運(yùn)用迭代FFT算法優(yōu)化平面稀疏陣列①

張 飛，黃 偉，陳客松

（電子科技大學(xué) 電子工程學(xué)院，四川 成都610054）

0 引 言

在許多實(shí)際工程應(yīng)用中，只要求天線陣列有窄的掃描波束，而不要求有相應(yīng)的增益。如高頻地面雷達(dá)天線、抗環(huán)境干擾的衛(wèi)星接收天線和射電天文中的干涉陣列等。增益與照射口徑的面積有關(guān)，陣列波束寬度與口徑的最大尺寸有關(guān)，因此，可以采用稀疏陣列（即從規(guī)則的柵格中抽去天線單元或接匹配負(fù)載）的方法構(gòu)造出一個(gè)降低增益的高方向性天線陣列，以較少的天線單元數(shù)達(dá)到掃描波束變窄、空間分辨率提高以及天線單元間互耦減弱等技術(shù)指標(biāo)，從而大大降低生產(chǎn)成本［1]。陣列的周期性變稀會(huì)使陣列方向圖出現(xiàn)非常高的副瓣，稀疏陣列優(yōu)化設(shè)計(jì)的主要目標(biāo)就是實(shí)現(xiàn)旁瓣性能最優(yōu)化，即盡可能的降低峰值旁瓣電平（PSL）。

近年來，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，高效的陣列優(yōu)化方法已成為研究熱點(diǎn)。用于平面稀疏陣列優(yōu)化的算法主要有遺傳算法、模擬退火算法、粒子群算法以及最近出現(xiàn)的蟻群算法等。這些算法從本質(zhì)上來說都是基于隨機(jī)性的自然算法，需要很長的運(yùn)算時(shí)間才能得到優(yōu)化結(jié)果。

介紹了一種基于迭代FFT算法的平面稀疏陣列優(yōu)化方法。這是一種全新高效的優(yōu)化方法。在稀疏陣列中，陣列因子與陣元激勵(lì)之間存在傅里葉變換關(guān)系，在旁瓣約束下，對初始陣元激勵(lì)進(jìn)行少次迭代，就能使陣列的旁瓣性能得到顯著的優(yōu)化。以陣列大小為10×20的矩形平面稀疏陣列作為優(yōu)化實(shí)例，證實(shí)了該方法的高效性和穩(wěn)健性。

1 矩形平面稀疏陣列模型

一個(gè)稀疏率為f、可放置陣元的柵格數(shù)（陣列大?。镸×N，柵格間距為dx＝dy＝d的矩形平面稀疏陣列如圖1所示。陣元數(shù)目為T＝f×M×N.陣列方向圖可以表示為

式中：EF（μ，v）為天線單元的方向圖函數(shù)；又稱單元因子；AF（μ，v）為陣列因子；Amn為第（m，n）陣元的激勵(lì)；k＝2π／λ，λ為波長；μ＝sinθcosφ；v＝sinθsinφ.當(dāng)陣元均為理想的全向性天線單元，各陣元等幅同相激勵(lì)，主波束指向陣列法線方向時(shí)，EF（μ，v）＝1，平面稀疏陣列的方向圖為

圖1 矩形平面稀疏陣列模型

二維離散傅里葉逆變換，可以表示為

比較式（3）與式（4）可以看出陣元激勵(lì)A(yù)mn與陣列因子AF之間存在傅里葉變換關(guān)系。如果優(yōu)化目標(biāo)是要獲得可視區(qū)的峰值旁瓣電平（PSL）最小的矩形平面稀疏陣列，則最優(yōu)化模型為

式中：Fmax為主瓣峰值。如果第（m，n）陣元被稀疏，則Amn＝0，否則Amn＝1.這里規(guī)定矩形平面陣列的角陣元不能被稀疏。

2 迭代FFT算法

運(yùn)用迭代FFT算法來實(shí)現(xiàn)矩形平面稀疏陣列優(yōu)化的流程圖如圖2所示［2]。實(shí)驗(yàn)表明，一次迭代循環(huán)往往經(jīng)過4～6次迭代便會(huì)結(jié)束，每一次迭代循環(huán)得到的最優(yōu)PSL（局部最優(yōu)PSL）未必能達(dá)到給定的旁瓣約束條件，但是制定合理的旁瓣約束條件，就能使局部最優(yōu)PSL接近給定的旁瓣約束。因此只要進(jìn)行足夠多次迭代循環(huán)，每次迭代循環(huán)都以一個(gè)隨機(jī)的初始陣元激勵(lì)矩陣開始，各個(gè)迭代循環(huán)相互獨(dú)立，就有很大的概率得到一個(gè)最優(yōu)或近似最優(yōu)的陣元分布，取局部最優(yōu)PSL中的最小值作為最后的優(yōu)化結(jié)果。因?yàn)檫\(yùn)用FFT快速算法計(jì)算方向圖函數(shù)，并且每次迭代循環(huán)的迭代次數(shù)很少，所以整個(gè)優(yōu)化過程很快就能完成。

圖2 流程圖

3 計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果

分別給出了對稱和非對稱矩形平面稀疏陣列的優(yōu)化結(jié)果。仿真參數(shù)為：陣列大小為10×20，陣元均為理想的全向性天線單元，柵格間距d＝0.5 λ，二維逆FFT與FFT運(yùn)算點(diǎn)數(shù)K×K＝256×256，迭代循環(huán)總次數(shù)Num＝1 000次。規(guī)定平面稀疏陣列的角陣元不能被稀疏。

3.1 對稱矩形平面稀疏陣列優(yōu)化結(jié)果

稀疏率為54%，旁瓣約束為－24.00dB的對稱矩形平面稀疏陣列優(yōu)化結(jié)果如圖3所示，優(yōu)化后的PSL為－18.68dB，與文獻(xiàn)［3]中對相同陣列大小，相同稀疏率的對稱矩形平面稀疏陣列運(yùn)用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化，得到的PSL－14.40dB相比改善了4.28dB.其中3（a）圖為優(yōu)化后的陣元位置分布圖，白色表示該位置有陣元，黑色表示該位置無陣元，3（b）圖為陣列方向圖，只取了四分之一象限，3（c）圖是其在v＝0和μ＝0時(shí)的截平面波束圖。

3.2 非對稱矩形平面稀疏陣列優(yōu)化結(jié)果

稀疏率為54%，旁瓣約束為－25.00dB的非對稱矩形平面稀疏陣列優(yōu)化結(jié)果如圖4、圖5所示，優(yōu)化后的PSL為－19.69dB，與3.1節(jié)中的對稱矩形平面稀疏陣列的優(yōu)化結(jié)果相比改善了1.01 dB.圖5是優(yōu)化過程中，優(yōu)化效果最好、優(yōu)化效果最差、迭代次數(shù)最少和迭代次數(shù)最多的迭代循環(huán)中的PSL變化情況，從圖中可以看出稀疏陣列的旁瓣性能經(jīng)過少次迭代后得到了顯著的改善。

通過對上述仿真結(jié)果的觀察和比較，可以發(fā)現(xiàn)，得到的矩形平面稀疏陣列優(yōu)化結(jié)果是符合陣列優(yōu)化規(guī)律的，即在優(yōu)化陣列中，陣元的稀疏總是發(fā)生在陣列邊緣，而陣列中心的陣元一般不會(huì)被稀疏掉［4]。并且陣元關(guān)于陣列中心非對稱分布，增加了可利用的優(yōu)化自由度，更利于提高稀疏陣列的旁瓣性能［5]。

圖5 峰值旁瓣電平的收斂情況

3.3 優(yōu)化方法的性能分析

以上所有仿真均在MATLAB7.1中完成，計(jì)算機(jī)配置為：AMD Phenom（tm）9650Quad－Core處理器，主頻為2.3GHz，每次仿真所花費(fèi)的時(shí)間僅需1min左右。表1給出了陣列大小為10×20，稀疏率為54%，旁瓣約束為－24.00dB的對稱矩形平面稀疏陣列20次相對獨(dú)立的優(yōu)化結(jié)果，其中最好的結(jié)果為－18.68dB，最差的結(jié)果為－17.84 dB，平均值為－18.08dB，方差為0.028 2.結(jié)果表明每次優(yōu)化得到的PSL總是在一個(gè)很小的范圍內(nèi)變化。這說明了該優(yōu)化方法具有高效性和穩(wěn)健性。

表1 矩形平面稀疏陣列20次相對獨(dú)立的優(yōu)化結(jié)果（PSL／dB）

4 結(jié) 論

迭代FFT算法在解決稀疏陣列的優(yōu)化問題上，有其獨(dú)特的優(yōu)勢。使用迭代FFT算法快速地實(shí)現(xiàn)了矩形平面稀疏陣列的優(yōu)化設(shè)計(jì)，對解決此類問題提供了有益的啟示，為工程運(yùn)用提供了有價(jià)值的參考。仿真結(jié)果證明了該方法的高效性和穩(wěn)健性。此外，該優(yōu)化方法還可直接應(yīng)用到大型平面稀疏陣列的優(yōu)化設(shè)計(jì)當(dāng)中。

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