首加尾分塊循環(huán)矩陣的性質(zhì)研究

馬江明，何承源*

(西華大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，成都 610039)

首加尾分塊循環(huán)矩陣的性質(zhì)研究

馬江明，何承源*

(西華大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，成都 610039)

給出首加尾分塊循環(huán)矩陣的定義，得到了首加尾分塊循環(huán)矩陣的矩陣表示多項(xiàng)式，并對(duì)其研究得到了三個(gè)首加尾分塊循環(huán)矩陣的充要條件，同時(shí)獲得它的數(shù)乘、和、差、乘積、冪、伴隨矩陣仍然是首加尾分塊循環(huán)矩陣，最后給出判斷奇異性與非奇異性的一個(gè)充要條件。

定義;首加尾分塊循環(huán)矩陣;充要條件;奇異性

循環(huán)矩陣是一類非常重要的特殊矩陣，在糾錯(cuò)碼理論、信號(hào)處理、圖像處理、自回歸濾波器設(shè)計(jì)等方面有廣泛的應(yīng)用。因此關(guān)于循環(huán)矩陣的研究十分活躍。本文在文獻(xiàn)［1-5］的基礎(chǔ)上提出首加尾分塊循環(huán)矩陣的概念，并給出了首加尾分塊循環(huán)矩陣的一些充要條件，以及判斷奇異性的充要條件。

引理［6］設(shè)A和B分別是m×n和p×q階的矩陣，則稱分塊矩陣

為A與 B的 Kronecker積，簡(jiǎn)記為 A?B。同時(shí)，Kronecker積有如下性質(zhì):1)A?(B+C)=(A?B)+(A?C);2)(A?B)(C?D)=(AC)?(BD)。

1 首加尾分塊循環(huán)矩陣的概念

定義 1 設(shè) A0，A1，…，An-2，An-1均為 m 階矩陣，稱具有下列形式nm的階矩陣

為首加尾分塊循環(huán)矩陣，簡(jiǎn)記為FALBCM(A0，A1，…，An-1)(下同)。

定義2 設(shè)Im為m階單位矩陣，則稱具有下列形式的nm階矩陣為基本首加尾分塊循環(huán)矩陣，其中πn=Inm+π，則π的形式特征多項(xiàng)式g(x)=xnIm-xIm-Im(下同)。

2 主要結(jié)論

定理 1 A=FLSBCM(A0，A1，…，An-1)的充要條件為A=f(π)。

證明 由定義1和引理可以直接驗(yàn)證。

定理2 A為首加尾分塊循環(huán)矩陣的充要條件是Aπ=πA。

設(shè)

即A為首加尾分塊循環(huán)矩陣。

推論1 若A，B為首加尾分塊循環(huán)矩陣，則kA、A±B、AB、Ak也為首加尾分塊循環(huán)矩陣。

推論2 若A為首加尾分塊循環(huán)矩陣，則A*也為首加尾分塊循環(huán)矩陣。

證明 因?yàn)锳為首加尾分塊循環(huán)矩陣，所以Aπ=πA，從而π*A*=A* π* 。

又因?yàn)?ππ*=(-1)n(nm-1)Inm，π*=(-1)m(nm-1)，由A*=(-1)m(nm-1)π-1=(-1)m(nm-1)A* π-1得πA*=A*π，所以A*為首加尾分塊循環(huán)矩陣。

定理3 A為非奇異的首加尾分塊循環(huán)矩陣的充要條件是A-1為首加尾分塊循環(huán)矩陣。

證明 因?yàn)锳為非奇異的首加尾分塊循環(huán)矩陣，所以Aπ=πA，即

πA-1=A-1π，

于是由定理2可知:A-1為首加尾分塊循環(huán)矩陣。

因?yàn)锳-1為首加尾分塊循環(huán)矩陣，所以πA-1=A-1π，即Aπ=πA，于是A為首加尾分塊循環(huán)矩陣。

定理 4 A=FLSBCM(A0，A1，…，An-1)非奇異的充要條件是Im為f(x)和g(x)的最大右公因式。

證明 因?yàn)樵O(shè)h(x)是f(x)與g(x)的一個(gè)最大右公因式，所以存在u(x)，v(x)，d(x)使得

在 f(x)=d(x)h(x)中，令 x=π，得 f(π)=d(π)h(π)。因?yàn)锳是非奇異的，所以h(π)是非奇異的，于是存在矩陣多項(xiàng)式h1(x)使得h1(x)h(x)=Im，從而

h1(x)u(x)f(x)+h1(x)v(x)g(x)=h1(x)h(x)=Im，

所以Im為f(x)和g(x)的最大右公因式［7］。

因?yàn)镮m為f(x)和g(x)的最大右公因式，所以存在矩陣多項(xiàng)式u1(x)，v1(x)使得

在上式中，令x=π，得u1(π)f(π)+v1(π)g(π)=Inm，

由f(π)=A，g(π)=0，則u1(π)f(π)=u1(π)A=Inm，

所以A非奇異。

推論 3 A=FLSBCM(A0，A1，…，An-1)奇異的充要條件是Im不為f(x)和g(x)的最大右公因式。

［1］何承源.R-循環(huán)分塊矩陣的充要條件及有關(guān)算法的計(jì)算復(fù)雜性［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，1998(4):21-24.

［2］鄭強(qiáng).關(guān)于r-分塊循環(huán)矩陣的推廣［J］.山東師大學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，1998(4):17-20.

［3］單滬軍，鄭強(qiáng)，吳強(qiáng).初等r-分塊循環(huán)矩陣的幾個(gè)性質(zhì)［J］.山東工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，1999(3):269-272.

［4］翟瑩，譚麗芳.分塊循環(huán)矩陣的討論［J］.北京教育學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2007(4):1-4.

［5］張光輝.關(guān)于K-分塊循環(huán)矩陣及其對(duì)角化問(wèn)題的討論［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2007(2):135-137.

［6］江兆林，周章鑫.循環(huán)矩陣［M］.成都:成都科技大學(xué)出版社，1999.

［7］王恩平，王朝珠.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式矩陣［M］.北京:國(guó)防工業(yè)出版社，1992.

The Property Study on First-add-last Block Circulant Matrix

MA Jiangming，HE Chengyuan*
(School of Mathematics and Computer Engineering，Xihua University，Chengdu 610039，China)

The definition of first-add-last block circulant matrix is proposed in this paper，and the representative polynomial of is given.The authors deduce three necessary and sufficient conditions for first-add-last block circulant matrix and some properties that scalar multiplication，sum，difference，product，power and adjoint matrix are also first-add-last block circulant matrix.Finally the necessary and sufficient conditions for its singularity and nonsingularity are presented.

definition;first-add-last block circulant matrix;necessary and sufficient condition;singularity

O241.6

A

2095-5383(2014)02-0061-02

10.13542/j.cnki.51-1747/tn.2014.02.020

2014-04-03

四川省應(yīng)用基礎(chǔ)研究計(jì)劃“循環(huán)矩陣的理論研究及其應(yīng)用”(2013JY0178)

馬江明(1988-)，男(漢族)，河南南陽(yáng)人，在讀碩士研究生，研究方向:矩陣?yán)碚摷捌鋺?yīng)用。

何承源(1961-)，男(漢族)，四川彭州人，教授，學(xué)士，研究方向:矩陣?yán)碚摷捌鋺?yīng)用，通信作者郵箱:chengyuanh@163.com。