淺談“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想方法

朱袁圓

摘要：在數(shù)學(xué)中，“數(shù)形結(jié)合”是一種重要思想。在高中數(shù)學(xué)中，“數(shù)形結(jié)合”也占有極其重要的地位。尤其在數(shù)學(xué)例題教學(xué)中，“數(shù)形結(jié)合”也有重要的意義。本文從“數(shù)形結(jié)合”在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行相關(guān)試題的解析，體現(xiàn)這種數(shù)學(xué)思想方法的巧妙之處。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；思想方法；解題技巧

中圖分類號：G632.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）33-0078-03

一、引言

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說過：“數(shù)與形本是相倚依，怎能分作兩邊飛，數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系，切莫分離！”所謂“數(shù)形結(jié)合”就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想方法。

教師在講解練習(xí)時(shí)，強(qiáng)化“數(shù)形結(jié)合”是一種常用的有效的方法，美中不足的是，在教師提示之前，學(xué)生不能想到“數(shù)形結(jié)合”的解法，如果這樣，光靠教師的提示完成，在碰到可以用“數(shù)形結(jié)合”巧解的題目時(shí)，學(xué)生不能想到要用“數(shù)形結(jié)合”來解。新課改的核心理念是為了每一位學(xué)生的發(fā)展。作為一個(gè)高中數(shù)學(xué)教師，從高一開始就要講“數(shù)形結(jié)合”的方法。在平時(shí)上課時(shí)，我們要鋪設(shè)一些細(xì)節(jié)，有目的地使學(xué)生深入了解“數(shù)形結(jié)合”。最后，只要是教師提示用“數(shù)形結(jié)合”的解法，學(xué)生就會自己想到用數(shù)形結(jié)合來解題。

二、“數(shù)形結(jié)合”的思想方法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

（一）用幾何圖形解決代數(shù)與三角問題

例1：已知x、y、z、r均為正數(shù)，且x2+y2=z2，z·■=x2

求證：rz=xy

解：我們由x2+y2=z2，聯(lián)想到勾股定理。再由z·■=x2可以聯(lián)想到射影定理，最后做出符合條件的圖形。然后對照圖形，由直角三角形面積的兩種算法，得出結(jié)論的正確性。

（二）用代數(shù)與三角方法解決幾何問題

例2：如圖，在△ABC中，AB>AC，CF、BE分別是AB、AC邊上的高。試證：AB+CF≥AC+BE

證明：根據(jù)AB>AC>CF，AB>BE，

及S△ABC=■AB·CF=■AC·BE

∴■=■變形得：■=■.

∴AB-BE>AC-CF

∴AB+CF>AC+BE

當(dāng)∠A=90°時(shí)，AB+CF=AC+BE

綜上可得：AB+CF≥AC+BE

我們知道，此證明方法采用了三角法與代數(shù)法，與純幾何證法來比較，這是很容易想到的。

（三）解決函數(shù)問題

1.解決一次函數(shù)問題。

例3：已知|a|<1，|b|<1，|c|<1，求證：（1）abc+2>a+b+c；（2）ab+bc+ca>-1.

解：我們首先把a(bǔ)看成變元，b、c看成常數(shù)，來構(gòu)造一次函數(shù)f（x）=（bc-1）x-b-c+2。

而f（-1）=-（bc-1）-b-c+2=4-（b+1）（c+1）

∵|b|<1，|c|<1∴00

又f（1）=bc-1-b-c+2=（b-1）（c-1）>0

∴f（x）在[-1，1]上恒大于0

又∵|a|<1，∴f（a）>0，即（bc-1）a-b-c+2>0

∴abc+2>a+b+c

（2）令g（x）=（b+c）x+bc+1，同理可得g（-1）>0，g（1）>0

從而g（x）在[-1，1]上恒大于0，∵|a|<1∴g（a）>0，即（b+c）a+bc+1>0.

即ab+bc+ca>-1

2.解決二次函數(shù)問題。

例4：已知關(guān)于x的方程x2-4|x|+5=m有四個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為什么？

解：設(shè)y1=x2-4|x|+5，y2=m.又y1為偶函數(shù)，由圖可知1

（四）用“數(shù)形結(jié)合”的思想方法解題的應(yīng)用技巧

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，“數(shù)形結(jié)合”是重要的思想方法，尤其在每年高考中，考題采用此法解決的較多，達(dá)到了事半功倍的效果。

在高考試題中，對于以下題型，應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”的思想來分析、化簡運(yùn)算及推理，能夠快速、準(zhǔn)確地分析問題和解決問題。即：

（1）求■ 距離函數(shù)

（2）a2±ab+b2 余弦定理

（3）求■ 斜率函數(shù)

（4）■ 雙曲線

（5）求Ax+By 截距函數(shù)

解決函數(shù)問題分析：

例1：函數(shù)y=-xcosx的部分圖像是（ ）。

解：這是一道以數(shù)解形的題，其中y=-xcosx為奇函數(shù)，可排除A、C，取x=0.1，y=-0.1cos0.1<0，圖像在x軸下方，排除B.故選D.

三、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的“數(shù)形結(jié)合”

“數(shù)形結(jié)合”是數(shù)學(xué)發(fā)展的動力，由于“數(shù)”產(chǎn)生于各種“形”的計(jì)算，“數(shù)”又借助于“形”得以記錄、使用、計(jì)算，所以解決“形”的問題就可使用“數(shù)”作為工具，這樣“數(shù)”的關(guān)系可以用“形”來證明。通過比較、度量“形”的相互關(guān)系，“數(shù)”的概念促進(jìn)了發(fā)展，計(jì)算方法也豐富了。

“數(shù)形結(jié)合”已成為一條重要的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)原則。例如，我們在介紹函數(shù)概念時(shí)，用集合、文氏圖表示集合的關(guān)系，用數(shù)軸的全體或部分來表示定義域、值域，也是幾何形象。在介紹三角函數(shù)、復(fù)數(shù)、微積分與立體幾何等內(nèi)容時(shí)，我們可以利用數(shù)形結(jié)合，更快、更好地解決問題。

1.“數(shù)形結(jié)合”在解題中的運(yùn)用。

例1：如果實(shí)數(shù)x、y滿足等式（x-2）2+y2=3，那么■的最大值是什么？

解：設(shè)點(diǎn)A（x，y）在圓（x-2）2+y2=3上，半徑等于■，圓心為C（2，0）。如圖，則點(diǎn)A與原點(diǎn)連線的斜率是■。當(dāng)OA與⊙C相切，且切點(diǎn)A落在第一象限時(shí)，kOA有最大值，即■有最大值。根據(jù)CA=■，OC=2，則OA=■=1，所以（■）max=tan∠AOC=■。

2.“數(shù)形結(jié)合”在多媒體技術(shù)中的應(yīng)用。數(shù)學(xué)的實(shí)驗(yàn)手段豐富是通過多媒體技術(shù)使用的。計(jì)算機(jī)能為抽象思維提供直觀模型，使靜態(tài)結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)關(guān)系表現(xiàn)為時(shí)空中的動態(tài)過程。通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，學(xué)生加深對數(shù)學(xué)概念的理解，通過相應(yīng)的技術(shù)手段，為數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)提供了好的工具和途徑。這樣，學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)就能探索數(shù)學(xué)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)命題，提高創(chuàng)新能力。

總之，教師要使學(xué)生領(lǐng)會到“數(shù)形結(jié)合”方法的形象、直觀的優(yōu)點(diǎn)，并逐步學(xué)會用“數(shù)形結(jié)合”的觀點(diǎn)去分析問題和解決問題，達(dá)到事半功倍的效果。

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