高中數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)學(xué)生計(jì)算錯(cuò)誤原因的分析

任兆剛

數(shù)學(xué)作為自然學(xué)科中的基礎(chǔ)學(xué)科，它的計(jì)算功能是至關(guān)重要的，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)運(yùn)算求解能力的考查要求是：能夠根據(jù)法則、公式進(jìn)行運(yùn)算及變形；能夠根據(jù)問(wèn)題的條件尋找與設(shè)計(jì)合理、簡(jiǎn)捷的計(jì)算途徑；能夠根據(jù)要求對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)和近似計(jì)算.而從現(xiàn)在學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況看，計(jì)算令人堪憂！很多學(xué)生在看了錯(cuò)誤之后講得最多的是：又算錯(cuò)了.但并沒(méi)有很好地分析原因，同時(shí)也沒(méi)有采取有效的措施來(lái)減少計(jì)算錯(cuò)誤對(duì)解題的影響.在高中階段的學(xué)習(xí)中，學(xué)生的批判思維尚未形成，糾錯(cuò)能力不強(qiáng)，需要老師更有針對(duì)性地對(duì)學(xué)生錯(cuò)誤進(jìn)行剖析，采取切實(shí)有效的辦法合理地引導(dǎo)，讓學(xué)生積極地比較和思考，以提高計(jì)算的準(zhǔn)確性.下面就教學(xué)中具體的問(wèn)題談?wù)勛约簩?duì)學(xué)生計(jì)算錯(cuò)誤的原因分析及一些想法.

一、缺少對(duì)解題策略的比較和選擇

問(wèn)題已知函數(shù)f（x）=x2+ax+11x+1（a∈R），若對(duì)于任意的x∈N*，f（x）≥3恒成立，則a的取值范圍是.

解法1令t=x+1，則f（x）=g（t）=t+12-at +a-2，t∈[2，+∞），t∈N*，

求使得g（t）min≥3中a的范圍.但在求g（t）min時(shí)，陷入了無(wú)法進(jìn)行下去的困擾和煩惱.

解法2轉(zhuǎn)化成x2+（a-3）x+8≥0，根據(jù)二次函數(shù)的圖象分類討論.此時(shí)遇到了像解法1中的問(wèn)題.

解法3變量分離a≥-x-83+3，由x∈N*，結(jié)合g（x）=-x- 83+3的圖象很快得出a≥- 83，比較輕松.

相關(guān)鏈接：

（1）若函數(shù)f（x）=xx2+a（a>0）在[1，+∞）上的最大值為33，則a的值為.

（2）若函數(shù)f（x）=xx2+a（a>0）在[1，+∞）上的最大值為24，則a的值為.

歸納分式形式y(tǒng)=x+ax在a>0和a<0的值域.定義域[1，+∞）對(duì)值域的影響是什么？x∈N*對(duì)值域的影響是什么？解法1的困難在哪里？解法2要討論哪些內(nèi)容？引導(dǎo)學(xué)生多思考，多比較，多歸納，形成一種數(shù)學(xué).

你能否進(jìn)行編題反映上述變化對(duì)題目的影響？

建議加強(qiáng)對(duì)一個(gè)錯(cuò)誤題目的認(rèn)識(shí)的思維導(dǎo)圖，把它涉及到的知識(shí)，涉及的解決方法都全面歸納和思考.從不同的角度認(rèn)識(shí)問(wèn)題，并比較每種解法的優(yōu)劣，思考在何種情況下采取何種變形，避免會(huì)解解不對(duì)，會(huì)解來(lái)不及解的無(wú)奈.

二、缺少對(duì)概念的本原性的認(rèn)識(shí)

問(wèn)題已知向量a，b的 夾角為120°，且|a|=3，|b|=1，則|a-2b|=.

看似簡(jiǎn)單的一個(gè)題目，部分學(xué)生的主要錯(cuò)誤表現(xiàn)為：結(jié)果忘記開(kāi)方，或者在完全平方時(shí)中間項(xiàng)的符號(hào)出現(xiàn)錯(cuò)誤.

反思為什么會(huì)少根號(hào)，僅僅是因?yàn)榇中膯?？為什么?huì)算錯(cuò)？要透過(guò)現(xiàn)象看清本質(zhì).先來(lái)看看向量的模的概念，向量的數(shù)量積與向量的模之間的關(guān)系的不同角度的理解，基底向量表示的依據(jù)等等，為何經(jīng)常選用 i和j作為基底向量.向量的模即向量的長(zhǎng)度.提到長(zhǎng)度首先考慮到兩點(diǎn)間的距離公式，故而當(dāng)a=（x，y）時(shí)，

|a|=x2+y2，建立相應(yīng)直角坐標(biāo)系，使得a=（3，0），2b=（-1，3），則a-2b=（4，-3），從而簡(jiǎn)單得到最后結(jié)果.另一方面，我們經(jīng)常從向量的數(shù)量積的角度a2=|a|2來(lái)展開(kāi)運(yùn)算，運(yùn)算的過(guò)程中涉及到乘法公式，向量的數(shù)量積的計(jì)算，再開(kāi)方，多了步驟，多了出錯(cuò)的機(jī)會(huì).

再看平面向量基本定理中呈現(xiàn)的平面上任一向量都可以選擇不同的不共線的兩個(gè)向量作為基底向量，并用它們線性表示.在眾多的選擇中，如何選擇簡(jiǎn)單的基底向量.課本實(shí)際上做了很好的引導(dǎo)作用.本題中實(shí)際是把所求的向量用基底a和b線性表示，而用坐標(biāo)時(shí)恰恰把它轉(zhuǎn)化成i和j作為基底向量，簡(jiǎn)單、明了.

我們一味在抱怨學(xué)生粗心出錯(cuò)，計(jì)算出錯(cuò)，恰恰在最本質(zhì)的概念的源頭上下的功夫少了，像練武之人所強(qiáng)調(diào)的扎實(shí)的基本功，下盤(pán)要穩(wěn)，蹲馬步要練好長(zhǎng)時(shí)間.而現(xiàn)在的教學(xué)有點(diǎn)急于求成，讓學(xué)生記憶的成分多，讓學(xué)生思考的時(shí)間太少，讓學(xué)生去領(lǐng)悟、感受、親歷知識(shí)的生成過(guò)程的機(jī)會(huì)太少.

反思學(xué)生對(duì)基本的問(wèn)題出錯(cuò)的根本原因在于對(duì)最基本概念的理解沒(méi)有抓住其本質(zhì)，導(dǎo)致理解時(shí)出現(xiàn)偏差，計(jì)算當(dāng)然就會(huì)走彎路，最后結(jié)果呈現(xiàn)錯(cuò)誤.

建議老師在概念課的教學(xué)時(shí)，一定要舍得花時(shí)間去研究它，讓學(xué)生在第一次接受新的知識(shí)時(shí)從本質(zhì)上去把握它，避免炒夾生飯的現(xiàn)象.

數(shù)學(xué)作為自然學(xué)科中的基礎(chǔ)學(xué)科，它的計(jì)算功能是至關(guān)重要的，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)運(yùn)算求解能力的考查要求是：能夠根據(jù)法則、公式進(jìn)行運(yùn)算及變形；能夠根據(jù)問(wèn)題的條件尋找與設(shè)計(jì)合理、簡(jiǎn)捷的計(jì)算途徑；能夠根據(jù)要求對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)和近似計(jì)算.而從現(xiàn)在學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況看，計(jì)算令人堪憂！很多學(xué)生在看了錯(cuò)誤之后講得最多的是：又算錯(cuò)了.但并沒(méi)有很好地分析原因，同時(shí)也沒(méi)有采取有效的措施來(lái)減少計(jì)算錯(cuò)誤對(duì)解題的影響.在高中階段的學(xué)習(xí)中，學(xué)生的批判思維尚未形成，糾錯(cuò)能力不強(qiáng)，需要老師更有針對(duì)性地對(duì)學(xué)生錯(cuò)誤進(jìn)行剖析，采取切實(shí)有效的辦法合理地引導(dǎo)，讓學(xué)生積極地比較和思考，以提高計(jì)算的準(zhǔn)確性.下面就教學(xué)中具體的問(wèn)題談?wù)勛约簩?duì)學(xué)生計(jì)算錯(cuò)誤的原因分析及一些想法.

一、缺少對(duì)解題策略的比較和選擇

問(wèn)題已知函數(shù)f（x）=x2+ax+11x+1（a∈R），若對(duì)于任意的x∈N*，f（x）≥3恒成立，則a的取值范圍是.

解法1令t=x+1，則f（x）=g（t）=t+12-at +a-2，t∈[2，+∞），t∈N*，

求使得g（t）min≥3中a的范圍.但在求g（t）min時(shí)，陷入了無(wú)法進(jìn)行下去的困擾和煩惱.

解法2轉(zhuǎn)化成x2+（a-3）x+8≥0，根據(jù)二次函數(shù)的圖象分類討論.此時(shí)遇到了像解法1中的問(wèn)題.

解法3變量分離a≥-x-83+3，由x∈N*，結(jié)合g（x）=-x- 83+3的圖象很快得出a≥- 83，比較輕松.

相關(guān)鏈接：

（1）若函數(shù)f（x）=xx2+a（a>0）在[1，+∞）上的最大值為33，則a的值為.

（2）若函數(shù)f（x）=xx2+a（a>0）在[1，+∞）上的最大值為24，則a的值為.

歸納分式形式y(tǒng)=x+ax在a>0和a<0的值域.定義域[1，+∞）對(duì)值域的影響是什么？x∈N*對(duì)值域的影響是什么？解法1的困難在哪里？解法2要討論哪些內(nèi)容？引導(dǎo)學(xué)生多思考，多比較，多歸納，形成一種數(shù)學(xué).

你能否進(jìn)行編題反映上述變化對(duì)題目的影響？

建議加強(qiáng)對(duì)一個(gè)錯(cuò)誤題目的認(rèn)識(shí)的思維導(dǎo)圖，把它涉及到的知識(shí)，涉及的解決方法都全面歸納和思考.從不同的角度認(rèn)識(shí)問(wèn)題，并比較每種解法的優(yōu)劣，思考在何種情況下采取何種變形，避免會(huì)解解不對(duì)，會(huì)解來(lái)不及解的無(wú)奈.

二、缺少對(duì)概念的本原性的認(rèn)識(shí)

問(wèn)題已知向量a，b的 夾角為120°，且|a|=3，|b|=1，則|a-2b|=.

看似簡(jiǎn)單的一個(gè)題目，部分學(xué)生的主要錯(cuò)誤表現(xiàn)為：結(jié)果忘記開(kāi)方，或者在完全平方時(shí)中間項(xiàng)的符號(hào)出現(xiàn)錯(cuò)誤.

反思為什么會(huì)少根號(hào)，僅僅是因?yàn)榇中膯?？為什么?huì)算錯(cuò)？要透過(guò)現(xiàn)象看清本質(zhì).先來(lái)看看向量的模的概念，向量的數(shù)量積與向量的模之間的關(guān)系的不同角度的理解，基底向量表示的依據(jù)等等，為何經(jīng)常選用 i和j作為基底向量.向量的模即向量的長(zhǎng)度.提到長(zhǎng)度首先考慮到兩點(diǎn)間的距離公式，故而當(dāng)a=（x，y）時(shí)，

|a|=x2+y2，建立相應(yīng)直角坐標(biāo)系，使得a=（3，0），2b=（-1，3），則a-2b=（4，-3），從而簡(jiǎn)單得到最后結(jié)果.另一方面，我們經(jīng)常從向量的數(shù)量積的角度a2=|a|2來(lái)展開(kāi)運(yùn)算，運(yùn)算的過(guò)程中涉及到乘法公式，向量的數(shù)量積的計(jì)算，再開(kāi)方，多了步驟，多了出錯(cuò)的機(jī)會(huì).

再看平面向量基本定理中呈現(xiàn)的平面上任一向量都可以選擇不同的不共線的兩個(gè)向量作為基底向量，并用它們線性表示.在眾多的選擇中，如何選擇簡(jiǎn)單的基底向量.課本實(shí)際上做了很好的引導(dǎo)作用.本題中實(shí)際是把所求的向量用基底a和b線性表示，而用坐標(biāo)時(shí)恰恰把它轉(zhuǎn)化成i和j作為基底向量，簡(jiǎn)單、明了.

我們一味在抱怨學(xué)生粗心出錯(cuò)，計(jì)算出錯(cuò)，恰恰在最本質(zhì)的概念的源頭上下的功夫少了，像練武之人所強(qiáng)調(diào)的扎實(shí)的基本功，下盤(pán)要穩(wěn)，蹲馬步要練好長(zhǎng)時(shí)間.而現(xiàn)在的教學(xué)有點(diǎn)急于求成，讓學(xué)生記憶的成分多，讓學(xué)生思考的時(shí)間太少，讓學(xué)生去領(lǐng)悟、感受、親歷知識(shí)的生成過(guò)程的機(jī)會(huì)太少.

反思學(xué)生對(duì)基本的問(wèn)題出錯(cuò)的根本原因在于對(duì)最基本概念的理解沒(méi)有抓住其本質(zhì)，導(dǎo)致理解時(shí)出現(xiàn)偏差，計(jì)算當(dāng)然就會(huì)走彎路，最后結(jié)果呈現(xiàn)錯(cuò)誤.

建議老師在概念課的教學(xué)時(shí)，一定要舍得花時(shí)間去研究它，讓學(xué)生在第一次接受新的知識(shí)時(shí)從本質(zhì)上去把握它，避免炒夾生飯的現(xiàn)象.

數(shù)學(xué)作為自然學(xué)科中的基礎(chǔ)學(xué)科，它的計(jì)算功能是至關(guān)重要的，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)運(yùn)算求解能力的考查要求是：能夠根據(jù)法則、公式進(jìn)行運(yùn)算及變形；能夠根據(jù)問(wèn)題的條件尋找與設(shè)計(jì)合理、簡(jiǎn)捷的計(jì)算途徑；能夠根據(jù)要求對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)和近似計(jì)算.而從現(xiàn)在學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況看，計(jì)算令人堪憂！很多學(xué)生在看了錯(cuò)誤之后講得最多的是：又算錯(cuò)了.但并沒(méi)有很好地分析原因，同時(shí)也沒(méi)有采取有效的措施來(lái)減少計(jì)算錯(cuò)誤對(duì)解題的影響.在高中階段的學(xué)習(xí)中，學(xué)生的批判思維尚未形成，糾錯(cuò)能力不強(qiáng)，需要老師更有針對(duì)性地對(duì)學(xué)生錯(cuò)誤進(jìn)行剖析，采取切實(shí)有效的辦法合理地引導(dǎo)，讓學(xué)生積極地比較和思考，以提高計(jì)算的準(zhǔn)確性.下面就教學(xué)中具體的問(wèn)題談?wù)勛约簩?duì)學(xué)生計(jì)算錯(cuò)誤的原因分析及一些想法.

一、缺少對(duì)解題策略的比較和選擇

問(wèn)題已知函數(shù)f（x）=x2+ax+11x+1（a∈R），若對(duì)于任意的x∈N*，f（x）≥3恒成立，則a的取值范圍是.

解法1令t=x+1，則f（x）=g（t）=t+12-at +a-2，t∈[2，+∞），t∈N*，

求使得g（t）min≥3中a的范圍.但在求g（t）min時(shí)，陷入了無(wú)法進(jìn)行下去的困擾和煩惱.

解法2轉(zhuǎn)化成x2+（a-3）x+8≥0，根據(jù)二次函數(shù)的圖象分類討論.此時(shí)遇到了像解法1中的問(wèn)題.

解法3變量分離a≥-x-83+3，由x∈N*，結(jié)合g（x）=-x- 83+3的圖象很快得出a≥- 83，比較輕松.

相關(guān)鏈接：

（1）若函數(shù)f（x）=xx2+a（a>0）在[1，+∞）上的最大值為33，則a的值為.

（2）若函數(shù)f（x）=xx2+a（a>0）在[1，+∞）上的最大值為24，則a的值為.

歸納分式形式y(tǒng)=x+ax在a>0和a<0的值域.定義域[1，+∞）對(duì)值域的影響是什么？x∈N*對(duì)值域的影響是什么？解法1的困難在哪里？解法2要討論哪些內(nèi)容？引導(dǎo)學(xué)生多思考，多比較，多歸納，形成一種數(shù)學(xué).

你能否進(jìn)行編題反映上述變化對(duì)題目的影響？

建議加強(qiáng)對(duì)一個(gè)錯(cuò)誤題目的認(rèn)識(shí)的思維導(dǎo)圖，把它涉及到的知識(shí)，涉及的解決方法都全面歸納和思考.從不同的角度認(rèn)識(shí)問(wèn)題，并比較每種解法的優(yōu)劣，思考在何種情況下采取何種變形，避免會(huì)解解不對(duì)，會(huì)解來(lái)不及解的無(wú)奈.

二、缺少對(duì)概念的本原性的認(rèn)識(shí)

問(wèn)題已知向量a，b的 夾角為120°，且|a|=3，|b|=1，則|a-2b|=.

看似簡(jiǎn)單的一個(gè)題目，部分學(xué)生的主要錯(cuò)誤表現(xiàn)為：結(jié)果忘記開(kāi)方，或者在完全平方時(shí)中間項(xiàng)的符號(hào)出現(xiàn)錯(cuò)誤.

反思為什么會(huì)少根號(hào)，僅僅是因?yàn)榇中膯?？為什么?huì)算錯(cuò)？要透過(guò)現(xiàn)象看清本質(zhì).先來(lái)看看向量的模的概念，向量的數(shù)量積與向量的模之間的關(guān)系的不同角度的理解，基底向量表示的依據(jù)等等，為何經(jīng)常選用 i和j作為基底向量.向量的模即向量的長(zhǎng)度.提到長(zhǎng)度首先考慮到兩點(diǎn)間的距離公式，故而當(dāng)a=（x，y）時(shí)，

|a|=x2+y2，建立相應(yīng)直角坐標(biāo)系，使得a=（3，0），2b=（-1，3），則a-2b=（4，-3），從而簡(jiǎn)單得到最后結(jié)果.另一方面，我們經(jīng)常從向量的數(shù)量積的角度a2=|a|2來(lái)展開(kāi)運(yùn)算，運(yùn)算的過(guò)程中涉及到乘法公式，向量的數(shù)量積的計(jì)算，再開(kāi)方，多了步驟，多了出錯(cuò)的機(jī)會(huì).

再看平面向量基本定理中呈現(xiàn)的平面上任一向量都可以選擇不同的不共線的兩個(gè)向量作為基底向量，并用它們線性表示.在眾多的選擇中，如何選擇簡(jiǎn)單的基底向量.課本實(shí)際上做了很好的引導(dǎo)作用.本題中實(shí)際是把所求的向量用基底a和b線性表示，而用坐標(biāo)時(shí)恰恰把它轉(zhuǎn)化成i和j作為基底向量，簡(jiǎn)單、明了.

我們一味在抱怨學(xué)生粗心出錯(cuò)，計(jì)算出錯(cuò)，恰恰在最本質(zhì)的概念的源頭上下的功夫少了，像練武之人所強(qiáng)調(diào)的扎實(shí)的基本功，下盤(pán)要穩(wěn)，蹲馬步要練好長(zhǎng)時(shí)間.而現(xiàn)在的教學(xué)有點(diǎn)急于求成，讓學(xué)生記憶的成分多，讓學(xué)生思考的時(shí)間太少，讓學(xué)生去領(lǐng)悟、感受、親歷知識(shí)的生成過(guò)程的機(jī)會(huì)太少.

反思學(xué)生對(duì)基本的問(wèn)題出錯(cuò)的根本原因在于對(duì)最基本概念的理解沒(méi)有抓住其本質(zhì)，導(dǎo)致理解時(shí)出現(xiàn)偏差，計(jì)算當(dāng)然就會(huì)走彎路，最后結(jié)果呈現(xiàn)錯(cuò)誤.

建議老師在概念課的教學(xué)時(shí)，一定要舍得花時(shí)間去研究它，讓學(xué)生在第一次接受新的知識(shí)時(shí)從本質(zhì)上去把握它，避免炒夾生飯的現(xiàn)象.