連OO1，連OO2，得矩形OO1CO2.

在Rt△OBC中，OC==

法二：特殊化處理，使其中一個(gè)截面圓O2過球心O，則OO1=O1O2=。

高中階段，幾乎每一個(gè)問題均要用到轉(zhuǎn)化與化歸的思想，當(dāng)我們在研究數(shù)學(xué)問題思維受阻時(shí)，可等價(jià)轉(zhuǎn)化為另一種情形，即另一種情境使問題得到解決，這是一條有效解決問題的途徑，同時(shí)高考對此思維想的考查也尤其重視，借此對考生的數(shù)學(xué)能力進(jìn)行區(qū)分，因此在教學(xué)中要“善用，妙用”，以優(yōu)化教學(xué)質(zhì)量，更提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和素質(zhì)。endprint

【摘 要】文章就立體幾何教材中常見的一些基本立體圖形進(jìn)行梳理，同時(shí)對這些典型的基本圖形在解題中應(yīng)用進(jìn)行分析。

【關(guān)鍵詞】化歸思想；構(gòu)造法；基本圖形

解決數(shù)學(xué)問題的過程，本質(zhì)上就是不斷的敘述問題、轉(zhuǎn)化問題，直到找到某些能解決問題的“東西”的過程，同時(shí)轉(zhuǎn)化也是減少運(yùn)算的重要途徑，從而使解題速度得到提高?？梢哉f，數(shù)學(xué)問題的解決過程無不是在不間斷的轉(zhuǎn)化過程中得到解決的。因此解決數(shù)學(xué)問題的過程中我們提倡“遇困難，要轉(zhuǎn)化”的基本思想方法，這就是的高中數(shù)學(xué)重要的轉(zhuǎn)化與歸的思想方法。

轉(zhuǎn)化與化歸思想：指在研究的和解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，將遇到的難解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化，歸結(jié)為已經(jīng)解決或比較容易解決的問題，最終使原問題得到解決。

轉(zhuǎn)化與化歸的原則：將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟知的問題——熟悉化原則；將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體直觀的問題—— 直觀化原則；將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題——簡單化原則；正面討論比較困難時(shí)，應(yīng)從問題的反面去探求——正難則反原則。

轉(zhuǎn)化與化歸思想的要素：轉(zhuǎn)化什么、轉(zhuǎn)化到何處去、怎么進(jìn)行轉(zhuǎn)化、有幾種轉(zhuǎn)化方式。

轉(zhuǎn)化與化歸的方法：換元法、數(shù)形結(jié)合法、參數(shù)法、構(gòu)造法、坐標(biāo)法、類比法、特殊化方法、一般方法、等價(jià)問題法、補(bǔ)集法等。其中構(gòu)造法指“構(gòu)造”出一個(gè)合適數(shù)學(xué)模型，從而把問題轉(zhuǎn)化成易于解決的問題。

一、利用教材中立體幾何中的基本圖形“解決”問題

立體幾何解題的重要基礎(chǔ)是作圖，幾何作圖的基本原則，強(qiáng)調(diào)立體與實(shí)際，因此解決問題過程中要善于利用教材中典型例題、典型習(xí)題、公理、定理、性質(zhì)“解決”所對應(yīng)的基本圖形，現(xiàn)將就這些典型的基本圖形在解題中應(yīng)用進(jìn)行分析。

教材問題：如果有一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，那么這點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在 這個(gè)角的平分線上。

教材習(xí)題：經(jīng)過一個(gè)角的頂點(diǎn)引這所在平面的斜射線，設(shè)它和已知角的兩邊的夾角為銳角且相等，求證：這條斜線在平面內(nèi)的射影是這個(gè)的平分線。

三垂線定理，基本構(gòu)成：一面四線三垂直，可處理空間兩直線的垂直問題、點(diǎn)直線的距離問題。

最小角定理：平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角，是這條斜線與這個(gè)平面內(nèi)經(jīng)邊斜足的直線所成的一切角中最小的角，可得公式cosθ=cosθ1cosθ2，公式也可用來求異面直線所成的角。

長方體的性質(zhì)：長方體的一條對角線長的平方等于同一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長的平方和；體對角線長等于它外接球的半徑；可將一個(gè)對棱相等的空間四面體內(nèi)置于長方體內(nèi)；共點(diǎn)的兩兩互垂的三條線段可構(gòu)造一個(gè)長方體。

正方體的性質(zhì)：正方體是特殊的長方體，正四面體可內(nèi)置于正方體；正四面體的相關(guān)距離、角度計(jì)算中借助正方體來研究；正方體有外接球、內(nèi)切球、內(nèi)嵌球（內(nèi)切球不斷膨脹與正方體的所有棱均相切）；共點(diǎn)且兩夾角相等三條直線由正四面體來構(gòu)造。

球的截面的性質(zhì)：一個(gè)平面截一個(gè)球面，所得的截線是以球心在截面內(nèi)的射影為圓心，以r=（其中R為球的半徑，d為球心到截面的距離）為半徑的一個(gè)圓，截面是一個(gè)圓。

平面的法向量：如果表示向量a的有向線段所在直線垂直于平面α，則稱這個(gè)向量垂直于平面α，記作a⊥α，那么向量a叫球做平面α的法向量。

二、巧用構(gòu)造基本圖形：解決“問題”

立體幾何常見問題有證明空間的平行與垂直關(guān)系、空間角、空間距離等。問題的解決一般有兩條途徑，即兩種轉(zhuǎn)化方式，：空間問題平面化、構(gòu)造基本圖形來解決問題；兩種方法：傳統(tǒng)的幾何法（找—證—算）、空間向量坐標(biāo)法（建系—點(diǎn)的坐標(biāo)—向量的坐標(biāo)—代入公式運(yùn)算）。

例：如右圖，△ADP為正三角形，四邊形ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，M為平面ABCD內(nèi)的一動點(diǎn)，且滿足MP=MC，則點(diǎn)M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為（點(diǎn)O為正方形ABCD的中心）（）

A B C D

分析：對于條件MP=MC易聯(lián)想平面幾何中的結(jié)論：平面內(nèi)一動點(diǎn)M到線段PC兩端點(diǎn)的距離相等，動點(diǎn)M在線段PC的中垂線上，往空間拓展，則中垂線過線段的中心，中垂線的方向呢？不確定，動起來，形成一個(gè)平面，即線段PC的中垂面，至此構(gòu)造了一個(gè)點(diǎn)M所在平面；題設(shè)又要求點(diǎn)M同時(shí)必須在平面AC上，那么點(diǎn)M在兩個(gè)平面的交線上，是一條線段，故排除選C、D，如何確定這條交線呢？找兩個(gè)點(diǎn)，兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，結(jié)合選項(xiàng)，選項(xiàng)B中的點(diǎn)B不能充當(dāng)點(diǎn)M的角色，排除選項(xiàng)B，正確選項(xiàng)為A，可進(jìn)一步進(jìn)行驗(yàn)證。

例：四面積P—ABC可，三條側(cè)棱兩兩垂直，M是面ABC內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)M到三個(gè)面PAB、PAC、PBC的距離分別是2、3、6，則點(diǎn)M到頂點(diǎn)P的距離是（）。

分析：如圖可構(gòu)造出滿足條件的長方體，其體對角線長7即為所求。.

例：已知二面角α-1-β的大小為60°，m、n為異面直線，且m⊥α、n⊥β，則m、n所成的角為（）

A.30° B.60° C.90° D.120°

分析：易聯(lián)想教材中的習(xí)題，但有些不同，m、n為異面直線，而不是相交直線，能轉(zhuǎn)化嗎？根據(jù)異面直線成角的概念，平移轉(zhuǎn)化為相交直線成角——空間問題平面化，答案易確定為D，錯(cuò)了，忽略了異面直線的范圍，因此要注意思維的嚴(yán)謹(jǐn)性：求角，在哪里、如何的轉(zhuǎn)化。

例：如圖正三棱錐A-BCD中，E、F分別是AB、BC中點(diǎn)，EF⊥DE，且AC=1，則正三棱錐A=BCD的外接球的體積（）

A. B. C. D.

分析：正三棱錐對棱垂直，得AC⊥BD，由EF⊥DE，得AC⊥平面ABD，結(jié)論：AB、AC、AD兩兩垂直，構(gòu)造正方體，構(gòu)造外接球，體對角線與球的直徑相等，得球的半徑R=，正確選項(xiàng)為C。

例：過空間一點(diǎn)作四條射線，每兩條射線所成的角均相等，那么這個(gè)角的余弦值為（）

分析：

法一、構(gòu)成正四面體，中心為P，與四個(gè)頂點(diǎn)連接起來，在三角形中完成計(jì)算。

法二：構(gòu)造正四面體，中心為P，過點(diǎn)P分別作四個(gè)面的垂線，轉(zhuǎn)化為求側(cè)面與底面所成二面角的補(bǔ)角問題，同樣可以完成計(jì)算，答案為

例：已知球的半徑為2，相互垂直的兩個(gè)平面分別截球面得兩個(gè)圓，若兩圓的公共弦為2，則兩圓的圓心距等于（）

A.1 B. C. D.2

分析：做圖難，輔助線多；轉(zhuǎn)化難。

法一：做球面，兩個(gè)平面截此球面，截面圓相交弦長為2，弦AB中點(diǎn)C。

思路一：球面的截面的性質(zhì)指導(dǎo)結(jié)引作圖，連OO1，連OO2，構(gòu)造平面，得矩形OO1CO2；

思路二：轉(zhuǎn)化為平面，局部研究，其中一個(gè)截面圓，圓心O1，弦AB弦AB中點(diǎn)C，連O1C.

同理：連O2C，連OO1，連OO2，得矩形OO1CO2.

在Rt△OBC中，OC==

法二：特殊化處理，使其中一個(gè)截面圓O2過球心O，則OO1=O1O2=。

高中階段，幾乎每一個(gè)問題均要用到轉(zhuǎn)化與化歸的思想，當(dāng)我們在研究數(shù)學(xué)問題思維受阻時(shí)，可等價(jià)轉(zhuǎn)化為另一種情形，即另一種情境使問題得到解決，這是一條有效解決問題的途徑，同時(shí)高考對此思維想的考查也尤其重視，借此對考生的數(shù)學(xué)能力進(jìn)行區(qū)分，因此在教學(xué)中要“善用，妙用”，以優(yōu)化教學(xué)質(zhì)量，更提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和素質(zhì)。endprint

【摘 要】文章就立體幾何教材中常見的一些基本立體圖形進(jìn)行梳理，同時(shí)對這些典型的基本圖形在解題中應(yīng)用進(jìn)行分析。

【關(guān)鍵詞】化歸思想；構(gòu)造法；基本圖形

解決數(shù)學(xué)問題的過程，本質(zhì)上就是不斷的敘述問題、轉(zhuǎn)化問題，直到找到某些能解決問題的“東西”的過程，同時(shí)轉(zhuǎn)化也是減少運(yùn)算的重要途徑，從而使解題速度得到提高?？梢哉f，數(shù)學(xué)問題的解決過程無不是在不間斷的轉(zhuǎn)化過程中得到解決的。因此解決數(shù)學(xué)問題的過程中我們提倡“遇困難，要轉(zhuǎn)化”的基本思想方法，這就是的高中數(shù)學(xué)重要的轉(zhuǎn)化與歸的思想方法。

轉(zhuǎn)化與化歸思想：指在研究的和解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，將遇到的難解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化，歸結(jié)為已經(jīng)解決或比較容易解決的問題，最終使原問題得到解決。

轉(zhuǎn)化與化歸的原則：將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟知的問題——熟悉化原則；將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體直觀的問題—— 直觀化原則；將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題——簡單化原則；正面討論比較困難時(shí)，應(yīng)從問題的反面去探求——正難則反原則。

轉(zhuǎn)化與化歸思想的要素：轉(zhuǎn)化什么、轉(zhuǎn)化到何處去、怎么進(jìn)行轉(zhuǎn)化、有幾種轉(zhuǎn)化方式。

轉(zhuǎn)化與化歸的方法：換元法、數(shù)形結(jié)合法、參數(shù)法、構(gòu)造法、坐標(biāo)法、類比法、特殊化方法、一般方法、等價(jià)問題法、補(bǔ)集法等。其中構(gòu)造法指“構(gòu)造”出一個(gè)合適數(shù)學(xué)模型，從而把問題轉(zhuǎn)化成易于解決的問題。

一、利用教材中立體幾何中的基本圖形“解決”問題

立體幾何解題的重要基礎(chǔ)是作圖，幾何作圖的基本原則，強(qiáng)調(diào)立體與實(shí)際，因此解決問題過程中要善于利用教材中典型例題、典型習(xí)題、公理、定理、性質(zhì)“解決”所對應(yīng)的基本圖形，現(xiàn)將就這些典型的基本圖形在解題中應(yīng)用進(jìn)行分析。

教材問題：如果有一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，那么這點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在 這個(gè)角的平分線上。

教材習(xí)題：經(jīng)過一個(gè)角的頂點(diǎn)引這所在平面的斜射線，設(shè)它和已知角的兩邊的夾角為銳角且相等，求證：這條斜線在平面內(nèi)的射影是這個(gè)的平分線。

三垂線定理，基本構(gòu)成：一面四線三垂直，可處理空間兩直線的垂直問題、點(diǎn)直線的距離問題。

最小角定理：平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角，是這條斜線與這個(gè)平面內(nèi)經(jīng)邊斜足的直線所成的一切角中最小的角，可得公式cosθ=cosθ1cosθ2，公式也可用來求異面直線所成的角。

長方體的性質(zhì)：長方體的一條對角線長的平方等于同一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長的平方和；體對角線長等于它外接球的半徑；可將一個(gè)對棱相等的空間四面體內(nèi)置于長方體內(nèi)；共點(diǎn)的兩兩互垂的三條線段可構(gòu)造一個(gè)長方體。

正方體的性質(zhì)：正方體是特殊的長方體，正四面體可內(nèi)置于正方體；正四面體的相關(guān)距離、角度計(jì)算中借助正方體來研究；正方體有外接球、內(nèi)切球、內(nèi)嵌球（內(nèi)切球不斷膨脹與正方體的所有棱均相切）；共點(diǎn)且兩夾角相等三條直線由正四面體來構(gòu)造。

球的截面的性質(zhì)：一個(gè)平面截一個(gè)球面，所得的截線是以球心在截面內(nèi)的射影為圓心，以r=（其中R為球的半徑，d為球心到截面的距離）為半徑的一個(gè)圓，截面是一個(gè)圓。

平面的法向量：如果表示向量a的有向線段所在直線垂直于平面α，則稱這個(gè)向量垂直于平面α，記作a⊥α，那么向量a叫球做平面α的法向量。

二、巧用構(gòu)造基本圖形：解決“問題”

立體幾何常見問題有證明空間的平行與垂直關(guān)系、空間角、空間距離等。問題的解決一般有兩條途徑，即兩種轉(zhuǎn)化方式，：空間問題平面化、構(gòu)造基本圖形來解決問題；兩種方法：傳統(tǒng)的幾何法（找—證—算）、空間向量坐標(biāo)法（建系—點(diǎn)的坐標(biāo)—向量的坐標(biāo)—代入公式運(yùn)算）。

例：如右圖，△ADP為正三角形，四邊形ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，M為平面ABCD內(nèi)的一動點(diǎn)，且滿足MP=MC，則點(diǎn)M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為（點(diǎn)O為正方形ABCD的中心）（）

A B C D

分析：對于條件MP=MC易聯(lián)想平面幾何中的結(jié)論：平面內(nèi)一動點(diǎn)M到線段PC兩端點(diǎn)的距離相等，動點(diǎn)M在線段PC的中垂線上，往空間拓展，則中垂線過線段的中心，中垂線的方向呢？不確定，動起來，形成一個(gè)平面，即線段PC的中垂面，至此構(gòu)造了一個(gè)點(diǎn)M所在平面；題設(shè)又要求點(diǎn)M同時(shí)必須在平面AC上，那么點(diǎn)M在兩個(gè)平面的交線上，是一條線段，故排除選C、D，如何確定這條交線呢？找兩個(gè)點(diǎn)，兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，結(jié)合選項(xiàng)，選項(xiàng)B中的點(diǎn)B不能充當(dāng)點(diǎn)M的角色，排除選項(xiàng)B，正確選項(xiàng)為A，可進(jìn)一步進(jìn)行驗(yàn)證。

例：四面積P—ABC可，三條側(cè)棱兩兩垂直，M是面ABC內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)M到三個(gè)面PAB、PAC、PBC的距離分別是2、3、6，則點(diǎn)M到頂點(diǎn)P的距離是（）。

分析：如圖可構(gòu)造出滿足條件的長方體，其體對角線長7即為所求。.

例：已知二面角α-1-β的大小為60°，m、n為異面直線，且m⊥α、n⊥β，則m、n所成的角為（）

A.30° B.60° C.90° D.120°

分析：易聯(lián)想教材中的習(xí)題，但有些不同，m、n為異面直線，而不是相交直線，能轉(zhuǎn)化嗎？根據(jù)異面直線成角的概念，平移轉(zhuǎn)化為相交直線成角——空間問題平面化，答案易確定為D，錯(cuò)了，忽略了異面直線的范圍，因此要注意思維的嚴(yán)謹(jǐn)性：求角，在哪里、如何的轉(zhuǎn)化。

例：如圖正三棱錐A-BCD中，E、F分別是AB、BC中點(diǎn)，EF⊥DE，且AC=1，則正三棱錐A=BCD的外接球的體積（）

A. B. C. D.

分析：正三棱錐對棱垂直，得AC⊥BD，由EF⊥DE，得AC⊥平面ABD，結(jié)論：AB、AC、AD兩兩垂直，構(gòu)造正方體，構(gòu)造外接球，體對角線與球的直徑相等，得球的半徑R=，正確選項(xiàng)為C。

例：過空間一點(diǎn)作四條射線，每兩條射線所成的角均相等，那么這個(gè)角的余弦值為（）

分析：

法一、構(gòu)成正四面體，中心為P，與四個(gè)頂點(diǎn)連接起來，在三角形中完成計(jì)算。

法二：構(gòu)造正四面體，中心為P，過點(diǎn)P分別作四個(gè)面的垂線，轉(zhuǎn)化為求側(cè)面與底面所成二面角的補(bǔ)角問題，同樣可以完成計(jì)算，答案為

例：已知球的半徑為2，相互垂直的兩個(gè)平面分別截球面得兩個(gè)圓，若兩圓的公共弦為2，則兩圓的圓心距等于（）

A.1 B. C. D.2

分析：做圖難，輔助線多；轉(zhuǎn)化難。

法一：做球面，兩個(gè)平面截此球面，截面圓相交弦長為2，弦AB中點(diǎn)C。

思路一：球面的截面的性質(zhì)指導(dǎo)結(jié)引作圖，連OO1，連OO2，構(gòu)造平面，得矩形OO1CO2；

思路二：轉(zhuǎn)化為平面，局部研究，其中一個(gè)截面圓，圓心O1，弦AB弦AB中點(diǎn)C，連O1C.

同理：連O2C，連OO1，連OO2，得矩形OO1CO2.

在Rt△OBC中，OC==

法二：特殊化處理，使其中一個(gè)截面圓O2過球心O，則OO1=O1O2=。

高中階段，幾乎每一個(gè)問題均要用到轉(zhuǎn)化與化歸的思想，當(dāng)我們在研究數(shù)學(xué)問題思維受阻時(shí)，可等價(jià)轉(zhuǎn)化為另一種情形，即另一種情境使問題得到解決，這是一條有效解決問題的途徑，同時(shí)高考對此思維想的考查也尤其重視，借此對考生的數(shù)學(xué)能力進(jìn)行區(qū)分，因此在教學(xué)中要“善用，妙用”，以優(yōu)化教學(xué)質(zhì)量，更提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和素質(zhì)。endprint