不同教材中高等數(shù)學(xué)概念的辯析

高 偉

(新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，新疆烏魯木齊830046)

高等數(shù)學(xué)是理工科院校各專業(yè)必修的一門重要的基礎(chǔ)課．通過本課程的學(xué)習(xí)，一方面使學(xué)生掌握高等數(shù)學(xué)的基本概念、基本理論和基本運(yùn)算技能，為后繼課程和進(jìn)一步獲得數(shù)學(xué)知識(shí)提供必不可少的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及常用的數(shù)學(xué)方法．另一方面它能逐步培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力和自學(xué)能力，能綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng)和形成具有重要意義.為了實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo)和提高教學(xué)質(zhì)量，選擇一本好教材也是至關(guān)重要的．目前我校的本科學(xué)生主要用兩種高等數(shù)學(xué)教材：一種是同濟(jì)六版的高等數(shù)學(xué)，另一種是西安交通大學(xué)編的高等數(shù)學(xué)簡(jiǎn)明教程．兩種教材都是普通高等教育‘十一五’國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材都是經(jīng)典的優(yōu)秀教材．但兩種教材中的有一些概念在敘述與定義上有比較大的差異，甚至對(duì)同一題用不同教材的定義會(huì)得到相反的結(jié)論．我們以多元函數(shù)微分學(xué)一章為例比較如下．

1 方向?qū)?shù)定義的比較

同濟(jì)六版：設(shè)l是xOy平面上以P0(x0,y0)為始點(diǎn)的一條射線，el=(cosα,cosβ)是與l同方向的單位向量．射線l的參數(shù)方程為

x=x0+tcosα,y=y0+tcosβ(t≥0).

設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)的某個(gè)鄰域U(p0)內(nèi)有定義，P(x0+tcosα,y0+tcosβ)為l上的另一點(diǎn)，且P∈U(P0).如果函數(shù)增量f(x0+tcosα,y0+tcosβ)-f(x0,y0)與P到P0的距離|P0P|=t的比值

西交大版：設(shè)P0(x0,y0)為xOy平面上的一個(gè)給定點(diǎn)，l為一非零平面向量，el=(cosα,cosβ)是與l同向的單位向量，二元函數(shù)z=f(x,y)定義在P0的某鄰域內(nèi)．若極限

用西交大版教材的定義，得

同濟(jì)版的定義的方向l用一條射線來代表，符合人們的思維習(xí)慣，P點(diǎn)在射線的起點(diǎn)P0的沿著方向的一側(cè)，這就是為什么定義中的極限是t→0+時(shí)的極限的原因，另外一個(gè)原因是在這里t代表的是P到P0的距離，也就是t≥0是單側(cè)極限．

西交大版的定義的方向l用了一條已知方向的有向直線來說明，就像數(shù)軸一樣，這時(shí)的參數(shù)t是一個(gè)有向距離(增量)，可正可負(fù)，是雙側(cè)極限．

同濟(jì)版的用單側(cè)極限的定義，我們認(rèn)為主要原因之一是方向?qū)?shù)這個(gè)概念的提出就是應(yīng)用的需求.例如，熱空氣要向冷的地方流動(dòng)，氣象學(xué)中就要確定大氣溫度，氣壓沿著某些方向的變化率.在電學(xué)中，需要知道電場(chǎng)中各點(diǎn)沿某一方向電位的變化情況．在登山中，確定最佳路線等．人們關(guān)心的是研究對(duì)象沿某一特定方向變化的程度，而不必非得將這個(gè)方向反向沿伸而討論兩側(cè)同時(shí)逼近的情景．

西交大版的用雙側(cè)極限的定義，我們認(rèn)為主要原因之一是方向?qū)?shù)從本質(zhì)上來說是函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處沿l方向的變化率，而偏導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P沿坐標(biāo)軸的變化率問題．這樣，方向?qū)?shù)的概念與偏導(dǎo)數(shù)的概念沒有大的不同．而在偏導(dǎo)數(shù)定義時(shí)，所使用的極限都是雙側(cè)的極限．既然本質(zhì)都是變化率，那么用雙側(cè)的極限來刻畫方向?qū)?shù)也是可行的．事實(shí)上，西交大版定義就是這樣做的．這樣有一個(gè)明顯好處就是把方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)的概念同一起來了．偏導(dǎo)數(shù)成為方向?qū)?shù)的特例，方向?qū)?shù)是偏導(dǎo)數(shù)的推廣．

2 極限定義的比較

西交大版: 設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)的定義在點(diǎn)P(x0,y0)∈2的某一去心鄰域中，A∈為一確定的常數(shù)．若?ε>0，?δ>0，使得當(dāng)0<ρ(P,P0)<δ即時(shí)，恒有不等式|f(x,y)-A|<ε成立，則稱當(dāng)(x,y)→(x0,y0)時(shí)f(x,y)有極限，常數(shù)A稱為當(dāng)(x,y)→(x0,y0)的二重極限，記作

解函數(shù)的定義域?yàn)镈={(x,y)|x≠0,y≠0}按同濟(jì)六版的定義(0，0)是函數(shù)的聚點(diǎn)，則

按西交大版的定義函數(shù)在(0,0)點(diǎn)沒有極限．

因?yàn)樵?0,0)的任何去心鄰域內(nèi)都包含x=0與y=0的點(diǎn)．所以不能保證函數(shù)在(0,0)點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)每一點(diǎn)都有定義．

3 極值定義的比較

同濟(jì)六版：設(shè)函數(shù)z=f(x,y)的定義域?yàn)镈，P0(x0,y0)是D的內(nèi)點(diǎn).若存在P0的某個(gè)鄰域U(P0)?D，使得對(duì)于該鄰域內(nèi)異于P0的任何點(diǎn)(x,y)，都有f(x,y)f(x0,y0)，則稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)有極小值f(x0,y0)，點(diǎn)(x0,y0)稱為函數(shù)f(x,y)的極小值點(diǎn).極大值，極小值統(tǒng)稱為極值．

西交大版： 設(shè)二元函數(shù)f(x,y)的定義域?yàn)镈?2內(nèi)，P0(x0,y0)是D的內(nèi)點(diǎn)若?δ>0，使當(dāng)(x,y)∈U(P0,δ)時(shí)，恒有f(x,y)≤f(x0,y0)(f(x,y)≥f(x0,y0)).則稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)有極大(小)值f(x0,y0).點(diǎn)P0(x0,y0)稱為函數(shù)f(x,y)的極大(小)值點(diǎn).極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.

圖1

比較兩個(gè)定義會(huì)發(fā)現(xiàn)，不同點(diǎn)在于極值討論的范圍的差別.在西安交大版高等數(shù)學(xué)是點(diǎn)P0(x0,y0)的某鄰域U(P0,δ)同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)是點(diǎn)P0(x0,y0)的某去心鄰域.很顯然同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)對(duì)于點(diǎn)P0(x0,y0)只要求有定義，而在附近點(diǎn)與它的關(guān)系滿足嚴(yán)格的不等式即可.這樣定義方式無疑是簡(jiǎn)潔與清晰的而且?guī)缀我饬x比較明顯(局部的峰值是極大值，局部的谷值是極小值).西安交大版高等數(shù)學(xué)討論的范圍擴(kuò)大，加上P0(x0,y0)點(diǎn)，由于多了一點(diǎn)，那么條件自然就變成f(x,y)≤f(x0,y0)這樣定義比較直接，也符合人們的一般習(xí)慣.但它們的差別是明顯的.例如帳篷函數(shù)(如圖1)

在(0,0)處．按西安交大版高等數(shù)學(xué)極值的定義函數(shù)在(0,0)取極大值1.按同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)極值的定義函數(shù)在(0,0)不取極值．這樣同一個(gè)概念由于定義不同導(dǎo)致了有些函數(shù)在某些點(diǎn)處的極值情況有可能不同.當(dāng)然，仔細(xì)比較這兩個(gè)定義會(huì)發(fā)現(xiàn)同濟(jì)六版定義的極值是西安交大版定義中的一部分.即用同濟(jì)六版極值定義驗(yàn)證過的極值一定是西安交大版極值定義的極值，反之不一定.可以把同濟(jì)六版極值定義看成是狹義的，把西安交大版極值定義看成是廣義的．

4 結(jié) 論

通過對(duì)上面的不同教材中的概念的比較與分析，得到

(i) 教材是教師組織課堂教學(xué)開展教學(xué)活動(dòng)的主要依據(jù)，是教師和學(xué)生實(shí)踐教學(xué)活動(dòng)的主要工具.因此不管用哪種優(yōu)秀教材，教師都要全面，系統(tǒng)地閱讀教材，理解教材.準(zhǔn)確把握教材中的概念，領(lǐng)會(huì)教材編寫的意圖.傳授給學(xué)生，才能收到良好的教學(xué)效果.

(ii) 比較兩個(gè)定義，會(huì)發(fā)現(xiàn)盡管敘述不盡相同，符號(hào)含義有所差別，這并不是說哪個(gè)教材的定義就好，就高明，就正確.而是兩個(gè)教材側(cè)重重點(diǎn)不同的具體反映

(iii) 在教學(xué)中，講透教材的概念后，如果時(shí)間允許，可引出其他教材對(duì)這個(gè)概念的敘述，讓學(xué)生比較細(xì)節(jié)處的不同舉例說明兩種定義的差別，在分析個(gè)自的優(yōu)缺點(diǎn).指出不同的定義只是側(cè)重點(diǎn)的不同，并不是不正確的表述，這樣，就使學(xué)生對(duì)于這個(gè)概念的掌握更透徹更全方位.

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(下冊(cè)).[M].6版.北京:高等教育出版社，2007.

[2] 王綿森，馬知恩．高等數(shù)學(xué)簡(jiǎn)明教程(下冊(cè)).[M].北京:高等教育出版社，2010.