初中數學學習中常見的幾種模型

什么是數學模型？數學模型是一種常見的解決應用問題的思考方法，其實質是打開語言的外殼，從實際問題中提取關鍵性的基本量，將其轉化為數學問題來表達，并進行推理、計算、論證等，最后得出結論。利用建模方法來解決實際應用問題，進一步減少學生在解應用問題時的思維障礙。下面介紹初中階段幾種常見的數學模型：

一、方程（組）模型

利用“方程（組）”模型解決實際生活問題，如利息和利率、工程問題、百分比問題、行程問題、濃配問題、勞力分配等問題。

例1.師徒兩人檢修一條長270米的自來水管道，師傅每小時比徒弟多檢修10米，兩人從管道兩端同時開始檢修，3小時后完成任務。師傅與徒弟每小時各檢修多少？

解：設徒弟每小時檢修x米，則師傅每小時檢修（x+10）米，根據題意得3x+3（x+10）=270

解得x=40，則x+10=50

答：略。

二、不等式（組）模型

現(xiàn)實生活中，廣泛存在數量之間的不等關系，諸如方案設計，最佳優(yōu)化問題，可以將實際問題建立不等式（組）模型來解決。

例2.某校七年級408名師生外出春游，租用44座和40座的兩種客車。如果44座的客車租用了2輛，那么40座的客車至少需租用多少輛？

分析：根據題意，找到數量關系，利用不等式來解決。

解：設40座的客車租用x輛，根據題意，得2×44+40x≥408

解得x≥8

答：40座的客車至少需租用8輛。

三、平面幾何模型

幾何與人類生活和實際需要密切相關，諸如測高量距、航海、道路拱橋設計等涉及一定圖形的性質時，常需建立“幾何”模型，把實際問題轉化為幾何問題，加以解決。

例3.如下圖，根據氣象觀測，距沿海某城市A正南方向220 km，B處有一臺風中心，其中心最大風力為12級，每遠離臺風中心20 km，風力就會減弱一級，該臺風正在以15 km/h的速度沿北偏東30°方向往C移動，且臺風中心風力不變，若城市所受風力達到或超過四級，則成為受臺風影響。問：該城市受到臺風影響的最大風力為幾級？

四、函數模型

函數反映了事物間的廣泛聯(lián)系，提示了現(xiàn)實世界眾多的數量關系及運動規(guī)律?，F(xiàn)實生活中的許多問題，如造價成本低、風險決策、股市、扭虧增盈等問題，常可建立函數模型求解。

例4.某市移動公司開設了兩種通訊業(yè)務：A種業(yè)務先繳20元月租費，然后每通話1分鐘再付電話費0.15元；B種業(yè)務不繳月租費，每通話一分鐘付電話費0.20元（均指市內通話），若一個月市內通話x分鐘，兩種市內通話費用分別為yA元、yB元。

（1）寫出yA、yB與x的函數關系式。

（2）一個月內通話時間為多少分鐘時，兩種通訊方式的費用相同？

（3）若某人預計一個月內使用市話費用100元，應選擇哪種通訊方式？

分析：通過函數模型建立兩個變量之間的關系。再根據實際情況加以判斷。

解：（1）yA=20+0.15x，yB=0.20x

（2）兩種通訊方式的費用相同 ∴yA=yB，即20+0.15x=0.20x

解得x=400，即一個月通話400分鐘兩種通訊方式相同。

（3）∵預計一個月內通話費用為100元

∴20+0.15xA=100，0.20xB=100，解得xA=400，xB=500

xA

五、統(tǒng)計模型

統(tǒng)計知識在自然科學、經濟、人文、管理、工程技術等眾多領域有著越來越多的應用，諸如人口統(tǒng)計、公司的財務統(tǒng)計、各類投票選舉的問題。需要將實際問題轉化為統(tǒng)計模型，利用有關統(tǒng)計知識加以解決。

例5.為了從甲、乙兩名學生中選拔一人參加全市中學生實驗操作競賽，每個月對他們的實驗水平進行一次測量，如圖，給出賽前的五次測量成績。

（1）分別求出甲、乙兩名同學5次測驗成績的平均數和方差。

（2）如果你是輔導老師，應該派誰參加競賽，請結合圖形簡要說明理由。

分析：統(tǒng)計模型中的平均數、方差、中位數、眾數等是常用的幾個參數。所以，要熟悉這些知識點，并且利用他們加以選擇判斷。

（2）應派甲同學參加這次比賽。通過這次比賽盡管可以看出乙的成績比甲相對穩(wěn)定，但甲的成績是呈上升趨勢，而乙的成績一直沒有太大長進，甚至有下滑的趨勢，因此選派甲同學參賽更合適。

“授人以魚，不如授人以漁”。數學教學中滲透建模思想，教會學生解決問題的方法，才是新一輪課改的真正目的。

參考文獻：

[1]韓樹紅.初中數學建模的常見類型.初中數學教與學，2007（2）：32-35.

[2]張向東.函數建模應用題解題策略.中小學數學，2007：27-28.

作者簡介：張微，女，出生年月：1983.03，本科，就職于江蘇省徐州市銅山區(qū)鄭集鎮(zhèn)中心中學，研究方向：初中數學教學。

誗編輯 趙飛飛