解不等式、集合表示與運算及簡易邏輯

王健

知識要點：解不等式

解不等式是一項基礎(chǔ)能力，廣泛應(yīng)用在集合運算、函數(shù)、線性規(guī)劃等有關(guān)問題中.

★一元二次不等式ax2+bx+c>0（或ax2+bx+c<0）（a≠0）的解法

先求根，然后結(jié)合函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象得到結(jié)論. 求根過程中優(yōu)先考慮因式分解，如有困難再求判別式.口訣：“同號兩根之外，異號兩根之間.”

★絕對值不等式xa）（a>0）的解法

① x

② x>ax2>a2x>a或x<-a；

③ f（x）

含有多個絕對值符號的不等式，可用“按零點分區(qū)間討論去絕對值”的方法來解.

★一元高次不等式的解法——標根法

① 因式分解：將一元高次不等式化為：（x-x1）（x-x2）·…·（x-xn）>0（或<0）的形式，并使每一個因式中x的系數(shù)為正.

② 畫出曲線：先將每一個因式的根標在數(shù)軸上，再從最大根的右上方依次通過數(shù)軸上代表各根的點畫曲線.如果數(shù)值相同的根出現(xiàn)偶數(shù)次，則曲線到達該點后彈回，不穿過數(shù)軸；如果數(shù)值相同的根出現(xiàn)奇數(shù)次，則曲線可以通過該點.口訣：“奇穿過偶彈回.”

③ 寫出解集：根據(jù)所繪制曲線呈現(xiàn)的f（x）的符號變化情況，寫出不等式的解集.

★分式不等式的解法

① 移項：使不等式右邊為0（標準化）；

② 通分：使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正（因式化）；

③ 求解：用標根法，求解時注意分母不能為零.（注：必修不作要求）

★其他函數(shù)不等式的解法

通法：以函數(shù)定義域為前提，統(tǒng)一函數(shù)名，利用函數(shù)單調(diào)性求解.

【提醒】

① 解分式不等式時，不能簡單地在不等式兩邊同時乘以分母來化簡，要注意討論分母的正負情況，如果分母為負，乘以分母時不等式符號需要改變.

② 在解函數(shù)型不等式時，首先要使得所求解函數(shù)有意義，然后利用好函數(shù)圖象及其單調(diào)性求解.

③ 含有參數(shù)的一元二次不等式問題是一類非常重要的常考題型，解答時要先依據(jù)常規(guī)思路求出兩根，再結(jié)合二次函數(shù)圖象確定開口方向求解. 莫忘二次項系數(shù)為0時是一次函數(shù)的情況，解答結(jié)果要寫成區(qū)間或集合的形式.

【自查題組】

（1） 不等式ax2-ax-1<0 的解集為R ，則實數(shù)a的取值范圍為 .

（2） 不等式>1的解集為 .

（A） {xx>4}

（B） {xx>或x<-3}

（C） {xx<-3或x>4}

（D） {xx>-2或x<-3}

（3） 不等式2x-1-x<1的解集是 .

（4） 不等式log （2x-3）（x2-3）>0的解集是 .

（5） 若不存在整數(shù)x滿足不等式（kx-k2-4）（x-4）<0，則實數(shù)k的取值范圍是 .

知識要點： 集合的表示與運算

★集合的概念：集合中的元素具有確定性、無序性、互異性的特征

解題中要注意互異性包含的暗示，如集合{a，2}隱含條件a≠2.

★集合的表示方法：列舉法、描述法

要注意描述法中代表元素的形式和意義，如{xy=}，{yy=}，{（x，y）y=}分別表示函數(shù)y=定義域、值域和點集的集合.

★分清兩類關(guān)系

① 元素與集合的關(guān)系，用∈或表示；

② 集合與集合的關(guān)系，用（子集），？芴或？奐（真子集），=（相等）表示.

★最特殊的集合——空集“”

① 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

② 進行集合的交、并、補運算時，不要忘了集合本身和空集的特殊情況. 如A∩B=，要注意A=或B=這兩種極端情況.

【提醒】

集合語言是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，近年以集合語言為基礎(chǔ)的抽象表示、符號表示在高考考題中的分量逐年增多，應(yīng)加強對這類數(shù)學(xué)語言的理解和掌握.

① 碰到用描述法表示的集合時，首先要看清集合中代表元素的形式，其次看它滿足的性質(zhì)，明白其表示的意義. 注意元素與集合是一種相對關(guān)系.

② 解決集合運算問題時，要善于借助數(shù)軸或韋恩圖這些圖示工具對集合進行分析和求解，同時不要遺漏邊界值、空集等易被忽略的情況.

【自查題組】

（6） 若集合A={x+y=cc∈R}，B={x2+y2=r2r>0}，則集合A∩B的子集的個數(shù)是 .

（A） 1 （B） 2 （C） 4 （D） 1或2或4

（7） 設(shè)A={1，2，3}，B={xxA}，則下列關(guān)系表述正確的是 .

（A） A∈B （B） AB （C） A？勐B （D） AB

（8） 已知集合A={-1，1}，B={xmx=1}，且A∪B=A，則m的值為 .

（A） 1 （B） -1 （C） 1或-1 （D） 1或-1或0

（9） 已知集合A={xx=2n-1，n∈Z}，B={xx2-4x≤0}，則A∩B= .

（A） {1} （B） {x1

（10） 對于集合M，N，定義M-N={xx∈M且xN}，M？茌N=（M-N）∪（N-M），設(shè)A={yy=3x，x∈R}，B={yy=-（x-1）2+2，x∈R}，則A？茌B=

.

（A） [0，2） （B） （0，2]

（C） （-∞，0]∪（2，+∞） （D） （-∞，0）∪[2，+∞）

知識要點：簡易邏輯

★命題的否定與否命題

對“pq”型命題來說，“pq”的否定是pq，否命題是pq.

非“pq”型命題無否命題概念，對于命題的否定p掌握以下?？寄Ｊ郊纯桑?/p>

① 全稱命題p：？坌x∈M，p（x），p的否定p：？堝x∈M，p（x）；

② 特稱命題p：？堝x∈M，p（x），p的否定p：？坌x∈M，p（x）；

③ 命題“p或q”的否定是“p且q”，命題“p且q”的否定是“p或q” .

★判斷命題充分性與必要性的三個要點

① 首先要明確哪個作為條件、哪個作為結(jié)論，然后根據(jù)定義判斷：由條件可推出結(jié)論時，則條件是結(jié)論成立的充分條件；由結(jié)論可推出條件時，則條件是結(jié)論成立的必要條件.

解題時先根據(jù)題目中的問題判斷哪個是條件、哪個是結(jié)論，然后把條件放前面、結(jié)論放后面：條件結(jié)論，判斷為充分條件；若條件？坩結(jié)論，則判斷為必要條件.

② 很多與字母有關(guān)的判斷問題，可以從找尋條件和結(jié)論的聯(lián)系入手，然后結(jié)合集合間的包含關(guān)系來理解和判斷.

若AB，則x∈A是x∈B的充分條件，x∈B是x∈A的必要條件；

【參考答案】

（1） {a-4

（2） C

（3） {x0

（4） {xx∈（，2）∪（2，+∞）}

（5） {k1≤k≤4} 【當(dāng)k>0時，可得x-（x-4）<0，由于=k+≥4，則4

當(dāng)k=0時，顯然存在整數(shù)x滿足題意.

當(dāng)k<0時，x-（x-4）>0，由于=k+≤-4，顯然也存在整數(shù)x滿足題意.

綜上所述，解得{k1≤k≤4}】

（6） A 【一定要清楚集合A與集合B中元素的形式和意義不同，所以交集為空集，而空集的子集仍然為空集，所以答案為A】

（7） A 【要分清集合和元素的相對性. B集合應(yīng)這樣理解：它的元素是A集合的子集，如{1}，{2}，{3}，{1，2}，{2，3}，{1，3}，{1，2，3}和空集，所以應(yīng)選A】

（8） D 【不要漏掉B為空集的情況】

（9） C

（10） C

（11） C

（12） A

（13） C 【利用集合間的包含關(guān)系，找出必要條件的選項，符合條件的只有C】

（14） C 【由題意得： f=f-φ=kπ， “f（x）是偶函數(shù)”φ=kπ，所以f=f- f（x）是偶函數(shù)，答案選C】

（15） B 【“便宜沒好貨”即“便宜”“沒好貨”，它的逆否命題為：“好貨”“不便宜”，據(jù)此判斷，答案為B】

若BA，則x∈A是x∈B的必要條件，x∈B是x∈A的充分條件；

若A=B，則x∈A是x∈B（或x∈B是x∈A）的充要條件.

可以記為“大是小必要，小是大充分”.

③ 對于條件或結(jié)論是不等關(guān)系（或否定式）的命題，可利用原命題與逆否命題等價的性質(zhì)，即ABBA來判斷.

【提醒】

簡易邏輯作為高中邏輯判斷的理論基礎(chǔ)，有助于我們加強對概念、定理和性質(zhì)等命題的理解和認識.學(xué)習(xí)時應(yīng)注意形式化的語言的書寫，如寫原命題、否命題、逆命題、逆否命題四種命題形式或含有全稱量詞、特稱量詞的命題的否定形式等. 命題的充分性和必要性的判斷是一個重要的考點，應(yīng)注意審題，找出聯(lián)系，分清條件和結(jié)論，善于運用集合工具.

【自查題組】

（11） 命題“若xA則y∈B”的否命題是 .

（A） 若xA，則yB （B） 若y∈B，則xA

（C） 若x∈A，則yB （D） 若yB，則xA

（12） 已知命題p：？堝n∈N ，2n>1000，則p為 .

（A） ？坌n∈N ，2n≤1000 （B） ？坌n∈N ，2n>1000

（C） ？堝n∈N ，2n≤1000 （D） ？堝n∈N ，2n<1000

（13） “不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的一個必要不充分條件是

.

（A） m> （B） 0

（C） m>0 （D） m>1

（14） 已知函數(shù)f（x）=cos（x+φ），則“f=f-”是“f（x）是偶函數(shù)”的 .

（A） 充分不必要條件 （B） 必要不充分條件

（C） 充要條件 （D） 既不充分也不必要條件

（15） 人們常說“便宜沒好貨”，這句話的意思是：“不便宜”是“好貨”的 .

（A） 充分條件 （B） 必要條件

（C） 充分必要條件 （D） 既非充分也非必要條件

（C） （-∞，0]∪（2，+∞） （D） （-∞，0）∪[2，+∞）

知識要點：簡易邏輯

★命題的否定與否命題

對“pq”型命題來說，“pq”的否定是pq，否命題是pq.

非“pq”型命題無否命題概念，對于命題的否定p掌握以下?？寄Ｊ郊纯桑?/p>

① 全稱命題p：？坌x∈M，p（x），p的否定p：？堝x∈M，p（x）；

② 特稱命題p：？堝x∈M，p（x），p的否定p：？坌x∈M，p（x）；

③ 命題“p或q”的否定是“p且q”，命題“p且q”的否定是“p或q” .

★判斷命題充分性與必要性的三個要點

① 首先要明確哪個作為條件、哪個作為結(jié)論，然后根據(jù)定義判斷：由條件可推出結(jié)論時，則條件是結(jié)論成立的充分條件；由結(jié)論可推出條件時，則條件是結(jié)論成立的必要條件.

解題時先根據(jù)題目中的問題判斷哪個是條件、哪個是結(jié)論，然后把條件放前面、結(jié)論放后面：條件結(jié)論，判斷為充分條件；若條件？坩結(jié)論，則判斷為必要條件.

② 很多與字母有關(guān)的判斷問題，可以從找尋條件和結(jié)論的聯(lián)系入手，然后結(jié)合集合間的包含關(guān)系來理解和判斷.

若AB，則x∈A是x∈B的充分條件，x∈B是x∈A的必要條件；

【參考答案】

（1） {a-4

（2） C

（3） {x0

（4） {xx∈（，2）∪（2，+∞）}

（5） {k1≤k≤4} 【當(dāng)k>0時，可得x-（x-4）<0，由于=k+≥4，則4

當(dāng)k=0時，顯然存在整數(shù)x滿足題意.

當(dāng)k<0時，x-（x-4）>0，由于=k+≤-4，顯然也存在整數(shù)x滿足題意.

綜上所述，解得{k1≤k≤4}】

（6） A 【一定要清楚集合A與集合B中元素的形式和意義不同，所以交集為空集，而空集的子集仍然為空集，所以答案為A】

（7） A 【要分清集合和元素的相對性. B集合應(yīng)這樣理解：它的元素是A集合的子集，如{1}，{2}，{3}，{1，2}，{2，3}，{1，3}，{1，2，3}和空集，所以應(yīng)選A】

（8） D 【不要漏掉B為空集的情況】

（9） C

（10） C

（11） C

（12） A

（13） C 【利用集合間的包含關(guān)系，找出必要條件的選項，符合條件的只有C】

（14） C 【由題意得： f=f-φ=kπ， “f（x）是偶函數(shù)”φ=kπ，所以f=f- f（x）是偶函數(shù)，答案選C】

（15） B 【“便宜沒好貨”即“便宜”“沒好貨”，它的逆否命題為：“好貨”“不便宜”，據(jù)此判斷，答案為B】

若BA，則x∈A是x∈B的必要條件，x∈B是x∈A的充分條件；

若A=B，則x∈A是x∈B（或x∈B是x∈A）的充要條件.

可以記為“大是小必要，小是大充分”.

③ 對于條件或結(jié)論是不等關(guān)系（或否定式）的命題，可利用原命題與逆否命題等價的性質(zhì)，即ABBA來判斷.

【提醒】

簡易邏輯作為高中邏輯判斷的理論基礎(chǔ)，有助于我們加強對概念、定理和性質(zhì)等命題的理解和認識.學(xué)習(xí)時應(yīng)注意形式化的語言的書寫，如寫原命題、否命題、逆命題、逆否命題四種命題形式或含有全稱量詞、特稱量詞的命題的否定形式等. 命題的充分性和必要性的判斷是一個重要的考點，應(yīng)注意審題，找出聯(lián)系，分清條件和結(jié)論，善于運用集合工具.

【自查題組】

（11） 命題“若xA則y∈B”的否命題是 .

（A） 若xA，則yB （B） 若y∈B，則xA

（C） 若x∈A，則yB （D） 若yB，則xA

（12） 已知命題p：？堝n∈N ，2n>1000，則p為 .

（A） ？坌n∈N ，2n≤1000 （B） ？坌n∈N ，2n>1000

（C） ？堝n∈N ，2n≤1000 （D） ？堝n∈N ，2n<1000

（13） “不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的一個必要不充分條件是

.

（A） m> （B） 0

（C） m>0 （D） m>1

（14） 已知函數(shù)f（x）=cos（x+φ），則“f=f-”是“f（x）是偶函數(shù)”的 .

（A） 充分不必要條件 （B） 必要不充分條件

（C） 充要條件 （D） 既不充分也不必要條件

（15） 人們常說“便宜沒好貨”，這句話的意思是：“不便宜”是“好貨”的 .

（A） 充分條件 （B） 必要條件

（C） 充分必要條件 （D） 既非充分也非必要條件

（C） （-∞，0]∪（2，+∞） （D） （-∞，0）∪[2，+∞）

知識要點：簡易邏輯

★命題的否定與否命題

對“pq”型命題來說，“pq”的否定是pq，否命題是pq.

非“pq”型命題無否命題概念，對于命題的否定p掌握以下?？寄Ｊ郊纯桑?/p>

① 全稱命題p：？坌x∈M，p（x），p的否定p：？堝x∈M，p（x）；

② 特稱命題p：？堝x∈M，p（x），p的否定p：？坌x∈M，p（x）；

③ 命題“p或q”的否定是“p且q”，命題“p且q”的否定是“p或q” .

★判斷命題充分性與必要性的三個要點

① 首先要明確哪個作為條件、哪個作為結(jié)論，然后根據(jù)定義判斷：由條件可推出結(jié)論時，則條件是結(jié)論成立的充分條件；由結(jié)論可推出條件時，則條件是結(jié)論成立的必要條件.

解題時先根據(jù)題目中的問題判斷哪個是條件、哪個是結(jié)論，然后把條件放前面、結(jié)論放后面：條件結(jié)論，判斷為充分條件；若條件？坩結(jié)論，則判斷為必要條件.

② 很多與字母有關(guān)的判斷問題，可以從找尋條件和結(jié)論的聯(lián)系入手，然后結(jié)合集合間的包含關(guān)系來理解和判斷.

若AB，則x∈A是x∈B的充分條件，x∈B是x∈A的必要條件；

【參考答案】

（1） {a-4

（2） C

（3） {x0

（4） {xx∈（，2）∪（2，+∞）}

（5） {k1≤k≤4} 【當(dāng)k>0時，可得x-（x-4）<0，由于=k+≥4，則4

當(dāng)k=0時，顯然存在整數(shù)x滿足題意.

當(dāng)k<0時，x-（x-4）>0，由于=k+≤-4，顯然也存在整數(shù)x滿足題意.

綜上所述，解得{k1≤k≤4}】

（6） A 【一定要清楚集合A與集合B中元素的形式和意義不同，所以交集為空集，而空集的子集仍然為空集，所以答案為A】

（7） A 【要分清集合和元素的相對性. B集合應(yīng)這樣理解：它的元素是A集合的子集，如{1}，{2}，{3}，{1，2}，{2，3}，{1，3}，{1，2，3}和空集，所以應(yīng)選A】

（8） D 【不要漏掉B為空集的情況】

（9） C

（10） C

（11） C

（12） A

（13） C 【利用集合間的包含關(guān)系，找出必要條件的選項，符合條件的只有C】

（14） C 【由題意得： f=f-φ=kπ， “f（x）是偶函數(shù)”φ=kπ，所以f=f- f（x）是偶函數(shù)，答案選C】

（15） B 【“便宜沒好貨”即“便宜”“沒好貨”，它的逆否命題為：“好貨”“不便宜”，據(jù)此判斷，答案為B】

若BA，則x∈A是x∈B的必要條件，x∈B是x∈A的充分條件；

若A=B，則x∈A是x∈B（或x∈B是x∈A）的充要條件.

可以記為“大是小必要，小是大充分”.

③ 對于條件或結(jié)論是不等關(guān)系（或否定式）的命題，可利用原命題與逆否命題等價的性質(zhì)，即ABBA來判斷.

【提醒】

簡易邏輯作為高中邏輯判斷的理論基礎(chǔ)，有助于我們加強對概念、定理和性質(zhì)等命題的理解和認識.學(xué)習(xí)時應(yīng)注意形式化的語言的書寫，如寫原命題、否命題、逆命題、逆否命題四種命題形式或含有全稱量詞、特稱量詞的命題的否定形式等. 命題的充分性和必要性的判斷是一個重要的考點，應(yīng)注意審題，找出聯(lián)系，分清條件和結(jié)論，善于運用集合工具.

【自查題組】

（11） 命題“若xA則y∈B”的否命題是 .

（A） 若xA，則yB （B） 若y∈B，則xA

（C） 若x∈A，則yB （D） 若yB，則xA

（12） 已知命題p：？堝n∈N ，2n>1000，則p為 .

（A） ？坌n∈N ，2n≤1000 （B） ？坌n∈N ，2n>1000

（C） ？堝n∈N ，2n≤1000 （D） ？堝n∈N ，2n<1000

（13） “不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的一個必要不充分條件是

.

（A） m> （B） 0

（C） m>0 （D） m>1

（14） 已知函數(shù)f（x）=cos（x+φ），則“f=f-”是“f（x）是偶函數(shù)”的 .

（A） 充分不必要條件 （B） 必要不充分條件

（C） 充要條件 （D） 既不充分也不必要條件

（15） 人們常說“便宜沒好貨”，這句話的意思是：“不便宜”是“好貨”的 .

（A） 充分條件 （B） 必要條件

（C） 充分必要條件 （D） 既非充分也非必要條件