廣義逆矩陣A-的計(jì)算方法及應(yīng)用

戴中林

(西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院 四川 南充 637002)

眾所周知，求解矩陣方程AX=B時(shí)，當(dāng)A為可逆方陣，則解X=A-1B；當(dāng)A為不可逆方陣或?yàn)殚L方矩陣時(shí)，A-1失去意義.為此我們利用廣義逆矩陣A-(減號(hào)逆)的概念[1-3]，將求逆矩陣運(yùn)算進(jìn)行推廣，使得無論A是何種矩陣，A-均有意義. 這時(shí)矩陣方程AX=B的解都為X=A-B，當(dāng)A-為A的全部廣義逆時(shí)，X=A-B為通解.特別地，當(dāng)B為n維列向量時(shí)，該解即為線性方程組AX=B的通解.

1 廣義逆矩陣A-(減號(hào)逆)的定義

定義設(shè)矩陣A為m×n矩陣，若存在n×m矩陣G，使得AGA=A，則稱G為A的一個(gè)廣義逆矩陣，記為G=A-.即有AA-A=A.

一般情況下，滿足定義的A-不是唯一的.一般可求出矩陣A的一個(gè)或全部廣義逆矩陣.

2 廣義逆矩陣A-的計(jì)算方法

2.1 求矩陣A的一個(gè)廣義逆A-的公式計(jì)算法

定理2.1設(shè)A為m×n的行滿秩矩陣，即秩rA=m

A-=AT(AAT)-1.

證因?yàn)锳為m×n矩陣，則AT為n×m矩陣，故矩陣AAT為m階可逆方陣，有

AAT(AAT)-1=Em，

等式兩邊右乘矩陣A，得A[AT(AAT)-1]A=A，故由廣義逆矩陣的定義有惟一個(gè)廣義逆矩陣

A-=AT(AAT)-1.

解應(yīng)用上述公式可求得A的一個(gè)廣義逆

2.2 求矩陣A的全部廣義逆A-的初等變換法

證由廣義逆定義即得

即R-=RT.

P-1RQ-1A-P-1RQ-1=P-1RQ-1， 即R(Q-1A-P-1)R=R.

由廣義逆的定義及引理得Q-1A-P-1=R-=RT，即得A-=QRTP.

定理2.3矩陣A的全部廣義逆矩陣為

其中Y1,Y2,Y3為自由未知量矩陣，總共包含m·n-r2個(gè)自由未知量.

成立.故本定理成立.

解對(duì)矩陣A先后進(jìn)行行及列的初等變換，即

3 廣義逆矩陣A-的應(yīng)用

3.1 利用矩陣A的一個(gè)廣義逆A-，求矩陣方程AX=B的通解

定理3.1若A-是A的一個(gè)廣義逆矩陣，則矩陣方程AX=B的通解為

X=A-B+(En-A-A)Y.

證首先證明矩陣方程AX=O的通解為X=(En-A-A)Y.

因?yàn)锳-是A的一個(gè)廣義逆矩陣，A-A是一個(gè)n階方陣，由定義AA-A=A，即有A(En-A-A)=O.若令n階方陣C=(En-A-A)，則有AC=O.設(shè)Y為與C可乘的矩陣，有A(CY)=O，故取X=CY=(En-A-A)Y，則有AX=O，故X=(En-A-A)Y是矩陣方程AX=O的通解.

又矩陣方程AX=B的一個(gè)特解為X=A-B，根據(jù)矩陣方程AX=B的通解結(jié)構(gòu)定理，即得通解

X=A-B+(En-A-A)Y。

解由例2.1求得的A-，代入通解公式，

其中z1,z2為自由未知量.

3.2 利用矩陣A的全部廣義逆A-，求矩陣方程AX=B的通解

根據(jù)廣義逆矩陣的計(jì)算方法，如果能求出矩陣A的全部廣義逆A-，而廣義逆中又自然帶有若干個(gè)自由未知量，即可由X=A-B求得該矩陣方程的通解，且自由未知量的個(gè)數(shù)也相應(yīng)確定.

定理3.2若A-為A的全部廣義逆矩陣，則矩陣方程AX=B的通解為X=A-B.

利用定理3.2再解例3.1.由例2.2得A的全部廣義逆A-，故通解為

其中z1,z2為自由未知量.

解對(duì)矩陣A進(jìn)行行及列的初等變換，可求得

故矩陣A的全部廣義逆矩陣

其中y1,…,y8為自由未知量.而通解為

其中z1,…,z4為自由未知量.

從上例可得出以下結(jié)論：由于A-的自由未知量的個(gè)數(shù)是m·n-r2，而線性方程組AX=B的自由未知量的個(gè)數(shù)本應(yīng)是n-r個(gè)，顯然m·n-r2≥n-r，但當(dāng)計(jì)算通解X=A-B時(shí)，經(jīng)中間變量代換后，自由未知量的個(gè)數(shù)就必然會(huì)從m·n-r2個(gè)減少到n-r個(gè)，否則前面的計(jì)算必有錯(cuò)誤.這個(gè)結(jié)論即是判斷求逆計(jì)算是否正確的依據(jù).

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 陳祖明.矩陣論引論[M].北京：北京航空航天大學(xué)出版社，1998：218-234.

[2] 周海云.矩陣?yán)碚摵喢鹘坛蘙M].北京：國防工業(yè)出版社，2011：156-170.

[3] 黃有度.矩陣?yán)碚摷捌鋺?yīng)用[M].合肥：合肥工業(yè)大學(xué)出版社，2013：137-144.