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    交錯級數(shù)收斂性判別法

    2014-09-17 01:42:30房慶祥劉雪山楊偉能
    大學(xué)數(shù)學(xué) 2014年5期
    關(guān)鍵詞:萊布尼茨收斂性級數(shù)

    房慶祥, 劉雪山, 楊偉能, 張 媛

    (1.中國計量學(xué)院理學(xué)院, 浙江杭州310018; 2.山東省嘉祥縣職業(yè)中專,山東濟(jì)寧272400)

    1 引 言

    對于交錯級數(shù)的審斂準(zhǔn)則,一般高等數(shù)學(xué)教材[1]上僅介紹萊布尼茨判別法. 對于很多交錯級數(shù),應(yīng)用萊布尼茨定理判別散斂性計算繁瑣. 近幾年來,很多學(xué)者對交錯級數(shù)的審斂準(zhǔn)則進(jìn)行了深入研究. 2006年,楊萬必[2]提出關(guān)于判定交錯級數(shù)收斂性的兩個結(jié)論. 2010年,劉志高[3]研究了交錯級數(shù)的對數(shù)判別法. 此外,文獻(xiàn)[4-7]也提出一些新的交錯級數(shù)判別法及應(yīng)用實(shí)例. 這些研究工作對判別交錯級數(shù)的收斂性提供了新的依據(jù). 本文進(jìn)一步研究交錯級數(shù)收斂性判別法,提出三個與正項(xiàng)級數(shù)的比值判別法和根式判別法類似的收斂性判據(jù),并舉例說明它們的應(yīng)用.

    2 交錯級數(shù)收斂性判據(jù)

    定理1對于交錯級數(shù)

    (1)

    如果存在常數(shù)λ,μ,p,l1,l2和數(shù)列{θn},滿足λ>0,0

    (2)

    (i) 當(dāng)λ>1時,級數(shù)(1)絕對收斂;當(dāng)λ<1時,級數(shù)(1)發(fā)散;

    (ii) 當(dāng)λ=1時,若μ>0,則級數(shù)(1)收斂;若μ≤0,則級數(shù)(1)發(fā)散.

    由于

    (3)

    當(dāng)λ=1時,若μ≤0,則由(2)知,

    由于

    (4)

    所以

    由定理1,可得如下推論:

    推論1對于交錯級數(shù)(1),如果存在常數(shù)λ,μ,p滿足λ>0,0

    (5)

    (i) 當(dāng)λ>1時,級數(shù)(1)收斂;當(dāng)λ<1時級數(shù)(1)發(fā)散;

    (ii) 當(dāng)λ=1時,若μ>0,則級數(shù)(1)收斂;若μ≤0,則級數(shù)(1)發(fā)散.

    定理2對于交錯級數(shù)(1),如果存在常數(shù)λ,μ,p,θ,m,λ>0,0m時,有

    (6)

    (i) 當(dāng)λ>1時,級數(shù)(1)發(fā)散;當(dāng)λ<1時,級數(shù)(1)絕對收斂;

    (ii) 當(dāng)λ=1時,若μ≥0,則級數(shù)(1)發(fā)散;若μ<0,則級數(shù)(1)收斂.

    證(i) 當(dāng)λ>1時,由(6)知n充分大時,

    (7)

    (ii)當(dāng)λ=1時,若μ>0,由(6)知

    因此,交錯級數(shù)(1)發(fā)散.

    若μ=0,由(6)知

    因此,交錯級數(shù)(1)發(fā)散.

    若μ<0,令

    (8)

    (9)

    再令

    (10)

    (11)

    (12)

    且當(dāng)x→+∞時,g(x)和h(x)同號. 又因?yàn)?/p>

    (13)

    所以當(dāng)x→+∞時,h(x)<0. 由(12)知f′(x)<0. 因此,當(dāng)n充分大時,{un}單調(diào)遞減.

    由于μ<0,故

    根據(jù)萊布尼茨判別法知交錯級數(shù)(1)收斂.

    由定理2,可得如下推論:

    推論2對于交錯級數(shù)(1),如果存在常數(shù)λ,μ,p,使得0

    (14)

    (i) 當(dāng)λ>1時級數(shù)(1)發(fā)散;當(dāng)λ>1時級數(shù)(1)收斂;

    (ii) 當(dāng)λ=1時,若μ≥0,則級數(shù)(1)發(fā)散;若μ<0,則級數(shù)(1)收斂.

    定理3的證明要用到下面的引理.

    引理1(拉貝對數(shù)判別法)[8]對于正項(xiàng)級數(shù)∑un,若

    (i) 當(dāng)l>1時,級數(shù)∑un收斂;

    (ii) 當(dāng)l<1時,級數(shù)∑un發(fā)散.

    定理3對于交錯級數(shù)(1),如果存在常數(shù)p,l,使得0

    (15)

    (i) 當(dāng)l>0時,級數(shù)(1)收斂. 特別地當(dāng)p=1且l>1時,級數(shù)(1)絕對收斂;當(dāng)p=1且0

    (ii) 當(dāng)l<0時,級數(shù)(1)發(fā)散;

    (iii) 當(dāng)l=0時,級數(shù)(1)有可能收斂,也有可能發(fā)散.

    從而

    于是,對于任意正整數(shù)m>N1,有

    當(dāng)p=1時,由引理1知,若l>1,則級數(shù)(1)絕對收斂;若0

    3 判別法的應(yīng)用

    例1判斷級數(shù)

    的斂散性(p>0).

    因?yàn)?/p>

    [參 考 文 獻(xiàn)]

    [1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析[M]. 北京: 高等教育出版社, 2011.

    [2] 楊萬必. 關(guān)于交錯級數(shù)的審斂準(zhǔn)則的改進(jìn)和推廣[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué),2006, 22(2): 138-141.

    [3] 劉志高. 交錯級數(shù)的對數(shù)判別法[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué),2010,26(2):194-196.

    [4] 劉曉玲, 張艷霞. 交錯級數(shù)收斂性的一個判別法[J]. 高等數(shù)學(xué)研究,2007,10(3): 51-53.

    [5] 林讓起. 交錯級數(shù)收斂性的兩個補(bǔ)充判別法[J]. 紅河學(xué)院學(xué)報,2008,6(2):44-46.

    [6] 蔡敏, 龔水法. 交錯級數(shù)收斂的幾個結(jié)果及其應(yīng)用[J]. 高等數(shù)學(xué)研究,2009,12(3): 29-31.

    [7] 張建軍, 宋業(yè)新. 關(guān)于交錯級數(shù)收斂性判定的討論[J]. 高等數(shù)學(xué)研究,2009,12(3): 38-40.

    [8] 姬小龍,王銳利. 正項(xiàng)級數(shù)的Raabe對數(shù)判別法[J]. 高等數(shù)學(xué)研究,2007 ,10 (3) : 7-9.

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