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    高層隔震結(jié)構(gòu)實空間解耦及地震作用取值分析

    2014-09-07 10:05:18李創(chuàng)第陳歐陽葛新廣鄒萬杰薛建朝
    振動與沖擊 2014年15期
    關(guān)鍵詞:振子非對稱高層

    李創(chuàng)第, 陳歐陽, 葛新廣 , 李 暾, 鄒萬杰, 薛建朝

    (1. 廣西科技大學(xué) 土建學(xué)院,廣西 柳州 545006;2. 廣西大學(xué) 土建學(xué)院,南寧 530004)

    地震作用取值是抗震設(shè)計的基礎(chǔ),我國抗震規(guī)范采用反應(yīng)譜法計算地震作用。近年來,隔震技術(shù)已應(yīng)用于高層結(jié)構(gòu)[1~3]。由于高層隔震結(jié)構(gòu)具有非經(jīng)典高阻尼,且需要考慮多振型影響,其工程分析體系具有非對稱質(zhì)量和非經(jīng)典阻尼性質(zhì)[1],無法通過經(jīng)典實模態(tài)法解耦。盡管多高層隔震結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析有精確的復(fù)數(shù)域和近似的實數(shù)域兩類分析法,現(xiàn)有的多高層隔震結(jié)構(gòu)地震作用分析法主要基于三種近似實數(shù)域響應(yīng)分解法,即:① 強行振型解耦法[3-5];② 等效阻尼比解耦法[2];③ 拉氏變換與實振型分解組合法[6-8]。

    基于強行解耦的分析法是目前廣泛采用的方法[3-5],其實質(zhì)是完全忽略非經(jīng)典阻尼矩陣的耦聯(lián),對結(jié)構(gòu)強行解耦后,按經(jīng)典結(jié)構(gòu)近似組合計算;基于等效阻尼比解耦的分析法是忽略振型間的交叉阻尼,運用Hamilton原理,獲得振型近似等效阻尼比,實現(xiàn)結(jié)構(gòu)解耦后,按經(jīng)典結(jié)構(gòu)計算[2];基于拉氏變換與實振型組合的地震作用取值分析,其實質(zhì)是先將隔震結(jié)構(gòu)兩位移響應(yīng)分量近似分解為系列標(biāo)準(zhǔn)振子的位移與擬速度的線性組合,然后基于3個假設(shè)計算地震作用[6, 7],即:① SRSS組合,不考慮各種相關(guān)性;② 位移譜、速度譜、擬速度譜在小阻尼成立的相互關(guān)系適用于高阻尼;③ 速度譜在長周期段基本為常數(shù)的性質(zhì)適用于短周期段。事實上,上述3個假設(shè)均不嚴(yán)格成立,特別是假設(shè)②,在高阻尼時誤差相當(dāng)大[9],同時擬速度響應(yīng)也不是物理意義明確的真實響應(yīng),將使結(jié)構(gòu)組合分析復(fù)雜化。

    最近的研究表明:用于判斷各種實數(shù)域近似法精度與適用范圍的各種定量指標(biāo)[10-11]并不具有一般性,非經(jīng)典阻尼矩陣耦聯(lián)指標(biāo)小并不一定能保證近似解耦的誤差小[12-13];同時,為提高結(jié)構(gòu)近似組合計算精度,基于白噪聲激勵的結(jié)構(gòu)近似相關(guān)組合系數(shù)應(yīng)修正為基于與反應(yīng)譜對應(yīng)的功率譜的改進近似相關(guān)組合系數(shù)[14]。因此,上述現(xiàn)有的多高層隔震結(jié)構(gòu)地震作用分析法均建立在近似響應(yīng)與近似組合分析之上,且近似響應(yīng)分析并不一定能保證計算精度,需建立高層隔震結(jié)構(gòu)基于精確響應(yīng)與精確組合分析之上的地震作用分析法。

    本文首先建立非對稱非經(jīng)典結(jié)構(gòu)響應(yīng)的實空間精確解耦法,將高層隔震結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)方差在實空間上精確分解為系列標(biāo)準(zhǔn)振子的位移與速度響應(yīng)方差的線性組合,然后利用系列標(biāo)準(zhǔn)振子最大響應(yīng)與反應(yīng)譜的對應(yīng)關(guān)系,建立高層隔震結(jié)構(gòu)基于精確響應(yīng)與精確組合分析之上基于反應(yīng)譜的地震作用取值解析解法。

    1 高層隔震結(jié)構(gòu)響應(yīng)實空間精確解耦

    圖1 結(jié)構(gòu)計算簡圖

    (1a)

    (1b)

    將位移向量x0按高層結(jié)構(gòu)多振型展開,即:

    (N≤n)

    (2)

    并設(shè)Mi、ξ0i、ω0i、ri,(i=1~N),分別為振型Φi對應(yīng)的廣義質(zhì)量、阻尼比、圓頻率和振型參與系數(shù),則方程(1)可化為:

    (3)

    式中:

    (4a)

    c=diag[2ξ01ω01… 2ξ0Nω0N2ξbωb]

    (4a)

    (4b)

    x=[x1…xm]T=[x1…xNxb]T

    (4c)

    r=[r1…rm]T=[r1…rN1]T

    (4d)

    (4e)

    (4f)

    式(3)是非對稱質(zhì)量與非經(jīng)典阻尼方程,實模態(tài)法無法解耦,但可用實空間法解耦。

    方程(3)的2m=2N+2個復(fù)特征根λj及其對應(yīng)的右、左復(fù)特征向量uj、vj可由下列方程確定[15]:

    det[D(λ)]=det[mλ2+cλ+k]=0

    (5a)

    D(λj)uj=0;D(λj)Tvj=0

    (j=1~2m)

    (5b)

    u=[u1u2…um]

    (6a)

    v=[v1v2…vm]

    (6b)

    λ=diag[λj],(j=1~m)

    (6c)

    (6d)

    則根據(jù)復(fù)模態(tài)法理論[15],方程(3)可解耦為:

    (7)

    式中:

    (8)

    令:

    (9)

    則有:

    (10)

    式中:I為m階單位陣,p1(t)、p2(t)均為m維待求向量。將式(10)代入式(7),前乘w,并利用:

    (11)

    經(jīng)化簡,可得:

    (12a)

    (12b)

    式中:

    (j=1~m)

    (13a)

    (13b)

    (13c)

    (13d)

    Re表示取復(fù)數(shù)的實部。

    對方程(12)取拉氏變換,可得:

    (14a)

    (14b)

    α=Tr=[α1…αm]T

    (15a)

    β=Rr=[β1…βm]T

    (15b)

    δ(t)=[δ1(t) …δm(t)]T

    (16a)

    (j=1~m)

    (16b)

    則由式(14) ~ (16)及拉氏變換,可得:

    (17a)

    (17b)

    故由式(6d)、式(10)、式(17),得結(jié)構(gòu)響應(yīng)為:

    (18a)

    (18b)

    式中:

    (19a)

    B2=[B2kj]=A0diag[βj]+B0diag[αj-2ξjωjβj]

    (19b)

    (19c)

    G2=D0diag[βj]+G0diag[αj-2ξjωjβj]

    (19d)

    (20a)

    (20b)

    (20c)

    (20d)

    由于矩陣A2、B2、D2、G2均為實矩陣,顯然式(18)和式(16)構(gòu)成了非對稱非經(jīng)典結(jié)構(gòu)響應(yīng)的實空間精確解耦,將結(jié)構(gòu)位移與速度響應(yīng)在實空間上精確表示為物理上可實現(xiàn)的真實系列標(biāo)準(zhǔn)振子的位移與速度響應(yīng)的線性組合。

    2 高層隔震結(jié)構(gòu)響應(yīng)方差標(biāo)準(zhǔn)振子精確分解

    由式(18b),廣義位移響應(yīng)x(t)的各分量為:

    (k=1~N+1)

    (21)

    故由式(2),高層結(jié)構(gòu)與隔震層的各層層間相對位移si(t)為:

    si(t)=x0,i-x0,i-1=

    (i=1~n)

    (22a)

    sn+1(t)=xb(t)=xN+1(t)=

    (22b)

    式中:Φi,k和Φi-1,k分別為振型Φk的第i及第(i-1)個分量;

    (23a)

    (23b)

    φn+1,j=A2(N+1)j;ψn+1,j=B2(N+1)j

    (23c)

    故由式(22)和標(biāo)準(zhǔn)振子方程(16b)以及隨機振動頻域法,得隔震結(jié)構(gòu)各層間位移分量的平穩(wěn)響應(yīng)方差為:

    (i=1~n+1)

    (24)

    aijk=φijφikbijk=ψijψik

    (25a)

    cijk=φijψikdijk=ψijφik

    (25b)

    (26a)

    (26b)

    (26c)

    經(jīng)簡化得:

    (27)

    式中:

    N(ω)=N0+N2ω2+N4ω4+N6ω6

    (28)

    (29)

    顯然,式(29)中aijk、bijk、(dijk-cijk),(j≠k)分別表示標(biāo)準(zhǔn)振子的位移、速度和位移與速度各自之間的互相關(guān)影響。

    由于N(ω)是ω的6次多項式,故可進行恒等變換:

    (30)

    式中:Jijk、Lijk、Qijk、Wijk為待求常數(shù)。由于:

    (31a)

    (31b)

    將式(31)代入式(30),并比較方程(30)兩邊關(guān)于ω0、ω2、ω4、ω6的系數(shù),得:

    (32)

    式中:

    (33)

    求解四元一次方程組(32),即求得常數(shù)Jijk、Lijk、Qijk、Wijk,其具體表達式已列入文獻[16]。

    故由式(26)、(27)、(30),得隔震結(jié)構(gòu)各層間位移分量響應(yīng)方差精確分解為系列標(biāo)準(zhǔn)振子位移與速度響應(yīng)方差線性組合的解析式為:

    (i=1~n+1)

    (34)

    式中:I1j、I2j分別是標(biāo)準(zhǔn)振子(16b)的位移與速度響應(yīng)方差,即:

    (j=1~N+1)

    (35a)

    (j=1~N+1)

    (35b)

    由于相關(guān)組合系數(shù)Jijk、Lijk、Qijk、Wijk是通過恒等變換解析獲得,是結(jié)構(gòu)相關(guān)組合系數(shù)取值的解析解,不產(chǎn)生任何誤差,均比現(xiàn)有基于方程(16b)與白噪聲激勵假設(shè)或反應(yīng)譜對應(yīng)的功率譜激勵假設(shè)[14]所獲得的近似相關(guān)組合系數(shù)更精確合理。

    3 基于反應(yīng)譜的結(jié)構(gòu)設(shè)計響應(yīng)

    3.1 結(jié)構(gòu)設(shè)計響應(yīng)計算式

    由于設(shè)計響應(yīng)值simax(t)(i=1~n+1)是響應(yīng)的最大值,故它可取為峰值因子Cf與響應(yīng)si(t)的標(biāo)準(zhǔn)差的乘積,即:

    (36)

    式中:R1j和R2j分別是標(biāo)準(zhǔn)振子δj(t)的最大地震位移與速度響應(yīng)的平方,即:

    (37a)

    (37b)

    其中:j=1~N+1。故結(jié)構(gòu)設(shè)計響應(yīng)simax(t)的計算,歸結(jié)于R1j和R2j的(j=1~N+1)計算。

    3.2 系列標(biāo)準(zhǔn)振子的R1j(ωj, ξj)和R2j(ωj, ξj)計算

    R1j(ωj,ξj)和R2j(ωj,ξj)是下列二階標(biāo)準(zhǔn)振子的位移譜Sd(ωj,ξj)和速度譜Sv(ωj,ξj)的平方,即:

    (38)

    (39a)

    (39b)

    其中:j=1~N+1。由于文獻[17]已經(jīng)建立了由抗震規(guī)范加速度譜計算位移譜和速度譜的方法,故R1j(ωj,ξj)和R2j(ωj,ξj)可由規(guī)范直接計算,即:

    (40a)

    (40b)

    式中:α(ωj,ξ=5%)為規(guī)范加速度譜中周期Tj=2π/ωj、阻尼比ξ=5%所對應(yīng)的地震響應(yīng)系數(shù);Bd和Bv分別是位移譜和速度譜的阻尼影響因子,即:

    (41)

    文獻[18]已給出各種ωj、ξj所對應(yīng)的Bd和Bv取值。

    總之,求出R1j(ωj,ξj)和R2j(ωj,ξj),(j=1~N+1)之后,由式(36)即得結(jié)構(gòu)基于規(guī)范反應(yīng)譜的最大地震極值響應(yīng)simax(t) ,(i=1~n+1)。

    4 高層隔震結(jié)構(gòu)地震作用取值

    4.1 地震作用新定義

    對于常規(guī)結(jié)構(gòu),我國抗震規(guī)范將地震作用定義為結(jié)構(gòu)在地震響應(yīng)過程中產(chǎn)生的最大慣性力,其依據(jù)是在小阻尼假設(shè)情況下,加速度譜與位移譜存在對應(yīng)比例關(guān)系,將此地震作用作為等效靜態(tài)荷載作用于結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生的等效靜態(tài)位移和剪力等于結(jié)構(gòu)在地震響應(yīng)過程中所產(chǎn)生的位移和剪力響應(yīng)的最大值[19]。由于隔震結(jié)構(gòu)具有長周期和高阻尼性能,不滿足規(guī)范關(guān)于地震作用定義的小阻尼適用條件,即不能保證上述靜態(tài)地震作用產(chǎn)生的靜態(tài)效應(yīng)等于實際地震動態(tài)效應(yīng)的最大值,因此有必要重新定義隔震結(jié)構(gòu)的地震作用。

    由于結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計的安全取決于地震激勵在結(jié)構(gòu)內(nèi)產(chǎn)生的最大地震位移響應(yīng)和內(nèi)力響應(yīng)(剪力、彎矩、軸力等)小于相應(yīng)設(shè)計允許限值,而相應(yīng)的抗震設(shè)計允許限值是基于材料的標(biāo)準(zhǔn)靜力試驗而得[20],因此,等效靜態(tài)地震作用包含速度相關(guān)的阻尼力是不合適的,又因為最大地震內(nèi)力效應(yīng)與結(jié)構(gòu)最大地震位移響應(yīng)存在靜力學(xué)對應(yīng)關(guān)系,故結(jié)構(gòu)實際地震響應(yīng)產(chǎn)生的最大動態(tài)效應(yīng)和結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計的安全完全取決于結(jié)構(gòu)的最大地震位移響應(yīng)。相對于結(jié)構(gòu)的加速度或絕對加速度響應(yīng)而言,結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)更具有本質(zhì)特性,因為每一時刻的結(jié)構(gòu)內(nèi)力響應(yīng)與同時刻的位移響應(yīng)是線性相關(guān)的,每一時刻的內(nèi)力響應(yīng)均可從同一時刻的位移響應(yīng)按結(jié)構(gòu)的靜力分析而獲得,而加速度或絕對加速度響應(yīng)則不存在上述對應(yīng)關(guān)系。因此,按靜態(tài)效應(yīng)與最大動態(tài)效應(yīng)的等效原則,等效靜態(tài)地震作用的本質(zhì)定義是地震激勵所產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)最大位移響應(yīng)所對應(yīng)的等效靜態(tài)荷載與等效靜態(tài)內(nèi)力。

    4.2 高層隔震結(jié)構(gòu)基于最大位移響應(yīng)的地震作用取值

    由于已求得高層隔震結(jié)構(gòu)隔震層最大相對地面位移響應(yīng)xbmax=s(n+1)max,以及隔震層上部高層結(jié)構(gòu)各層最大層間位移響應(yīng)simax(i=1~n),故高層隔震結(jié)構(gòu)隔震層等效靜態(tài)地震剪力作用VEb和上部高層結(jié)構(gòu)各層層間等效靜態(tài)地震剪力VEi作用分別為:

    VEb=kbxbmax=kbs(n+1)max

    (42a)

    VEi=k0isimax(i=1~n)

    (42b)

    求出VEb和VEi之后,即可對高層隔震結(jié)構(gòu)進行等效靜態(tài)抗震設(shè)計。

    圖2 隔震層位移響應(yīng)(ξb=0.15)

    圖3 頂層位移響應(yīng)(ξb=0.15)

    5 算 例

    某20層鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)房屋,建在地震烈度I=8°,Ⅱ類場地土上,設(shè)計分組第二組,Tg=0.4 s。隔震層及其上部框架結(jié)構(gòu)的層間質(zhì)量和剛度見表1,結(jié)構(gòu)第一至第三自振頻率和阻尼比分別為:ω01=4.364 6(1/s)、ξ01=0.05;ω02=11.881 3(1/s)、ξ02=0.05;ω03=18.989 2(1/s)、ξ03=0.05。

    (1) 采用200gal EI-centro(1940,S400E)作為輸入地震波,隔震層阻尼比ξb=0.05、0.10、0.15、0.20;分別用實空間解耦法和復(fù)模態(tài)法進行時程響應(yīng)分析,兩種方法計算結(jié)果完全相同。限于篇幅,僅列出隔震層相對地面位移和上部結(jié)構(gòu)頂層相對隔震層位移在ξb=0.15時的時程響應(yīng)結(jié)果,如圖2和圖3所示。

    (2) 取譜密度為S0=0.013 87 (m2/s3)的白噪聲作為平穩(wěn)隨機地震動激勵,分別用實空間解耦法和復(fù)模態(tài)法進行隔震結(jié)構(gòu)各層層間位移響應(yīng)方差分析,計算結(jié)果如表1所示(其中方差(Ⅰ)是用實空間解耦法所得結(jié)果,方差(Ⅱ)是用復(fù)模態(tài)法所得結(jié)果)。從中可以看出兩種方法計算結(jié)果完全相同。

    (3) 基于現(xiàn)行抗震規(guī)范反應(yīng)譜的多遇地震作用下,隔震層相對地面位移和上部框架結(jié)構(gòu)各層相對位移最大值以及隔震層結(jié)構(gòu)各層相應(yīng)層間地震剪力作用取值如表1所示。

    表1 結(jié)構(gòu)參數(shù)和層間位移響應(yīng)方差與層間地震作用剪力取值(ξb=0.20)

    時程響應(yīng)與隨機響應(yīng)分析均表明,實空間解耦法和精確的復(fù)模態(tài)分析法的計算結(jié)果完全相同,驗證了所提出方法的正確性。

    6 結(jié) 論

    本文對高層非經(jīng)典阻尼隔震結(jié)構(gòu)響應(yīng)的實空間精確解耦及其地震作用取值進行了系統(tǒng)研究,獲得了摘要所述結(jié)果。雖然所建立的方法是針對多自由度非對稱質(zhì)量與非經(jīng)典阻尼結(jié)構(gòu),但所有公式的推導(dǎo)并未對非對稱剛度與非對稱阻尼矩陣加以限制,故所建立的方法具有一般性,適用于一般非對稱質(zhì)量、剛度和非對稱非經(jīng)典阻尼矩陣結(jié)構(gòu)響應(yīng)的精確實空間解耦及其基于反應(yīng)譜的地震作用取值的一般解析分析。

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