數(shù)列求和綜合問題解法例談

高艷云

數(shù)列求和問題以綜合性強(qiáng)、復(fù)雜多變、解法靈活等特征成為考查的重點(diǎn)內(nèi)容.由于大多數(shù)數(shù)列求和問題都不是最基本的等差數(shù)列或等比數(shù)列，所以?？疾榈臄?shù)列求和的方法有：錯(cuò)位相減法、倒序相加法，分組求和法和裂項(xiàng)相消法等.

一、錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法，將其和轉(zhuǎn)化為“一個(gè)新的等比數(shù)列的和”求解.（注意：一般錯(cuò)位相減后，其中“新等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是原數(shù)列的項(xiàng)數(shù)減一”，這也是等比數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法之一.）

錯(cuò)位相減法是一種常用的數(shù)列求和方法，應(yīng)用于等比數(shù)列與等差數(shù)列相乘的形式.形如An=BnCn，其中Bn為等差數(shù)列，Cn為等比數(shù)列；分別列出Sn，再把所有式子同時(shí)乘以等比數(shù)列的公比，即KSn；然后錯(cuò)一位，兩式相減即可.

例1：求和Sn=+++…+.

解：兩邊同時(shí)乘以，得Sn=++…++，

兩式相減得Sn=-，

Sn=1-.

例2：求和：1+++…+.

分析：原式等價(jià)于2×+3×+4×+…+n×+（n+1）×.

其中an=（n+1）×，像這種通項(xiàng)公式由等差與等比組成的數(shù)列，求它的前n項(xiàng)的和聯(lián)系課本中等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程，可應(yīng)用錯(cuò)位相減法.

解：令Sn=2×+3×+4×+…+n×+（n+1）×，

Sn=2×+3×+4×+……+n×+（n+1）×，

∴Sn=1+++…+-，

∴Sn=2++++…+-，

∴Sn=2+-，

∴Sn=2+1--，

∴Sn=3-.

二、倒序相加法：在數(shù)列求和中，若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則常可考慮選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和.（這也是等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法.）

這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來(lái)排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)（a1+an）.

例3：求證：C0n+3C1n+5C2n+…+（2n+1）Cnn=（n+1）2n.

證明：設(shè)Sn=C0n+3Cn1+5Cn2+…+（2n+1）Cnn ， ①

把①式右邊倒轉(zhuǎn)過來(lái)得

Sn=（2n+1）Cnn+（2n+1）Cn+1+…+3Cn1+Cn0，（反序）

又由Cnm=Cnn-m可得

Sn=（2n+1）Cn0+（2n+1）Cn1+…+3Cn-1n+Cnn， ②

①+②得2Sn=（2n+2）（Cn0+Cn1+…+Cnn-1+Cnn ）.（反序相加）

例4：求sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°的值.

解：設(shè)S=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°，①

將①式右邊反序得

S=sin289°+sin288°+…+sin23°+sin22°+sin21°， ②

又sinx=cos（90°-x），sin2x+cos2x=1，

①+②得

2S=（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin289°+

cos289°）=89，

∴S=44.5.

三、分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和.

有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.

例5：求和:（x+）+（x2+）+…+（xn+）

(x≠0，x≠1，y≠1).

解：原式=（x+x2+x3+…+xn）+（++…+）

=+

=+.

例6：求數(shù)列的前n項(xiàng)和：1+1，+4，+7，…，+3n-2，…

解：設(shè)Sn=（1+1）+（+4）+（+7）+…+（+3n-2），

將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得

Sn=（1+++…+）+（1+4+7+…+3n-2）.

當(dāng)a=1時(shí)，Sn=n+=，

當(dāng)a≠1時(shí)，Sn=+=+.

四、裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和. 這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：

（1）an=f （n+1）-f（n）.

（2）=tan（n+1）°-tann°.

（3）an==-.

（4）an==1+（-）.

（5）an==[-].

例7：數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=，求Sn .

分析：通項(xiàng)為分式的數(shù)列?？紤]差分，即把通項(xiàng)ak化為兩項(xiàng)之差，ak=?姿（bk-ck）且bk+1=ck或bk=ck+1，那么

Sn==

=

解：ak=+=2（-）+3（

-），

∴Sn=2[（1-）+（-）+…+（-）]+3.[（-）+（-）+…+（-）]=2（1-）+3.（-）=-=.

例8：求和：++…+.

分析：由an===-

=-.

解：原式=（1-）+（+）+…+（-）+（-

）=1-=.

例9：求數(shù)列，，…，，…的前n項(xiàng)和.

解：設(shè)an==-，

則Sn=，+…+

=（-）+（-）+…+（-

） =-1.

題型詮釋：數(shù)列求和是數(shù)列部分的重要內(nèi)容，求和問題也是高考常見的試題，對(duì)于等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和主要是運(yùn)用公式，求一般數(shù)列的前n項(xiàng)和，即非等差數(shù)列或非等比數(shù)列求和問題，可以借助錯(cuò)位相減法或裂項(xiàng)相消法轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求和問題.

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數(shù)列求和問題以綜合性強(qiáng)、復(fù)雜多變、解法靈活等特征成為考查的重點(diǎn)內(nèi)容.由于大多數(shù)數(shù)列求和問題都不是最基本的等差數(shù)列或等比數(shù)列，所以?？疾榈臄?shù)列求和的方法有：錯(cuò)位相減法、倒序相加法，分組求和法和裂項(xiàng)相消法等.

一、錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法，將其和轉(zhuǎn)化為“一個(gè)新的等比數(shù)列的和”求解.（注意：一般錯(cuò)位相減后，其中“新等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是原數(shù)列的項(xiàng)數(shù)減一”，這也是等比數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法之一.）

錯(cuò)位相減法是一種常用的數(shù)列求和方法，應(yīng)用于等比數(shù)列與等差數(shù)列相乘的形式.形如An=BnCn，其中Bn為等差數(shù)列，Cn為等比數(shù)列；分別列出Sn，再把所有式子同時(shí)乘以等比數(shù)列的公比，即KSn；然后錯(cuò)一位，兩式相減即可.

例1：求和Sn=+++…+.

解：兩邊同時(shí)乘以，得Sn=++…++，

兩式相減得Sn=-，

Sn=1-.

例2：求和：1+++…+.

分析：原式等價(jià)于2×+3×+4×+…+n×+（n+1）×.

其中an=（n+1）×，像這種通項(xiàng)公式由等差與等比組成的數(shù)列，求它的前n項(xiàng)的和聯(lián)系課本中等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程，可應(yīng)用錯(cuò)位相減法.

解：令Sn=2×+3×+4×+…+n×+（n+1）×，

Sn=2×+3×+4×+……+n×+（n+1）×，

∴Sn=1+++…+-，

∴Sn=2++++…+-，

∴Sn=2+-，

∴Sn=2+1--，

∴Sn=3-.

二、倒序相加法：在數(shù)列求和中，若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和.（這也是等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法.）

這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來(lái)排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)（a1+an）.

例3：求證：C0n+3C1n+5C2n+…+（2n+1）Cnn=（n+1）2n.

證明：設(shè)Sn=C0n+3Cn1+5Cn2+…+（2n+1）Cnn ， ①

把①式右邊倒轉(zhuǎn)過來(lái)得

Sn=（2n+1）Cnn+（2n+1）Cn+1+…+3Cn1+Cn0，（反序）

又由Cnm=Cnn-m可得

Sn=（2n+1）Cn0+（2n+1）Cn1+…+3Cn-1n+Cnn， ②

①+②得2Sn=（2n+2）（Cn0+Cn1+…+Cnn-1+Cnn ）.（反序相加）

例4：求sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°的值.

解：設(shè)S=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°，①

將①式右邊反序得

S=sin289°+sin288°+…+sin23°+sin22°+sin21°， ②

又sinx=cos（90°-x），sin2x+cos2x=1，

①+②得

2S=（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin289°+

cos289°）=89，

∴S=44.5.

三、分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和.

有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.

例5：求和:（x+）+（x2+）+…+（xn+）

(x≠0，x≠1，y≠1).

解：原式=（x+x2+x3+…+xn）+（++…+）

=+

=+.

例6：求數(shù)列的前n項(xiàng)和：1+1，+4，+7，…，+3n-2，…

解：設(shè)Sn=（1+1）+（+4）+（+7）+…+（+3n-2），

將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得

Sn=（1+++…+）+（1+4+7+…+3n-2）.

當(dāng)a=1時(shí)，Sn=n+=，

當(dāng)a≠1時(shí)，Sn=+=+.

四、裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和. 這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：

（1）an=f （n+1）-f（n）.

（2）=tan（n+1）°-tann°.

（3）an==-.

（4）an==1+（-）.

（5）an==[-].

例7：數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=，求Sn .

分析：通項(xiàng)為分式的數(shù)列常考慮差分，即把通項(xiàng)ak化為兩項(xiàng)之差，ak=?姿（bk-ck）且bk+1=ck或bk=ck+1，那么

Sn==

=

解：ak=+=2（-）+3（

-），

∴Sn=2[（1-）+（-）+…+（-）]+3.[（-）+（-）+…+（-）]=2（1-）+3.（-）=-=.

例8：求和：++…+.

分析：由an===-

=-.

解：原式=（1-）+（+）+…+（-）+（-

）=1-=.

例9：求數(shù)列，，…，，…的前n項(xiàng)和.

解：設(shè)an==-，

則Sn=，+…+

=（-）+（-）+…+（-

） =-1.

題型詮釋：數(shù)列求和是數(shù)列部分的重要內(nèi)容，求和問題也是高考常見的試題，對(duì)于等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和主要是運(yùn)用公式，求一般數(shù)列的前n項(xiàng)和，即非等差數(shù)列或非等比數(shù)列求和問題，可以借助錯(cuò)位相減法或裂項(xiàng)相消法轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求和問題.

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數(shù)列求和問題以綜合性強(qiáng)、復(fù)雜多變、解法靈活等特征成為考查的重點(diǎn)內(nèi)容.由于大多數(shù)數(shù)列求和問題都不是最基本的等差數(shù)列或等比數(shù)列，所以?？疾榈臄?shù)列求和的方法有：錯(cuò)位相減法、倒序相加法，分組求和法和裂項(xiàng)相消法等.

一、錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法，將其和轉(zhuǎn)化為“一個(gè)新的等比數(shù)列的和”求解.（注意：一般錯(cuò)位相減后，其中“新等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是原數(shù)列的項(xiàng)數(shù)減一”，這也是等比數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法之一.）

錯(cuò)位相減法是一種常用的數(shù)列求和方法，應(yīng)用于等比數(shù)列與等差數(shù)列相乘的形式.形如An=BnCn，其中Bn為等差數(shù)列，Cn為等比數(shù)列；分別列出Sn，再把所有式子同時(shí)乘以等比數(shù)列的公比，即KSn；然后錯(cuò)一位，兩式相減即可.

例1：求和Sn=+++…+.

解：兩邊同時(shí)乘以，得Sn=++…++，

兩式相減得Sn=-，

Sn=1-.

例2：求和：1+++…+.

分析：原式等價(jià)于2×+3×+4×+…+n×+（n+1）×.

其中an=（n+1）×，像這種通項(xiàng)公式由等差與等比組成的數(shù)列，求它的前n項(xiàng)的和聯(lián)系課本中等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程，可應(yīng)用錯(cuò)位相減法.

解：令Sn=2×+3×+4×+…+n×+（n+1）×，

Sn=2×+3×+4×+……+n×+（n+1）×，

∴Sn=1+++…+-，

∴Sn=2++++…+-，

∴Sn=2+-，

∴Sn=2+1--，

∴Sn=3-.

二、倒序相加法：在數(shù)列求和中，若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則常可考慮選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和.（這也是等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法.）

這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來(lái)排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)（a1+an）.

例3：求證：C0n+3C1n+5C2n+…+（2n+1）Cnn=（n+1）2n.

證明：設(shè)Sn=C0n+3Cn1+5Cn2+…+（2n+1）Cnn ， ①

把①式右邊倒轉(zhuǎn)過來(lái)得

Sn=（2n+1）Cnn+（2n+1）Cn+1+…+3Cn1+Cn0，（反序）

又由Cnm=Cnn-m可得

Sn=（2n+1）Cn0+（2n+1）Cn1+…+3Cn-1n+Cnn， ②

①+②得2Sn=（2n+2）（Cn0+Cn1+…+Cnn-1+Cnn ）.（反序相加）

例4：求sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°的值.

解：設(shè)S=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°，①

將①式右邊反序得

S=sin289°+sin288°+…+sin23°+sin22°+sin21°， ②

又sinx=cos（90°-x），sin2x+cos2x=1，

①+②得

2S=（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin289°+

cos289°）=89，

∴S=44.5.

三、分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和.

有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.

例5：求和:（x+）+（x2+）+…+（xn+）

(x≠0，x≠1，y≠1).

解：原式=（x+x2+x3+…+xn）+（++…+）

=+

=+.

例6：求數(shù)列的前n項(xiàng)和：1+1，+4，+7，…，+3n-2，…

解：設(shè)Sn=（1+1）+（+4）+（+7）+…+（+3n-2），

將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得

Sn=（1+++…+）+（1+4+7+…+3n-2）.

當(dāng)a=1時(shí)，Sn=n+=，

當(dāng)a≠1時(shí)，Sn=+=+.

四、裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和. 這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：

（1）an=f （n+1）-f（n）.

（2）=tan（n+1）°-tann°.

（3）an==-.

（4）an==1+（-）.

（5）an==[-].

例7：數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=，求Sn .

分析：通項(xiàng)為分式的數(shù)列?？紤]差分，即把通項(xiàng)ak化為兩項(xiàng)之差，ak=?姿（bk-ck）且bk+1=ck或bk=ck+1，那么

Sn==

=

解：ak=+=2（-）+3（

-），

∴Sn=2[（1-）+（-）+…+（-）]+3.[（-）+（-）+…+（-）]=2（1-）+3.（-）=-=.

例8：求和：++…+.

分析：由an===-

=-.

解：原式=（1-）+（+）+…+（-）+（-

）=1-=.

例9：求數(shù)列，，…，，…的前n項(xiàng)和.

解：設(shè)an==-，

則Sn=，+…+

=（-）+（-）+…+（-

） =-1.

題型詮釋：數(shù)列求和是數(shù)列部分的重要內(nèi)容，求和問題也是高考常見的試題，對(duì)于等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和主要是運(yùn)用公式，求一般數(shù)列的前n項(xiàng)和，即非等差數(shù)列或非等比數(shù)列求和問題，可以借助錯(cuò)位相減法或裂項(xiàng)相消法轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求和問題.

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