美麗的圖形

胡舜元

同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了相交線與平行線、三角形、全等三角形的相關(guān)知識，接下來將學(xué)習(xí)軸對稱圖形的有關(guān)內(nèi)容. 什么是軸對稱？什么是軸對稱圖形？兩個概念之間有何區(qū)別與聯(lián)系？常見的軸對稱圖形有哪些？它們有什么性質(zhì)？現(xiàn)在讓我們一起走進(jìn)美麗的軸對稱圖形世界吧！

一、 軸對稱與軸對稱圖形的概念及性質(zhì)

1. 基本概念

軸對稱：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就稱這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，也稱這兩個圖形成軸對稱，這條直線叫做對稱軸.

軸對稱圖形：把一個圖形沿某一條直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸.

2. 軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系

區(qū)別：軸對稱涉及兩個圖形，是兩個圖形的位置關(guān)系. 軸對稱圖形只是針對一個圖形而言，是這個圖形的自身的特性.

聯(lián)系：軸對稱和軸對稱圖形都有對稱軸；如果把軸對稱的兩個圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形；如果把軸對稱圖形沿對稱軸分成兩部分，那么這兩個圖形就關(guān)于這條直線對稱.

3. 軸對稱的性質(zhì)

關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形全等；如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是對稱點(diǎn)連線的垂直平分線.

二、 畫軸對稱圖形

1. 畫對稱點(diǎn) 根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)，從已知點(diǎn)向已知直線做垂線段并延長一倍，即可得到這一點(diǎn)關(guān)于已知直線的對稱點(diǎn).

如圖1，已知點(diǎn)A和直線l，從點(diǎn)A做l的垂線段并延長一倍即可得到點(diǎn)A關(guān)于l的對稱點(diǎn)A′. 如果點(diǎn)在直線上，則該點(diǎn)的對稱點(diǎn)是它本身.

2. 畫對稱圖形 關(guān)鍵是確定某些點(diǎn)關(guān)于這條直線的對稱點(diǎn).

以平面三角形為例，如圖2，△ABC為平面上的三角形，作這個三角形關(guān)于直線l的軸對稱圖形，只需確定三個頂點(diǎn)的軸對稱點(diǎn)，就可以畫出平面三角形的軸對稱圖形作任意的不規(guī)則圖形的軸對稱圖形，只需要找出這個不規(guī)則圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，作出關(guān)鍵點(diǎn)的軸對稱點(diǎn)，再依據(jù)圖形的形狀和性質(zhì)畫出最終的軸對稱圖形.

三、 線段垂直平分線的性質(zhì)與判定

要從正、逆兩個方向，結(jié)合動手折紙操作，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)與判定方法，并能靈活運(yùn)用，用于計算或證明線段相等.

1. 性質(zhì) 線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個端點(diǎn)距離相等.

幾何語言：如圖3，

∵ MN是線段AB的垂直平分線，點(diǎn)P在MN上，

∴ PA=PB（線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等）.

2. 判定：到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.

幾何語言：如圖3，

∵ PA=PB，

∴ 點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上（到線段兩端的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上）.

四、 角平分線的性質(zhì)與判定

類比線段垂直平分線的性質(zhì)與判定，進(jìn)一步掌握角的平分線的性質(zhì)與判定，也要求靈活運(yùn)用，用于計算或證明.

1. 性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

幾何語言：如圖4，

∵ OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，

PM⊥OA于點(diǎn)M，PN⊥OB于點(diǎn)N，

∴ PM=PN（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）.

2. 判定：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個角的平分線上.

幾何語言：如圖4，

∵ 點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部，

PM⊥OA于點(diǎn)M，PN⊥OB于點(diǎn)N，

PM=PN，

∴ 點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.

五、 等腰三角形的軸對稱性

等腰三角形是一種重要的軸對稱圖形，我們在學(xué)習(xí)它的定義、性質(zhì)與判定方法時，要善于利用它的軸對稱性，直觀判斷，再使用全等三角形，熟練證明. 這樣，有利于我們掌握. 當(dāng)然，性質(zhì)與判定經(jīng)常是互逆的，在學(xué)好性質(zhì)的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)判定一定要注意這種關(guān)系，便于我們知道知識的來龍去脈.

1. 性質(zhì)：

（1） 等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）；

（2） 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（簡稱“三線合一”）.

幾何語言：如圖5，

2. 判定：

（1） 有兩條邊相等的三角形是等腰三角形. （定義）

（2） 有兩個角相等的三角形是等腰三角形. （簡稱“等邊對等角”）

幾何語言：如圖5，

∵ 在△ABC中，∠B=∠C ，

∴ AB=AC（等邊對等角）.

3. 應(yīng)用：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

六、 等邊三角形的性質(zhì)和判定

等邊三角形是特殊的等腰三角形，抓住等腰三角形與60°就抓住了等邊三角形的核心.

1. 性質(zhì)：等邊三角形具有等腰三角形的一切性質(zhì)，同時又有自身的特殊性：三邊都相等；每個角都是60°；有三條對稱軸.

2. 判定：

（1） 三個角都相等的三角形是等邊三角形；

（2） 有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

（作者單位：江蘇省無錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校）

同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了相交線與平行線、三角形、全等三角形的相關(guān)知識，接下來將學(xué)習(xí)軸對稱圖形的有關(guān)內(nèi)容. 什么是軸對稱？什么是軸對稱圖形？兩個概念之間有何區(qū)別與聯(lián)系？常見的軸對稱圖形有哪些？它們有什么性質(zhì)？現(xiàn)在讓我們一起走進(jìn)美麗的軸對稱圖形世界吧！

一、 軸對稱與軸對稱圖形的概念及性質(zhì)

1. 基本概念

軸對稱：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就稱這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，也稱這兩個圖形成軸對稱，這條直線叫做對稱軸.

軸對稱圖形：把一個圖形沿某一條直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸.

2. 軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系

區(qū)別：軸對稱涉及兩個圖形，是兩個圖形的位置關(guān)系. 軸對稱圖形只是針對一個圖形而言，是這個圖形的自身的特性.

聯(lián)系：軸對稱和軸對稱圖形都有對稱軸；如果把軸對稱的兩個圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形；如果把軸對稱圖形沿對稱軸分成兩部分，那么這兩個圖形就關(guān)于這條直線對稱.

3. 軸對稱的性質(zhì)

關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形全等；如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是對稱點(diǎn)連線的垂直平分線.

二、 畫軸對稱圖形

1. 畫對稱點(diǎn) 根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)，從已知點(diǎn)向已知直線做垂線段并延長一倍，即可得到這一點(diǎn)關(guān)于已知直線的對稱點(diǎn).

如圖1，已知點(diǎn)A和直線l，從點(diǎn)A做l的垂線段并延長一倍即可得到點(diǎn)A關(guān)于l的對稱點(diǎn)A′. 如果點(diǎn)在直線上，則該點(diǎn)的對稱點(diǎn)是它本身.

2. 畫對稱圖形 關(guān)鍵是確定某些點(diǎn)關(guān)于這條直線的對稱點(diǎn).

以平面三角形為例，如圖2，△ABC為平面上的三角形，作這個三角形關(guān)于直線l的軸對稱圖形，只需確定三個頂點(diǎn)的軸對稱點(diǎn)，就可以畫出平面三角形的軸對稱圖形作任意的不規(guī)則圖形的軸對稱圖形，只需要找出這個不規(guī)則圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，作出關(guān)鍵點(diǎn)的軸對稱點(diǎn)，再依據(jù)圖形的形狀和性質(zhì)畫出最終的軸對稱圖形.

三、 線段垂直平分線的性質(zhì)與判定

要從正、逆兩個方向，結(jié)合動手折紙操作，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)與判定方法，并能靈活運(yùn)用，用于計算或證明線段相等.

1. 性質(zhì) 線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個端點(diǎn)距離相等.

幾何語言：如圖3，

∵ MN是線段AB的垂直平分線，點(diǎn)P在MN上，

∴ PA=PB（線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等）.

2. 判定：到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.

幾何語言：如圖3，

∵ PA=PB，

∴ 點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上（到線段兩端的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上）.

四、 角平分線的性質(zhì)與判定

類比線段垂直平分線的性質(zhì)與判定，進(jìn)一步掌握角的平分線的性質(zhì)與判定，也要求靈活運(yùn)用，用于計算或證明.

1. 性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

幾何語言：如圖4，

∵ OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，

PM⊥OA于點(diǎn)M，PN⊥OB于點(diǎn)N，

∴ PM=PN（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）.

2. 判定：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個角的平分線上.

幾何語言：如圖4，

∵ 點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部，

PM⊥OA于點(diǎn)M，PN⊥OB于點(diǎn)N，

PM=PN，

∴ 點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.

五、 等腰三角形的軸對稱性

等腰三角形是一種重要的軸對稱圖形，我們在學(xué)習(xí)它的定義、性質(zhì)與判定方法時，要善于利用它的軸對稱性，直觀判斷，再使用全等三角形，熟練證明. 這樣，有利于我們掌握. 當(dāng)然，性質(zhì)與判定經(jīng)常是互逆的，在學(xué)好性質(zhì)的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)判定一定要注意這種關(guān)系，便于我們知道知識的來龍去脈.

1. 性質(zhì)：

（1） 等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）；

（2） 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（簡稱“三線合一”）.

幾何語言：如圖5，

2. 判定：

（1） 有兩條邊相等的三角形是等腰三角形. （定義）

（2） 有兩個角相等的三角形是等腰三角形. （簡稱“等邊對等角”）

幾何語言：如圖5，

∵ 在△ABC中，∠B=∠C ，

∴ AB=AC（等邊對等角）.

3. 應(yīng)用：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

六、 等邊三角形的性質(zhì)和判定

等邊三角形是特殊的等腰三角形，抓住等腰三角形與60°就抓住了等邊三角形的核心.

1. 性質(zhì)：等邊三角形具有等腰三角形的一切性質(zhì)，同時又有自身的特殊性：三邊都相等；每個角都是60°；有三條對稱軸.

2. 判定：

（1） 三個角都相等的三角形是等邊三角形；

（2） 有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

（作者單位：江蘇省無錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校）

同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了相交線與平行線、三角形、全等三角形的相關(guān)知識，接下來將學(xué)習(xí)軸對稱圖形的有關(guān)內(nèi)容. 什么是軸對稱？什么是軸對稱圖形？兩個概念之間有何區(qū)別與聯(lián)系？常見的軸對稱圖形有哪些？它們有什么性質(zhì)？現(xiàn)在讓我們一起走進(jìn)美麗的軸對稱圖形世界吧！

一、 軸對稱與軸對稱圖形的概念及性質(zhì)

1. 基本概念

軸對稱：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就稱這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，也稱這兩個圖形成軸對稱，這條直線叫做對稱軸.

軸對稱圖形：把一個圖形沿某一條直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸.

2. 軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系

區(qū)別：軸對稱涉及兩個圖形，是兩個圖形的位置關(guān)系. 軸對稱圖形只是針對一個圖形而言，是這個圖形的自身的特性.

聯(lián)系：軸對稱和軸對稱圖形都有對稱軸；如果把軸對稱的兩個圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形；如果把軸對稱圖形沿對稱軸分成兩部分，那么這兩個圖形就關(guān)于這條直線對稱.

3. 軸對稱的性質(zhì)

關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形全等；如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是對稱點(diǎn)連線的垂直平分線.

二、 畫軸對稱圖形

1. 畫對稱點(diǎn) 根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)，從已知點(diǎn)向已知直線做垂線段并延長一倍，即可得到這一點(diǎn)關(guān)于已知直線的對稱點(diǎn).

如圖1，已知點(diǎn)A和直線l，從點(diǎn)A做l的垂線段并延長一倍即可得到點(diǎn)A關(guān)于l的對稱點(diǎn)A′. 如果點(diǎn)在直線上，則該點(diǎn)的對稱點(diǎn)是它本身.

2. 畫對稱圖形 關(guān)鍵是確定某些點(diǎn)關(guān)于這條直線的對稱點(diǎn).

以平面三角形為例，如圖2，△ABC為平面上的三角形，作這個三角形關(guān)于直線l的軸對稱圖形，只需確定三個頂點(diǎn)的軸對稱點(diǎn)，就可以畫出平面三角形的軸對稱圖形作任意的不規(guī)則圖形的軸對稱圖形，只需要找出這個不規(guī)則圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，作出關(guān)鍵點(diǎn)的軸對稱點(diǎn)，再依據(jù)圖形的形狀和性質(zhì)畫出最終的軸對稱圖形.

三、 線段垂直平分線的性質(zhì)與判定

要從正、逆兩個方向，結(jié)合動手折紙操作，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)與判定方法，并能靈活運(yùn)用，用于計算或證明線段相等.

1. 性質(zhì) 線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個端點(diǎn)距離相等.

幾何語言：如圖3，

∵ MN是線段AB的垂直平分線，點(diǎn)P在MN上，

∴ PA=PB（線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等）.

2. 判定：到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.

幾何語言：如圖3，

∵ PA=PB，

∴ 點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上（到線段兩端的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上）.

四、 角平分線的性質(zhì)與判定

類比線段垂直平分線的性質(zhì)與判定，進(jìn)一步掌握角的平分線的性質(zhì)與判定，也要求靈活運(yùn)用，用于計算或證明.

1. 性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

幾何語言：如圖4，

∵ OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，

PM⊥OA于點(diǎn)M，PN⊥OB于點(diǎn)N，

∴ PM=PN（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）.

2. 判定：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個角的平分線上.

幾何語言：如圖4，

∵ 點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部，

PM⊥OA于點(diǎn)M，PN⊥OB于點(diǎn)N，

PM=PN，

∴ 點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.

五、 等腰三角形的軸對稱性

等腰三角形是一種重要的軸對稱圖形，我們在學(xué)習(xí)它的定義、性質(zhì)與判定方法時，要善于利用它的軸對稱性，直觀判斷，再使用全等三角形，熟練證明. 這樣，有利于我們掌握. 當(dāng)然，性質(zhì)與判定經(jīng)常是互逆的，在學(xué)好性質(zhì)的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)判定一定要注意這種關(guān)系，便于我們知道知識的來龍去脈.

1. 性質(zhì)：

（1） 等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）；

（2） 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（簡稱“三線合一”）.

幾何語言：如圖5，

2. 判定：

（1） 有兩條邊相等的三角形是等腰三角形. （定義）

（2） 有兩個角相等的三角形是等腰三角形. （簡稱“等邊對等角”）

幾何語言：如圖5，

∵ 在△ABC中，∠B=∠C ，

∴ AB=AC（等邊對等角）.

3. 應(yīng)用：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

六、 等邊三角形的性質(zhì)和判定

等邊三角形是特殊的等腰三角形，抓住等腰三角形與60°就抓住了等邊三角形的核心.

1. 性質(zhì)：等邊三角形具有等腰三角形的一切性質(zhì)，同時又有自身的特殊性：三邊都相等；每個角都是60°；有三條對稱軸.

2. 判定：

（1） 三個角都相等的三角形是等邊三角形；

（2） 有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

（作者單位：江蘇省無錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校）