樣條函數(shù)擬合GPS高程探討①

張海艷，張振濤，蘇貴波，李清生

（1.國家測繪局第一地形測量隊，陜西 西安710054；2.中國人民解放軍61491部隊，河南 許昌461131）

0 引 言

全球定位系統(tǒng)（GPS）是隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，而建立起來的新一代精密定位系統(tǒng)［1－2]。由于該系統(tǒng)不受氣象條件的影響、自動化程度高，且定位精度良好，已經(jīng)廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域，水平定位精度在短時間內(nèi)即可達到±5mm＋1ppm［3].目前，GPS測高的能力得到了普遍的關(guān)注，研究GPS測定水準高程的方法將有助于更好的發(fā)揮GPS的作用。為了使GPS測量成果能夠在解決高程問題方面得到較好的應(yīng)用，綜合利用水準測量和重力測量資料，確定大地水準面高程，綜合利用大地水準面資料確定點的高程。

1 數(shù)學(xué)模型

解決GPS測定高程問題的關(guān)鍵是如何確定高程異常差［4]。

1.1 三次樣條函數(shù)曲線擬合法

樣條數(shù)學(xué)含義為：曲線直到二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，沒有多余的拐點，曲率變化比較均勻［5]。當(dāng)測線較長時，節(jié)點處的高程異常值變化會較大，當(dāng)插值點過多時，若采用多項式曲線擬合法，會出現(xiàn)不光滑、不連續(xù)的現(xiàn)象，影響插值精度。但是，若采用三次樣條函數(shù)曲線擬合的方法就會彌補上述不足［6－7]，使插值精度得到保證。三次樣條函數(shù)是光滑連續(xù)的，可以更好的處理較長曲線的擬合問題［7]。

節(jié)點處的函數(shù)值和二階導(dǎo)數(shù)或函數(shù)值和一階導(dǎo)數(shù)來建立三次樣條插值函數(shù)的表達式及連續(xù)性方程和邊界條件給定及其算法。

記S（x）在節(jié)點xi處的函數(shù)值，一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)為

在每個小區(qū)間［xi－1，xi]上，S（x）都是不超過3次的多項式，則S′（x）在小區(qū)間上是不超過1次的多項式，那么S＂（x）在兩節(jié)點處的值應(yīng)為常數(shù)，即y"＝0.此時，稱為自然插值三次樣條函數(shù)。假定節(jié)點的二階導(dǎo)數(shù)為零，進行擬合運算

1.1.1 邊界條件

由式（6）決定的M 連續(xù)性方程，都是n＋1個未知數(shù)的n－1個線性代數(shù)方程，顯然，僅有這些方程組是無解的，要想唯一確定方程組的解，必須再附加兩個方程，這里給出一種附加條件的方法，通常是在區(qū)間節(jié)點處給出，稱為邊界條件。

1.1.2 算法

為了求出三次樣條函數(shù)s（x），關(guān)鍵在于求解出式（4），在三對角系數(shù)矩陣中，（i＝1，2，…，n） ，且0≤λ0，μ0，λn，μn≤1主對角線元素等于2，對角嚴格占優(yōu)，因為，這樣方程組的解存在并且唯一。為了節(jié)省計算時間和存儲量，一般都采用追趕法求解［8－10]。

1.2 多項式曲線擬合法［4，6，11]

設(shè)ξi和xi（或yi）存在的函數(shù)關(guān)系（i＝0，1，2，…，n）可以用以下m（m≤n）項多項式擬合

在節(jié)點處的離差Ri＝ξi（x）－ξi平方和最小的條件下：

求解出式中各系數(shù)，即可按ξm（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋amxn求出測線方向上（或方向線左右任一點的）ξ值。

2 實例驗算及分析比較

2.1 東北某地GPS測線的擬合概算

為了檢驗曲線擬合法在長距離長間距的擬合效果，我們選了東北某地由六個點組成的一條測線，如圖1所示。

測線總長474km，測線上各點都聯(lián)測了四等幾何水準，分別用三次樣條函數(shù)和多項式曲線擬合法進行了擬合，所得中誤差如表1所示。

比較樣條函數(shù)和多項式擬合的中誤差，可以看出，運用樣條函數(shù)的擬合效果比多項式擬合的精度高。

圖1 東北某地GPS測線

表1 東北某地樣條函數(shù)和多項式擬合中誤差對比

2.2 王灘GPS網(wǎng)的擬合概算

王灘試驗GPS網(wǎng)位于唐山市樂亭縣王灘鎮(zhèn)以南，瀕臨渤海灣，測區(qū)面積約170km2，全網(wǎng)共31個點，最長邊為23.5km，最短邊為956m，除30和31號點為已知坐標點遠離測區(qū)未作水準聯(lián)測外，其余點都實測了四等水準，如圖2所示。

圖2 王灘試驗GPS網(wǎng)

在擬合計算時，僅選了11－12－7這條測線上的點，以及其左右兩側(cè)的點，運用三次樣條函數(shù)及多項式曲線擬合法進行擬合，如表2、表3所示。

2.2.1 節(jié)點均勻方案

選取測線上分布較均勻的11、14、12、4、7等點進行擬合計算，得出各點的中誤差如表2所示。

表2 節(jié)點均勻中誤差對比

2.2.2 節(jié)點非均勻方案

選取測線上分布不均勻的11、15、12、3、7等點進行擬合計算，得出各點的中誤差如表3所示。

表3 節(jié)點不均勻中誤差對比

從表中可以看出，樣條函數(shù)擬合的精度高于多項式擬合的精度，而且均勻方案中點的擬合精度普遍高于不均勻方案點的擬合精度。

2.3 廈門GPS網(wǎng)擬合概算

廈門GPS網(wǎng)共113個點，為Ⅱ、Ⅲ等全面網(wǎng)，見圖3，地處東經(jīng)117°53′～118°23′，北緯24°24′～24°54′，位于閩南金三角，面積約1 500km2.測區(qū)地勢為西北高、東南低，且瀕臨臺灣海峽。西北部最高點海拔564m，東南最低點海拔5m，平均海拔93m.

圖3 廈門GPS網(wǎng)

在驗證計算中，選用了測線67～80～92，并且以67、66、65、71、76、77、80、92為節(jié)點，以69、70、72、75、78、81、84、89、87、90、91為插值點，選用四種擬合方案進行擬合計算，具體結(jié)果如表4、5、6、7所示。

2.3.1 插值點相同而節(jié)點不同（均勻方案取70、81、87、91為插值點，67、71、80、92為節(jié)點）（如表4所示）

表4 插值點相同而節(jié)點不同中誤差對比

2.3.2 插值點相同而節(jié)點不同（非均勻方案取70、81、87、91為插值點，67、66、77、80為節(jié)點）（如表5所示）

表5插值點相同而節(jié)點不同中誤差對比

2.3.3 節(jié)點同而插值點不相同（均勻方案取70、81、87、91為插值點，67、80、92為節(jié)點）（如表6所示）

表6 節(jié)點同而插值點不相同中誤差對比

2.3.4 節(jié)點同而插值點不相同（非均勻方案取69、75、84、91為插值點，67、80、92為節(jié)點）（如表7所示）

表7 節(jié)點同而插值點不相同中誤差對比

當(dāng)插值點相同而節(jié)點不同，其擬合效果將隨著節(jié)點選取的均勻程度提高而提高；而當(dāng)節(jié)點相同，插值點不同時，插值點的擬合效果也隨其均勻程度的提高而提高。而且，當(dāng)插值點距節(jié)點越近時其擬合效果越好，即插值點的擬合效果受節(jié)點的影響較大。因此，節(jié)點精度的高低對插值點的擬合精度有直接影響。

2.4 方案分析比較

2.4.1 已知點位分布規(guī)律

1）控制點（即節(jié)點）數(shù)相同，點位分布不同的比較

三次樣條函數(shù)曲線擬合時，非均勻分布的方案：在2.3.4節(jié)中，點69、75、84、91的中誤差分別為；m樣＝±30.5cm、±21.2cm、±8.7cm、±9.3cm，m多＝±31.5cm、±23.3cm、±18.5cm、±24.6cm.而均勻方案2.3.1和2.3.3節(jié)中，m樣＝±7.3cm、±8.3cm，m多＝±7.7cm、±8.4cm.在2.2節(jié)中，總體擬合效果都較好，最小的樣條擬合中誤差達±1.6cm，最小多項式擬合中誤差為 ±4.4cm；而最大的樣條擬合中誤差為±2.4cm，最大多項式擬合中誤差達到了±23.3cm，由此可以看出樣條函數(shù)擬合的效果要比多項式擬合的效果好得多。再由2.2節(jié)中第二種方案可看出，當(dāng)節(jié)點與插值點都均勻時，其擬合的效果都較好；在2.1節(jié)中，由于測線較長，其 擬 合 效 果 不 太 好，m樣＝ ±41.4cm，m多＝±42.3cm.可見，已知控制點分布均勻，各種擬合法的精度都高于非均勻分布的精度。

2）擬合方法相同，已知點數(shù)不同的情況

擬合點的選擇對GPS水準高程精度的影響較大，一般應(yīng)選擇一定的擬合點且均勻分布于測區(qū)。在2.3節(jié)中，可以看出，擬合點的增加對精度影響并不顯著，用適當(dāng)?shù)臄M合點也能獲得滿意的結(jié)果?？梢姡黾右阎c數(shù)來提高擬合精度是有限的。

2.4.2 擬合方法優(yōu)劣的比較

由2.2節(jié)中二種方案，可以看出，在均勻分布情況下，兩種擬合法的精度基本相當(dāng)，約為（0.2～0.3）±3cm.但一般情況下，三次樣條函數(shù)曲線擬合要優(yōu)于多項式擬合。

3 結(jié) 論

1）在GPS高程擬合中，對于局部小區(qū)域內(nèi)的線狀GPS網(wǎng)，在平原和丘陵地區(qū)，兩種方法擬合的精度都可以達到±5cm以內(nèi)，而三次樣條函數(shù)曲線擬合法更適合于線狀GPS網(wǎng)的測區(qū)。

2）兩種擬合法，采用已知控制點的個數(shù)要適當(dāng)，以略多于待定系數(shù)個數(shù)為宜，一般為網(wǎng)中總點數(shù)的20%～30%，點的布設(shè)以均勻分布最佳，且不宜外插擬合。

3）測線過長時，擬合精度不高，應(yīng)加密GPS點，充分利用重力水準資源，選點要均勻。

4）獲取GPS數(shù)據(jù)宜采用雙頻接收機，消弱電離層影響，選擇最佳衛(wèi)星幾何圖形，選擇衛(wèi)星位近和觀測時段，以獲取精確的數(shù)據(jù)。

5）由于插值點距離節(jié)點越近，則節(jié)點對插值點高程影響越大，所以要盡量提高已知點的精度。

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