四階行列式對(duì)角線法則的圖解法

劉希強(qiáng)， 趙 穎， 王 璞， 毛 磊

(解放軍理工大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，江蘇南京211101)

1 引 言

在通常的《線性代數(shù)》或《高等代數(shù)》教材[1,2]中涉及到行列式的內(nèi)容時(shí)，都會(huì)首先介紹二階和三階行列式的對(duì)角線法則，然后找出一般性的規(guī)律，從而給出n階行列式的定義，廣大師生也只能較好地掌握一些特殊行列式的計(jì)算，對(duì)于一般的四階或者高階行列式的展開缺少行之有效的方法.本文利用圖解法，推導(dǎo)出四階行列式的對(duì)角線法則，擴(kuò)展了對(duì)角線法則的應(yīng)用范圍，使四階行列式的計(jì)算更具有可操作性.

2 二階和三階行列式對(duì)角線法則的圖解法

圖1 二階行列式圖解法

即a21，這兩個(gè)元素構(gòu)成了行列式展開的第二項(xiàng)a12a21，只是它被冠以負(fù)號(hào).這兩項(xiàng)合在一起，就得到二階行列式的值.

三階行列式按照對(duì)角線法則展開，可以得到

圖2 三階行列式對(duì)角線法則的圖解法

可按圖2所示方法記憶.射線Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ按逆時(shí)針?lè)较蚺帕?，將行列式的三列元素仿照?qǐng)D1的規(guī)則依次標(biāo)記在射線Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ上.在射線Ⅰ上從第一個(gè)元素a11開始取，按照逆時(shí)針?lè)较颍诙€(gè)取射線Ⅱ上行標(biāo)為2的元素a22，第三個(gè)取射線Ⅲ上行標(biāo)為3的元素a33，這三個(gè)元素的乘積構(gòu)成三階行列式的第一項(xiàng).若按照順時(shí)針?lè)较?，第二個(gè)取射線Ⅲ上行標(biāo)為2的元素a23，第三個(gè)取射線Ⅱ上行標(biāo)為3的元素a32，這三個(gè)元素的乘積構(gòu)成三階行列式的第二項(xiàng)，并冠以負(fù)號(hào).其余各項(xiàng)可按照類似的方法得到.可以發(fā)現(xiàn)，逆時(shí)針?lè)较蛉≌?hào)，順時(shí)針?lè)较蛉∝?fù)號(hào).

3 四階行列式的對(duì)角線法則

四階行列式

(a) ⅠⅡ Ⅲ Ⅳ上為第1234列的元素

=a11a22a33a44-a11a24a33a42+a12a21a34a43-a12a23a34a41

+a13a24a31a42-a13a22a31a44+a14a23a32a41-a14a21a32a43

+a11a23a34a42-a11a22a34a43+a13a21a32a44-a13a24a32a41

+a14a22a31a43-a14a23a31a42+a12a24a33a41-a12a21a33a44

+a11a24a32a43-a11a23a32a44+a14a21a33a42-a14a22a33a41

+a12a23a31a44-a12a24a31a43+a13a22a34a41-a13a21a34a42，

(b) Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ上為第1342列的元素 (c) ⅠⅡ Ⅲ Ⅳ上為第1423列的元素圖3 四階行列式對(duì)角線法則的圖解法

可按圖3中的三個(gè)圖進(jìn)行記憶.射線Ⅰ上標(biāo)記第一列的元素，在(a),(b),(c)中，射線Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ上依次標(biāo)記第234，342，423列的元素.射線Ⅰ，Ⅲ上逆時(shí)針?lè)较蛉≌?hào)，順時(shí)針?lè)较蛉∝?fù)號(hào)，射線Ⅱ，Ⅳ上順時(shí)針?lè)较蛉≌?hào)，逆時(shí)針?lè)较蛉∝?fù)號(hào).最后，不同射線上不同行標(biāo)元素乘積的代數(shù)和即為四階行列式的展開式.

4 結(jié) 論

行列式的對(duì)角線法則不僅僅適用于二階和三階行列式，四階行列式也可以用對(duì)角線法則來(lái)計(jì)算，具體地可以利用圖解法來(lái)描述，但是它們的規(guī)律各不相同，這些規(guī)律與行列式的定義是一致的，其乘積項(xiàng)中各元素的逆時(shí)針或順時(shí)針?lè)较蚴桥c元素下標(biāo)排列逆序數(shù)的奇偶性相對(duì)應(yīng)的.n階行列式的對(duì)角線法則是值得進(jìn)一步探討的問(wèn)題，這將使得一般的n階行列式的計(jì)算更具有可操作性，有一定的意義.

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)[M].5版. 北京:高等教育出版社,2009.

[2] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].2版. 北京:高等教育出版社,2000.