關(guān)于h凸函數(shù)的加權(quán)三點(diǎn)不等式

時(shí)統(tǒng)業(yè)，吳 涵，宋祥斌

（海軍指揮學(xué)院 浦口分院，江蘇 南京 211800）

Simpson不等式在計(jì)算定積分的數(shù)值計(jì)算中有著重要的作用.近些年來，許多學(xué)者針對被積函數(shù)的各種情形，利用被積函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)估計(jì)求積公式的誤差.本文針對三階可微函數(shù)，通過建立關(guān)于積分的恒等式，在三階導(dǎo)函數(shù)的絕對值是h凸函數(shù)的情形下，利用簡單的數(shù)學(xué)分析方法和H?lder不等式，給出若干帶有權(quán)函數(shù)的三點(diǎn)不等式，并在特殊情況下得到有關(guān)文獻(xiàn)的結(jié)果.

1 預(yù)備知識(shí)和引理

關(guān)于Simpson不等式的各種改進(jìn)和推廣，可參見文獻(xiàn)［1－9］.文獻(xiàn)［7－8］分別對其三階導(dǎo)函數(shù)的絕對值是m凸函數(shù)和第二種意義上的s凸函數(shù)的可微函數(shù)建立了一些Simpson型不等式.

定義1［10］設(shè)h：J?R→R是取正值的函數(shù)，f：I?R→R是非負(fù)函數(shù)，且對于任意x，y∈I，t∈［0，1］，有f（tx＋（1－t）y）≤h（t）f（x）＋h（1－t）f（y），則稱f是h凸函數(shù).

關(guān)于h凸函數(shù)的性質(zhì)和不等式可參見文獻(xiàn)［9－16］.文獻(xiàn)［9］考慮了三階導(dǎo)函數(shù)的絕對值是h凸函數(shù)的可微函數(shù)，建立了一些Simpson型不等式，推廣了文獻(xiàn)［8］的結(jié)果.

定理A［9］設(shè)h：J?R→R（［0，1］?J）是非負(fù)函數(shù)，f：I?［0，∞）→R是int I上的三階可微函數(shù)，a，b∈int I，a＜b，f（3）∈L1［a，b］.若｜f（3）｜是［a，b］上的h凸函數(shù)，則有

定理B［9］設(shè)h：J?R→R（［0，1］?J）是非負(fù)函數(shù)，f：I?［0，∞）→R是int I上的三階可微函數(shù)，a，b∈int I，a＜b，f（3）∈L1［a，b］.若｜f（3）｜q是［a，b］上的h凸函數(shù)，且，則有

定理C［9］設(shè)條件同定理B，則有

為了建立證明本文主要結(jié)論所用引理，引入函數(shù)k（x），并考慮其簡單的性態(tài).假設(shè)g：［a，b］→R是正的可積函數(shù)，定義

其中

其中c1和c2如（2）式所定義，

引理1 設(shè)f：I?R→R是int I上的三階可微函數(shù)，a，b∈int I，a＜b，f（3）∈L1［a，b］，g：［a，b］→R是正的可積函數(shù)，k（x）由（1）式所定義，則有

證 由分部積分法易證得，過程略.

引理2 設(shè)g：［a，b］→R是正的可積函數(shù)，k1（x）和k2（x）如（1）式所定義.若g≤M，M 為正常數(shù)，則有

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)f：I?［0，∞）→R是int I上的三階可微函數(shù)，a，b∈int I，a＜b，f（3）∈L1［a，b］，g：［a，b］→R是正的可積函數(shù)，h：J?R→R（［0，1］?J）是非負(fù)函數(shù).若｜f（3）｜是［a，b］上的h凸函數(shù)，則有

其中

證 由引理1及｜f（3）｜的h凸性得

其中c1由（2）式所定義，

注1 在定理1中，若取g≡1，則可得定理A.

定理2 設(shè)f：I?［0，∞）→R是int I上的三階可微函數(shù)，a，b∈int I，a＜b，f（3）∈L1［a，b］，g：［a，b］→R是正的可積函數(shù)，h：J?R→R（［0，1］?J）是非負(fù)函數(shù).若｜f（3）｜q是［a，b］上的h凸函數(shù)，q＞1，則有

其中B，C的表達(dá)式分別由（6）式和（7）式所定義，

證 由引理1及H?lder不等式得

因?yàn)椋黤″｜q是h凸函數(shù)，故有

由（10）～（12）式得（9）式的左邊不等式.利用 H?lder不等式，即對任意非負(fù)數(shù)a1，a2，b1，b2及任意的q＞1，有，可得到（9）式的右邊不等式.定理2得證.

推論2 在定理2中，若又設(shè)g≤M，M是正常數(shù)，則有

證 由定理2中A1，B1的表達(dá)式及引理2得

其中c1由 （2）式所定義，

注2 在定理2中，若取g≡1，則可得定理B.

定理3 設(shè)f：I?［0，∞）→R是int I上的三階可微函數(shù)，a，b∈int I，a＜b，f（3）∈L1［a，b］，g：［a，b］→R是正的可積函數(shù)，g≤M，M 是正常數(shù)，h：J?R→R（［0，1］?J）是非負(fù)函數(shù).若｜f（3）｜q是［a，b］上的h凸函數(shù)，，則有（其中Γ是Gamma函數(shù).）

證 由引理1、引理2、H?lder不等式及｜f″｜q的h凸性得

注3 在定理3中，若取g≡1，則可得定理C.

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