直角建構(gòu) 線段求值

薛鈞東

【內(nèi)容摘要】直角（垂直）為條件的線段求值問題經(jīng)常在中考試題特別是壓軸題中出現(xiàn)。該文結(jié)合初中數(shù)學(xué)新課程教學(xué)實(shí)踐，以近幾年中考中出現(xiàn)的相關(guān)試題為例，說明直角條件與勾股定理、相似三角形、三角形三邊關(guān)系內(nèi)在聯(lián)系的意義建構(gòu)，以說明線段求值問題的解題思路和方法。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué) 平面幾何 直角建構(gòu) 線段求值

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在教學(xué)建議中明確提出：“數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，應(yīng)注重學(xué)生對所學(xué)知識的理解，體會數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)?！雹俳處熢谌粘＝虒W(xué)中，不但應(yīng)有效揭示數(shù)學(xué)知識的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)及其體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，還應(yīng)幫助學(xué)生理清相關(guān)知識之間的區(qū)別和聯(lián)系。直角（垂直）是初中幾何的重要內(nèi)容之一，因?yàn)橐灾苯菫檩d體的試題可考查學(xué)生的多種能力，所以成為各地中考試題的熱點(diǎn)之一，又因其具有很強(qiáng)的綜合性，所以能增強(qiáng)中考試題的區(qū)分度。如，以直角（垂直）為條件的線段求值問題學(xué)生往往不知所措，不知直角與線段用什么知識聯(lián)系起來，從而形成解題思維中斷，導(dǎo)致解題思維障礙②。要幫助學(xué)生有效疏通障礙，就要讓學(xué)生學(xué)會意義建構(gòu)。所謂意義建構(gòu)就是要指導(dǎo)學(xué)生對當(dāng)前學(xué)習(xí)內(nèi)容所反映的事物的性質(zhì)、規(guī)律及該事物與其他事物間的內(nèi)在聯(lián)系達(dá)到深刻的理解，獲得舉一反三、融會貫通的教學(xué)效果。下面結(jié)合初中數(shù)學(xué)新課程教學(xué)實(shí)踐，以近幾年中考中出現(xiàn)的相關(guān)試題為例，說明直角條件與勾股定理、相似三角形、三角形三邊關(guān)系內(nèi)在聯(lián)系的意義建構(gòu)。

一、直角條件與勾股定理內(nèi)在聯(lián)系的意義建構(gòu)

案例1：如圖1，點(diǎn)O為矩形ABCD 的對稱中心，AB=10cm，BC=12cm，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別從A，B，C三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿矩形的邊按逆時(shí)針方向勻速運(yùn)動，點(diǎn)E的運(yùn)動速度為1cm/s，點(diǎn)F的運(yùn)動速度為3cm/s。當(dāng)點(diǎn)F到達(dá)點(diǎn)C（即點(diǎn)F與點(diǎn)C重合）時(shí)，兩個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動。在運(yùn)動過程中，△EBF關(guān)于直線EF的對稱圖形是△EB'F，設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)運(yùn)動的時(shí)間為t（單位：s）。是否存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)B'與點(diǎn)O重合？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由。

圖1

分析：假設(shè)存在實(shí)數(shù)t能使點(diǎn)B' 與O重合。由對稱性可得△EBF≌△EOF，即OF=BF、OE=BE。但等線代換圖上沒有直接我們所需要的Rt△，此時(shí)可通過對稱得到相等線段的一個(gè)端點(diǎn)（不是公共點(diǎn)）作另一線段的垂線段來構(gòu)建我們所需的Rt△。即過點(diǎn)O作OM⊥BC于點(diǎn)M，則在Rt△OFM中，OF=BF=3t，F(xiàn)M= BC-BF =6-3t，OM=5，由勾股定理得：OM2+ FM2=OF2，即52+（6-3t）2=（3t）2，解得t= 。同理：過點(diǎn)O作ON⊥AB 于點(diǎn)N，則在Rt△OEN中，OE=BE= 10-t，EN=BE-BN=10-t-5=5-t，ON=6，由勾股定理得：ON2+EN2= OE2，即62+（5-t）2=（10-t）2，解得t=3.9?！?≠3.9，∴實(shí)數(shù)t不存在。

反思：關(guān)于直角三角形、矩形一次折疊問題在近幾年的中考中頻頻出現(xiàn)，這類問題能考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、空間想象和綜合解題能力。快速正確解決這類問題的關(guān)鍵就是根據(jù)已知條件，通過直角（垂直）來建構(gòu)合適的Rt△，并運(yùn)用勾股定理建立只含一個(gè)字母的等式。案例1解決的關(guān)鍵是通過折疊得到的有公共端點(diǎn)相等線段的一個(gè)端點(diǎn)（不是公共點(diǎn)）作另一線段的垂線段來構(gòu)建我們所需的Rt△，其特征是一邊通過等線代換后能與另一邊構(gòu)成一條新的線段，再利用勾股定理構(gòu)建方程來解決。

二、直角條件與相似三角形內(nèi)在聯(lián)系的意義建構(gòu)

如圖2，點(diǎn)B、C、D在一條直線上，AB⊥BC，ED⊥CD，∠ACE =90°.可得△ABC∽△CDE（證明略）。這是常見的相似圖形，因其形似大寫的“K”，故稱為“K型圖”，當(dāng)出現(xiàn)直角（垂直）條件且與折疊無關(guān)時(shí)，可通過構(gòu)建K型圖得到相似三角形，再利用相似三角形對應(yīng)邊成比例這一性質(zhì)就可快速求出線段的長。

圖2

案例2：如圖3，已知直線l：y=-x +2與y軸交于點(diǎn)A，拋物線y=（x-1）2 +k經(jīng)過點(diǎn)A，其頂點(diǎn)為B，另一拋物線y=（x-h）2+2-h（h>1）的頂點(diǎn)為D，兩拋物線相交于點(diǎn)C。

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)，并說明點(diǎn)D在直線l上的理由；

（2）設(shè)交點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m①交點(diǎn)C的縱坐標(biāo)可以表示為：_____或_____，由此請進(jìn)一步探究m關(guān)于h的函數(shù)關(guān)系式；②如圖4，若∠ACD =90°，求m的值。

圖3 圖4

分析：（1）易得B（1，1），易證點(diǎn)D（h，2-h）在直線l上；

（2）①易知點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為（m -1）2+1或（m-h）2-h+2，可得（m-1）2+1=（m-h）2-h+2，即m= 。

②由于∠ACD=90°，通過直角頂點(diǎn)和兩邊端點(diǎn)作水平線和豎直線構(gòu)建K型圖，即過點(diǎn)C作y軸的垂線，垂足為E，過點(diǎn)D作DF⊥CE于點(diǎn)F，可得△ACE∽△CDF，推出AE：EC=CF：DF，又∵C（m，m2-2m+2），D（2m，2-2m），∴AE=m2-2m，DF=m2，CE= CF=m，可求出m= 。

反思：相似三角形是初中數(shù)學(xué)的重要組成部分，是初中幾何中計(jì)算線段的主要方法之一，由于它綜合其他知識點(diǎn)的能力很強(qiáng)，因此在歷年的中考中已越來越突顯了它的重要地位。具有直角（垂直）條件但不具有折疊特征的線段求值問題?？赏ㄟ^構(gòu)建K型圖得到相似三角形，再通過對應(yīng)線段成比例來構(gòu)建方程求解。若K型圖直接在題目中呈現(xiàn)給我們，通過K型圖很容易求出答案，但案例2并沒直接給出K型圖，一般可通過直角頂點(diǎn)的水平線或豎直線（直角兩邊在同側(cè)）與過直角兩邊端點(diǎn)的豎直線或水平線構(gòu)建K型圖再進(jìn)一步求解。

三、直角條件與三角形三邊關(guān)系內(nèi)在聯(lián)系的意義建構(gòu)

案例3：如圖5，△ABC中，∠C= 90°，AC=4，BC=2，頂點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸的正半軸上滑動，則點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離是______。

分析：此類問題的難點(diǎn)是不知從何下手，其關(guān)鍵在于抓住運(yùn)動中不變的量。本題中定值A(chǔ)C恰為Rt△的斜邊，則其中線也必為定值。因此，利用AC中點(diǎn)來構(gòu)建適當(dāng)?shù)娜切?，為本題提供了解題思路。故取AC中點(diǎn)D，連結(jié)OD、BD，計(jì)算得OD=2、BD= ，當(dāng)OD+BD=OB時(shí)（即B、D、O在一條直線上），就可求得點(diǎn)B到原點(diǎn)O的最大距離是 。

圖5

反思：三角形的三邊關(guān)系是初中幾何中主要的不等關(guān)系之一，求線段的最值問題也經(jīng)常涉及到。解決該類問題的核心是構(gòu)建恰當(dāng)?shù)娜切?，其關(guān)鍵在于要抓住動點(diǎn)問題條件中提供的及其衍生得到的不變量。案例3這類斜邊為定值的問題經(jīng)常取斜邊中點(diǎn)來建構(gòu)三角形，其特征為兩條邊為定值，再利用兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊求最值。

總之，解決直角載體有關(guān)的線段求值問題，關(guān)鍵在于根據(jù)題設(shè)特征，建構(gòu)與相關(guān)知識點(diǎn)的內(nèi)在聯(lián)系，并快速找到解題思路，掃清思維障礙，節(jié)約解題時(shí)間。在解題教學(xué)中，教師應(yīng)教會學(xué)生運(yùn)用替代、轉(zhuǎn)換、推理、演繹、建模等數(shù)學(xué)基本思想進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，獲得進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)，達(dá)到教是為了不教的目的。

【注釋】

① 教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[S]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

② 吳億峰. 智商、情商和潛智能開發(fā)[M]. 廣東：廣東高等教育出版社，2000：76.

（作者單位：江蘇省蘇州市第一中學(xué)分校）