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    一道國際大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽題的注記

    2014-09-17 06:55:24
    大學(xué)數(shù)學(xué) 2014年6期
    關(guān)鍵詞:競賽題等式零點(diǎn)

    孫 倩

    (安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230601)

    設(shè)P為n次實(shí)系數(shù)代數(shù)多項(xiàng)式,只有實(shí)零點(diǎn).

    a)證明對于任意實(shí)數(shù)x,下列不等式成立:

    (n-1)(P′(x))2≥nP(x)P″(x).

    (1)

    b)討論等號成立的情形.

    這是第五屆國際大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽(1998年)的一道試題[1],本文對這道試題做進(jìn)一步討論,得到更為一般的結(jié)果.

    設(shè)Pn(x)為n次實(shí)系數(shù)代數(shù)多項(xiàng)式,只有實(shí)零點(diǎn).

    (i)設(shè)m=1,2,…,n-1.若x不是Pn(x)的零點(diǎn),則

    (2)

    其中等號當(dāng)且僅當(dāng)Pn(x)有n重零點(diǎn)時成立.

    (ii)設(shè)m=2,3,…,n-1.若xi(i=1,2,…,n)為Pn(x)的零點(diǎn),則

    (3)

    其中等號當(dāng)且僅當(dāng)Pn(x)有n-1重零點(diǎn)時成立.

    此結(jié)論的證明如下:

    (4)

    其中x不是Pn(x)的零點(diǎn).

    (5)

    (6)

    (7)

    (6),(7)兩式整理后即得不等式(2),(3).

    由牛頓不等式[2]等號成立條件知.不等式(2)中等號當(dāng)且僅當(dāng)所有的x-xi(i=1,2,…,n)相等,即Pn(x)有n重零點(diǎn)時成立;不等式(3)中等號當(dāng)且僅當(dāng)除xj(i=1,2,…,n;j≠i)相等,即Pn(x)有n-1重零點(diǎn)時成立.

    注 當(dāng)m=1時,由(2)可得(1).而此時,若x為Pn(x)的零點(diǎn),(2)式亦即(1)式顯然成立.又當(dāng)m=n時,(2)為等式.

    當(dāng)m=1或m=n時,(3)為等式.

    [參 考 文 獻(xiàn)]

    [1] 王麗萍.歷屆國際大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題集[M].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,2012:45-46.

    [2] 哈代 G H,李特伍德 J E,波利亞 G.不等式[M].北京:科學(xué)出版社,1965:53;113.

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