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    關于無窮小比較的一點注記

    2014-09-17 06:55:34顧艷紅趙玉英
    大學數(shù)學 2014年6期
    關鍵詞:洛必達低階例子

    顧艷紅, 趙玉英

    (北京林業(yè)大學 理學院,北京 100083)

    1 引 言

    無窮小是極限為零的變量,作為數(shù)學分析和高等數(shù)學中的一個重要概念,它卻又有幾分神秘,給人一種不可捉摸之感.因此有人把它比喻成田野上遠處的地平線,看得見,卻又走不到它跟前.正是其神秘和復雜,觸動了學者們的感情,也很少有別的觀念像無窮那樣激勵理智產(chǎn)生富有成果的思想[1].

    在數(shù)學分析和高等數(shù)學的教學和研究中,很多學者也非常關注無窮小這一重要概念,尤其是對于無窮小的比較,從對其定義的科學性到教學內(nèi)容與教學方法的設計[1-6],他們都進行了深入探索和討論,揭示出無窮小的神秘一面.

    對于兩個無窮小,如果α是比β高階的無窮小量,未必等價于β是比α低階的無窮小量[1-3];對于任何兩個無窮小量,并非都可以進行階的比較[6].在文[6]中還給出了確定無窮小量階的定理.在此基礎上,本文進一步說明,對于兩個非0的無窮小α與β,即使在能比較階的高低情況下,α未必是β的k(k>0)階無窮小.

    2 無窮小比較的定義

    關于兩個無窮小的比較,文[7]給出了如下定義.

    定義1[7]設在自變量的同一變化過程中,α與β為無窮小,且α≠0,

    3 關于無窮小比較的一點注記及例子

    在文[1]和文[2]的基礎上,本文給出關于無窮小比較的一點注記.

    注 兩個非0無窮小即使在能比較階的高低情況下,一個無窮小未必是另一個無窮小的k(k>0)階無窮小.

    當x→0時,0是其它非0無窮小的高階無窮小,但0不是其它非0無窮小的k(k>0)階無窮小.對于兩個非0無窮小,構造出了如下兩個例子.

    證根據(jù)洛必達法則[7],

    根據(jù)洛必達法則,

    4 結束語

    表的取值對照

    [參 考 文 獻]

    [1] 方濤.關于無窮小量的幾點注記[J].上海工程技術大學學報,2013,27(3):275-277.

    [2] 龔冬保.高階無窮小與低階無窮小:無窮小比較的一個問題[J].高等數(shù)學研究,2000,3(3):16.

    [3] 潘建輝,胡學剛,鄧志穎.關于“無窮小的比較”的教學研究[J].高等數(shù)學研究,2011,14(5):43-46.

    [4] 馬懷遠.再談無窮小比較的解釋[J].江蘇教育學院學報(自然科學),2012,28(4):16-17,63.

    [5] 潘建輝,鄧志穎,楊春德.“無窮小的比較”的定義及其改進[J].大學數(shù)學,2011,27(3):204-208.

    [6] 鄧俊蘭.關于無窮小量階的若干注記[J].南陽師范學院學報,2010,9(9):81-83.

    [7] 同濟大學數(shù)學系編.高等數(shù)學(上冊)[M].6版.北京.高等教育出版社,2007:57-59.

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