關于無窮小比較的一點注記

顧艷紅， 趙玉英

(北京林業(yè)大學 理學院，北京 100083)

1 引 言

無窮小是極限為零的變量，作為數(shù)學分析和高等數(shù)學中的一個重要概念，它卻又有幾分神秘，給人一種不可捉摸之感.因此有人把它比喻成田野上遠處的地平線，看得見，卻又走不到它跟前.正是其神秘和復雜，觸動了學者們的感情，也很少有別的觀念像無窮那樣激勵理智產(chǎn)生富有成果的思想[1].

在數(shù)學分析和高等數(shù)學的教學和研究中，很多學者也非常關注無窮小這一重要概念，尤其是對于無窮小的比較，從對其定義的科學性到教學內(nèi)容與教學方法的設計[1-6]，他們都進行了深入探索和討論，揭示出無窮小的神秘一面.

對于兩個無窮小，如果α是比β高階的無窮小量，未必等價于β是比α低階的無窮小量[1-3]；對于任何兩個無窮小量，并非都可以進行階的比較[6].在文[6]中還給出了確定無窮小量階的定理.在此基礎上，本文進一步說明，對于兩個非0的無窮小α與β，即使在能比較階的高低情況下，α未必是β的k(k>0)階無窮小.

2 無窮小比較的定義

關于兩個無窮小的比較，文[7]給出了如下定義.

定義1[7]設在自變量的同一變化過程中，α與β為無窮小，且α≠0，

3 關于無窮小比較的一點注記及例子

在文[1]和文[2]的基礎上，本文給出關于無窮小比較的一點注記.

注 兩個非0無窮小即使在能比較階的高低情況下，一個無窮小未必是另一個無窮小的k(k>0)階無窮小.

當x→0時，0是其它非0無窮小的高階無窮小，但0不是其它非0無窮小的k(k>0)階無窮小.對于兩個非0無窮小，構造出了如下兩個例子.

證根據(jù)洛必達法則[7]，

證

根據(jù)洛必達法則，

4 結束語

表的取值對照

[參 考 文 獻]

[1] 方濤.關于無窮小量的幾點注記[J].上海工程技術大學學報,2013,27(3):275-277.

[2] 龔冬保.高階無窮小與低階無窮小:無窮小比較的一個問題[J].高等數(shù)學研究，2000，3(3):16.

[3] 潘建輝，胡學剛，鄧志穎.關于“無窮小的比較”的教學研究[J].高等數(shù)學研究，2011，14(5):43-46.

[4] 馬懷遠.再談無窮小比較的解釋[J].江蘇教育學院學報(自然科學)，2012，28(4):16-17,63.

[5] 潘建輝,鄧志穎,楊春德.“無窮小的比較”的定義及其改進[J].大學數(shù)學,2011,27(3):204-208.

[6] 鄧俊蘭.關于無窮小量階的若干注記[J].南陽師范學院學報，2010，9(9):81-83.

[7] 同濟大學數(shù)學系編.高等數(shù)學(上冊)[M].6版.北京.高等教育出版社，2007：57-59.