基于無套利原理的資產(chǎn)證券化產(chǎn)品定價模型擴(kuò)展

余粵

（中債信用增進(jìn)投資股份有限公司，北京100033）

基于無套利原理的資產(chǎn)證券化產(chǎn)品定價模型擴(kuò)展

余粵

（中債信用增進(jìn)投資股份有限公司，北京100033）

基于高斯聯(lián)結(jié)相依函數(shù)的單因子資產(chǎn)證券化定價模型由于其表達(dá)形式簡潔、數(shù)值模擬簡單，被業(yè)界廣泛應(yīng)用于資產(chǎn)證券化產(chǎn)品定價，但單因子模型對損失分布的刻畫粗糙，無法充分估計尾部風(fēng)險。使用基于損失分布特征函數(shù)的多因子模型對資產(chǎn)池的損失分布進(jìn)行精細(xì)化的建模，在不增加參數(shù)要求的基礎(chǔ)上提高了對損失分布構(gòu)建的準(zhǔn)確性。另外，對于目前我國市場上越來越多的單一標(biāo)的資產(chǎn)證券化產(chǎn)品，也給出了具有解析解的定價方法。

資產(chǎn)證券化；無套利定價模型；損失分布；價值過程

一、引言

在當(dāng)前國內(nèi)經(jīng)濟(jì)增速回落的背景下，通過資產(chǎn)證券化的方式盤活流動性差的資產(chǎn)，可以增強(qiáng)經(jīng)濟(jì)的整體流動性，緩釋存量信用風(fēng)險。2013年7月國務(wù)院發(fā)布的《關(guān)于金融支持經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)調(diào)整和轉(zhuǎn)型升級指導(dǎo)意見》中要求逐步推進(jìn)信貸資產(chǎn)證券化常規(guī)化發(fā)展；同年8月，國務(wù)院常務(wù)會議決定在嚴(yán)格控制風(fēng)險的基礎(chǔ)上擴(kuò)大信貸資產(chǎn)證券化試點，均為我國資產(chǎn)證券化市場發(fā)展釋放了積極的信號。事實上，2012年資產(chǎn)證券化重啟后，中國人民銀行、銀監(jiān)會、證監(jiān)會、中國銀行間市場交易商協(xié)會等部門主管的各類資產(chǎn)證券化產(chǎn)品累計發(fā)行額已超過1600億元。

資產(chǎn)證券化產(chǎn)品作為復(fù)雜的信用衍生品，產(chǎn)品價格的準(zhǔn)確計量，對發(fā)行方和投資者都有很重要的意義。趙亮等[1]基于一般信用衍生產(chǎn)品損失端和溢價端無套利原理，以2012年第一期開元信貸資產(chǎn)支持證券為例介紹了基于高斯聯(lián)結(jié)相依函數(shù)（Gaussian Copula）的單因子模型[2]。雖然單因子模型表達(dá)形式和數(shù)值計算相對簡潔，但由于模型在構(gòu)建資產(chǎn)池?fù)p失分布時使用各資產(chǎn)平均違約率、平均相關(guān)性系數(shù)和平均違約損失率，因此模型存在一定局限性。首先，單因子模型中平均違約率的計算依賴加權(quán)平均評級因子（Weighted Average Rating Factor）的選擇，而盡管目前我國評級機(jī)構(gòu)在證券化產(chǎn)品評級報告中給出資產(chǎn)池的加權(quán)平均信用等級，但至今市場并沒有一套公認(rèn)的加權(quán)平均評級因子；其次，模型中平均相關(guān)性系數(shù)和平均違約損失率的選擇缺乏系統(tǒng)性，事實上，同樣基于單因子模型的Risk Metrics信用風(fēng)險資本模型在不同平均相關(guān)性系數(shù)的假設(shè)下得到的VaR值差異巨大[3]；再次，由于單因子模型基于高斯聯(lián)結(jié)相依函數(shù)，模型無法準(zhǔn)確描述資產(chǎn)池?fù)p失分布特征，也無法充分估計證券化產(chǎn)品的尾部風(fēng)險，這使得高斯聯(lián)結(jié)相依函數(shù)在美國次貸危機(jī)后飽受批評。除上述局限性外，單因子模型只適用于具有多個相關(guān)資產(chǎn)構(gòu)成的資產(chǎn)池，而2012年資產(chǎn)證券化重啟后，除了大量信貸資產(chǎn)池證券化產(chǎn)品（以中國人民銀行和銀監(jiān)會主管ABS為主）外，還有越來越多的以單一企業(yè)資產(chǎn)或其收益權(quán)為標(biāo)的的證券化產(chǎn)品（以證監(jiān)會主管ABS和交易商協(xié)會ABN為主），對于這類產(chǎn)品，單因子模型也并不適用。

基于上述單因子模型的局限性，本文討論使用多因子模型構(gòu)建資產(chǎn)池?fù)p失分布的方法，同時針對單一標(biāo)的資產(chǎn)證券化產(chǎn)品提出定價方法，并通過兩種模型與單因子模型的比較，說明兩種模型的優(yōu)點和適用范圍。

二、資產(chǎn)證券化無套利定價基礎(chǔ)

本節(jié)簡要介紹基于一般信用衍生產(chǎn)品損失端和溢價端無套利的定價原理。參考業(yè)界通行的定義方法，以整個資產(chǎn)池的百分比定義證券化產(chǎn)品分層，即假設(shè)產(chǎn)品共分M層，其中第x層的起始點為Ax-1（令最低層即次級層/權(quán)益層為第1層，起始點為A0=0，初始名義本金總額為AM=1），則第x層初始名義本金為Ax-Ax-1。

假設(shè)付息時點ti基礎(chǔ)資產(chǎn)累計發(fā)生的違約金額比例為Z(ti)，則ti時刻證券化第x層的損失比率為：

資產(chǎn)證券化產(chǎn)品的賣方需要對資產(chǎn)違約帶來的預(yù)期損失支付收益率溢價。可以采用一般信用衍生產(chǎn)品定價的方法，分別求解各層損失端（Contingent Leg）和溢價端（Premium Leg）的現(xiàn)值，進(jìn)而求得各層較無風(fēng)險收益率的信用風(fēng)險溢價。假定利率過程與各資產(chǎn)違約過程獨立，并假設(shè)D(t0,t)，t0≤t為t到t0的貼現(xiàn)因子，則對于資產(chǎn)證券化產(chǎn)品的第x層，分別定義其損失端和溢價端如下：

（1）損失端：資產(chǎn)證券化產(chǎn)品第x層的總預(yù)期損失在t0時刻的現(xiàn)值為：

Zx(ti)-Zx(ti-1)為ti-1時刻到ti時刻第x層損失比率的增加值，對t0到tn各時段損失增加值的數(shù)學(xué)期望貼現(xiàn)到t0時刻，得到第x層的總預(yù)期損失在t0時刻的現(xiàn)值。

（2）溢價端：假設(shè)sx為第x層的風(fēng)險溢價率，即利差，用于補(bǔ)償?shù)趚層投資者因損失端信用風(fēng)險產(chǎn)生的預(yù)期損失，則t0時刻第x層的溢價端現(xiàn)值為：

其中Ax-Ax-1-Zx(ti)為ti時刻第x層的剩余名義本金量，即為ti-1到ti時段內(nèi)第x層的計息基數(shù)。將sx與各期時段長度、貼現(xiàn)因子和計息基數(shù)相乘并加總，得到t0時刻溢價端的現(xiàn)值。

根據(jù)無套利定價原理，令溢價端與損失端現(xiàn)值相等，即可求得第x層的利差sx為：

從上式可以看出，證券化產(chǎn)品定價的重點在于求解第x層損失比率Zx(ti)在測度P下的數(shù)學(xué)期望EP(Zx(ti))。本文的下面兩章，就是在不同總損失Z(ti)假設(shè)下，討論不同資產(chǎn)證券化產(chǎn)品的定價方法。

三、基于違約分布特征函數(shù)的資產(chǎn)池模型

考慮到本文引言所述單因子模型在構(gòu)建資產(chǎn)池?fù)p失分布的局限性，本節(jié)放松單因子模型同質(zhì)資產(chǎn)（違約率、損失率以及相關(guān)性一致）的假設(shè)，利用異構(gòu)的單個資產(chǎn)損失分布構(gòu)建資產(chǎn)池整體損失分布。

（一）多因子定價模型

參考前人研究成果[1]，假定概率空間(Ω,F= (?t)0≤t≤T*,P)，資產(chǎn)j(j=1,…,N)在t時刻的違約概率pj,t在一定假設(shè)下（如Merton模型[4]的假設(shè)）可表示為一?t可測正態(tài)隨機(jī)變量ξj,t不大于非隨機(jī)變量Kj,t的概率：

為了引入資產(chǎn)間的相關(guān)關(guān)系，假設(shè)正態(tài)違約因子ξj,t與正態(tài)公共因子Yt的相關(guān)性系數(shù)為ρj,t，即：

公式（8）是一系列隨機(jī)變量的和，構(gòu)建獨立隨機(jī)變量之和的分布函數(shù)一般采用各隨機(jī)變量概率測度的卷積或通過下述特征函數(shù)方法間接求得：根據(jù)（8），Z(t)在給定公共因子Yt條件下的特征函數(shù)φZ(t)|Yt(u)為：

其中pj,Yt由公式（7）給出。由于Yt服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，積分可得到Z(t)的特征函數(shù)：

通過數(shù)值方法求得Z(t)的特征函數(shù)后，可通過傅立葉逆變換還原Z(t)的概率密度函數(shù)，進(jìn)而求得第x層損失比率Zx(ti)在測度P下的期望EP(Zx(ti))。

（二）數(shù)值結(jié)果

上述資產(chǎn)池?fù)p失分布是通過構(gòu)建N個伯努利隨機(jī)變量（條件獨立且非同分布）之和的特征函數(shù)，并通過傅立葉逆變換得到的，因此，為說明資產(chǎn)池?fù)p失分布的構(gòu)建方法，不妨首先考察二項式分布（可以視為多個獨立同分布伯努利隨機(jī)變量之和）特征函數(shù)的傅立葉逆變換。圖1比較了二項式分布特征函數(shù)離散傅立葉逆變換還原結(jié)果，左上圖為其原始概率質(zhì)量函數(shù)，右上、左下、右下三圖分別為采樣點為8、64、512個時離散傅立葉逆變換對特征函數(shù)的還原結(jié)果，可見，隨著采樣點個數(shù)的提高，還原結(jié)果逐漸逼近原始分布①由于傅立葉逆變換結(jié)果為連續(xù)函數(shù)，因此采樣點數(shù)提高時，雖然變換結(jié)果的縱坐標(biāo)值很高（例如右下圖512個采樣點時縱坐標(biāo)值最高接近50），但曲線下的黎曼積分值將會收斂于原概率質(zhì)量函數(shù)對應(yīng)點的概率值。。

圖1 二項式分布特征函數(shù)離散傅立葉變換還原結(jié)果

下面以2014年第一期農(nóng)銀信貸資產(chǎn)支持證券為例，比較使用單因子和多因子模型構(gòu)建損失分布的結(jié)果，根據(jù)中債資信評估有限責(zé)任公司評級報告，證券化產(chǎn)品資產(chǎn)池行業(yè)和評級分布如表1所示②注意到目前我國信貸資產(chǎn)證券化產(chǎn)品募集說明書和評級報告中均只分別給出行業(yè)和評級這兩個單一維度的資產(chǎn)分布狀況，而并沒有如表1所示的兩維資產(chǎn)分布狀況披露，因此表1為作者根據(jù)公開信息披露信息構(gòu)造。本文選擇2014年第一期農(nóng)銀信貸資產(chǎn)支持證券也是由于該產(chǎn)品所含貸款資產(chǎn)個數(shù)較少（僅為29個，其他產(chǎn)品大多在50個以上），便于由公開披露信息重構(gòu)資產(chǎn)二維分布。：

表1 農(nóng)銀信貸資產(chǎn)支持證券資產(chǎn)詳情 單位：億元

圖2 多因子模型和蒙特卡洛模擬構(gòu)建損失分布結(jié)果

參數(shù)選取上，使用各評級對應(yīng)期限債券收益率曲線隱含的風(fēng)險中性違約概率作為各資產(chǎn)違約率pj,t，各資產(chǎn)與公共因子相關(guān)性系數(shù)ρj,t采用深交所發(fā)布的行業(yè)指數(shù)與深成指之間的序列相關(guān)性③從公式（6）不難看出，且對于任意i≠j，違約因子ξi,t與ξj,t的相關(guān)性系數(shù)ρij,t為ρij,t = ρi,t?ρj,t ，于是，若給出違約因子的兩兩相關(guān)系數(shù)矩階[ρij,t]N×N，則資產(chǎn)j違約因子ξi,t與公共因子Yt的相關(guān)性系數(shù)ρj,t= =(i≠j≠k)。此處為簡化處理，直接使用各行業(yè)指數(shù)序列和大盤指數(shù)序列的相關(guān)性。，不失一般性，假定各資產(chǎn)違約損失率均為40%。使用多因子模型構(gòu)建資產(chǎn)池?fù)p失分布，如圖2左側(cè)所示。圖2右側(cè)直接截自中債資信《2014年第一期農(nóng)銀信貸資產(chǎn)支持證券信用評級報告》，報告中構(gòu)建損失分布的方法為基于相關(guān)性矩陣Cholesky分解的蒙特卡洛模擬，從兩圖比較不難看出，多因子模型構(gòu)建損失分布的結(jié)果同蒙特卡洛模擬結(jié)果相似，隨著采樣點個數(shù)的提高，結(jié)果逐漸逼近真實損失分布。

圖3比較了使用單因子模型和多因子模型構(gòu)建資產(chǎn)池?fù)p失分布的結(jié)果?？梢钥闯觯捎趩我蜃幽Ｐ蛥?shù)只有平均違約率和平均相關(guān)性系數(shù)，因此模型對資產(chǎn)池?fù)p失分布的刻畫非常粗糙，而通過多因子模型所構(gòu)建的損失分布則充分揭示了損失分布的特性，并且對尾部風(fēng)險給予了充分估計。

圖3 單因子和多因子模型構(gòu)建損失分布結(jié)果比較

實際上，通過表2中累積分布的比較不難看出，多因子模型較單因子模型體現(xiàn)出了明顯的厚尾性。

表2 單因子模型和多因子模型累積損失分布比較

綜上所述，多因子模型在沒有大幅增加計算復(fù)雜度的基礎(chǔ)上對于損失分布的構(gòu)造明顯優(yōu)于單因子模型，對2014年第一期農(nóng)銀信貸資產(chǎn)支持證券資產(chǎn)池?fù)p失分布的構(gòu)造結(jié)果與評級報告中蒙特卡洛模擬結(jié)果相符?；趽p失分布進(jìn)一步使用公式（4）即可對證券化產(chǎn)品第x層的溢價sx進(jìn)行估值，這里不再贅述。

四、單一標(biāo)的資產(chǎn)證券化產(chǎn)品定價模型

上述多因子模型與單因子模型均只適用于以多個資產(chǎn)構(gòu)成資產(chǎn)池為標(biāo)的的證券化產(chǎn)品，對應(yīng)的大多是中國人民銀行和銀監(jiān)會主管的信貸資產(chǎn)證券化產(chǎn)品，而目前由證監(jiān)會主管的企業(yè)資產(chǎn)證券化和交易商協(xié)會主管的資產(chǎn)支持票據(jù)，標(biāo)的大多為單一企業(yè)資產(chǎn)或其收益權(quán)。對于有穩(wěn)定現(xiàn)金流的收益權(quán)類產(chǎn)品，可選用現(xiàn)金流支付瀑布（Payment Waterfall）模型，考慮證券在各離散付息時點資產(chǎn)和負(fù)債的現(xiàn)金流，進(jìn)而對產(chǎn)品進(jìn)行定價。然而，基于單一企業(yè)財務(wù)報表的現(xiàn)金流預(yù)測非常繁瑣，且目前一些項目收益權(quán)的現(xiàn)金流本身并不足以覆蓋產(chǎn)品本息，產(chǎn)品還款來源實際為企業(yè)或其產(chǎn)生收益權(quán)的基礎(chǔ)資產(chǎn)的價值增值（例如以商業(yè)地產(chǎn)租金收入為標(biāo)的的證券化產(chǎn)品還款實際來源為商業(yè)地產(chǎn)價值的增值）。基于上述考慮，本節(jié)介紹一種在證券化產(chǎn)品標(biāo)的為單一企業(yè)資產(chǎn)或其收益權(quán)的情況下，利用標(biāo)的資產(chǎn)價值變動對產(chǎn)品進(jìn)行估值的方法。

（一）定價模型

假定概率空間(Ω,F=(?t)0≤t≤T*,P)，并假定單一資產(chǎn)價值Vt在P下服從幾何布朗運(yùn)動：

初始條件V0=1。從第二節(jié)的討論可知，對證券化產(chǎn)品定價的關(guān)鍵在于如何求得任一付息時點ti形如公式（1）的某一層損失比率Zx(ti)在測度P下的數(shù)學(xué)期望EP(Zx(ti))，而在單一資產(chǎn)假定下，任意時刻t整個證券化產(chǎn)品總損失比率為1-Vt，由公式（1）可知任意t時刻第x層的損失比率為：

即EP(Zx(t))實際為兩個執(zhí)行價格分別為1-Ax-1和1-Ax的歐式看跌期權(quán)價值之差。

本文第二節(jié)所述證券化結(jié)構(gòu)的定義和推導(dǎo)僅包含了對違約情況的處理，而從目前已發(fā)單一標(biāo)的資產(chǎn)證券化項目來看，大多數(shù)具有提前償付的機(jī)制，提前還款的現(xiàn)金流首先從最高優(yōu)先級開始對本金進(jìn)行償付，較高優(yōu)先層到期日較近，由于較優(yōu)先的x層提前償付，標(biāo)的資產(chǎn)對證券化剩余的第x-1及以下層的覆蓋程度更高，最終結(jié)果表現(xiàn)為剩余層利差的相對縮小，這里僅需將公式(13)中的1-Vt改為Am(t)-Vt即可：

其中m(t)為截至t時刻尚未到期的最優(yōu)先層的層數(shù)。

對兩個期權(quán)分別使用Black-Scholes-Merton公式可得到EP(Zx(ti))，即：

上式中L為Am(t)-Ax-1或Am(t)-Ax。綜合公式（4）、（14）和（15），即可對單一資產(chǎn)證券化產(chǎn)品第x層的利差sx進(jìn)行估值。

（二）數(shù)值結(jié)果

區(qū)別于單因子和多因子等資產(chǎn)池模型，本節(jié)所述單一標(biāo)的資產(chǎn)證券化產(chǎn)品定價模型不再需要對標(biāo)的違約率進(jìn)行估計，而是在假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)服從幾何布朗運(yùn)動的情況下，直接通過資產(chǎn)價值的變化估計各層損失，可以視為Merton結(jié)構(gòu)化模型的一種擴(kuò)展（Merton模型[4]可視為僅有凈資產(chǎn)和負(fù)債兩層）。因此，對單一標(biāo)的資產(chǎn)證券化產(chǎn)品定價的主要參數(shù)包括：

（1）基礎(chǔ)資產(chǎn)漂移μ，即資產(chǎn)價格的長期趨勢；

（2）基礎(chǔ)資產(chǎn)波動率σ；

（3）分層結(jié)構(gòu)Ax-Ax-1(x=1,…,M)；

（4）資產(chǎn)初始質(zhì)押率，初始質(zhì)押率決定了權(quán)益層A1-A0的大小，進(jìn)而影響分層結(jié)構(gòu)。

在下述算例中，假設(shè)證券化產(chǎn)品分為9層，其中權(quán)益層為20%，剩余優(yōu)先層均為10%，假設(shè)提前還款從最優(yōu)先級開始發(fā)生，每期償還一層本金，即最優(yōu)先層存續(xù)1期，次優(yōu)先層存續(xù)2期，以此類推，同時假設(shè)基礎(chǔ)資產(chǎn)價格的長期趨勢為μ=5%，圖4顯示了各層風(fēng)險溢價與資產(chǎn)波動率σ（0%—100%）的關(guān)系。

圖4 證券化產(chǎn)品各層利差與資產(chǎn)波動率的關(guān)系

從圖4中看出，在資產(chǎn)波動率正常范圍內(nèi)（≤30%），各優(yōu)先層利差符合優(yōu)先層順序，即較高優(yōu)先層的溢價較低，且各層與無風(fēng)險利率的利差均在100BP以內(nèi)，證明了市場單一標(biāo)的資產(chǎn)證券化產(chǎn)品各優(yōu)先層評級大多為AAA的合理性。在波動率較大情況下，各層利差出現(xiàn)倒掛，主要原因在于較優(yōu)先層的提前償付機(jī)制，即當(dāng)較優(yōu)先層提前償付后，由于標(biāo)的價值對剩余次優(yōu)先層覆蓋程度提高，導(dǎo)致次優(yōu)先層風(fēng)險降低，因而其利差相對較小。

本節(jié)給出的單一標(biāo)的資產(chǎn)證券化產(chǎn)品定價模型雖基于基礎(chǔ)資產(chǎn)價值服從幾何布朗運(yùn)動的假設(shè)，但由于把證券化產(chǎn)品每層的預(yù)期損失表示成了兩個看跌期權(quán)之差，基礎(chǔ)資產(chǎn)價值同樣可以使用其他隨機(jī)過程建模（如加入跳躍過程等[5]），因此適用于不同標(biāo)的資產(chǎn)的情況。本節(jié)定價模型的結(jié)果與資產(chǎn)池證券化產(chǎn)品模型定價結(jié)果有相似之處，但由于方法具有解析解（單因子模型需使用數(shù)值積分、多因子模型需要使用離散傅里葉變換和數(shù)值積分等數(shù)值方法），因此便于對產(chǎn)品進(jìn)行快速定價及參數(shù)敏感性等討論。

五、結(jié)論與建議

資產(chǎn)證券化產(chǎn)品定價模型通常較為復(fù)雜，涉及參數(shù)較多，基于高斯聯(lián)結(jié)相依函數(shù)的單因子模型由于使用平均違約率、平均相關(guān)性等簡化參數(shù)，在業(yè)界得到了廣泛的應(yīng)用，但單因子模型也存在損失分布構(gòu)建粗糙、尾部風(fēng)險考慮不足、依賴加權(quán)平均評級因子、參數(shù)選取主觀性較強(qiáng)等缺點。

對于單因子模型的上述不足，本文使用基于損失分布特征函數(shù)的多因子模型對資產(chǎn)池的損失分布進(jìn)行更精細(xì)化的描述。考慮到單因子模型中平均違約率和平均相關(guān)性系數(shù)亦需要通過各資產(chǎn)違約率和相關(guān)性加權(quán)平均得到，因此多因子模型在不增加參數(shù)要求的基礎(chǔ)上大大提高了損失分布構(gòu)建的準(zhǔn)確性。同時，通過對不同產(chǎn)品損失分布進(jìn)行統(tǒng)計，多因子模型也可為構(gòu)建適用于我國的加權(quán)平均評級因子提供方法和依據(jù)。

另外，對于目前我國市場上越來越多的基于單一企業(yè)資產(chǎn)或其收益權(quán)的資產(chǎn)證券化產(chǎn)品，本文也在同一無套利定價框架下給出了其定價方法。由于方法具有解析解，因此較損失分布模型和現(xiàn)金流瀑布模型更適于對產(chǎn)品進(jìn)行快速定價及敏感性分析。

最后，模型估值只是資產(chǎn)證券化產(chǎn)品定價的第一步，只有在產(chǎn)品信息披露簡單透明的基礎(chǔ)上，才能引導(dǎo)投資人根據(jù)產(chǎn)品特點和自身數(shù)據(jù)積累選取合適的方法，從而促進(jìn)產(chǎn)品流動性、控制產(chǎn)品風(fēng)險。

[1]趙亮，余粵，孟琪.信貸資產(chǎn)證券化產(chǎn)品定價研究[J].金融理論與實踐，2013，（3）：41-46.

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（責(zé)任編輯：張艷峰）

1003-4625（2014）10-0073-05中圖分類號：F830.91文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

2014-08-12

本文為國家社會科學(xué)基金項目“量化寬松政策研究：理論、效應(yīng)與中國選擇”（編號：13BJL024）。

余粵（1983-），男，廣東揭陽人，博士，中國社會科學(xué)院研究生院金融系博士研究生，中債信用增進(jìn)投資股份有限公司高級經(jīng)理，研究方向：貨幣理論與政策，金融衍生品，風(fēng)險管理。