紊流滑動軸承油膜承載力的近似解

張永芳, 劉 成, 王 東, 武 澎

(1. 西安理工大學 印刷包裝工程學院,西安 710048；2. 重慶大學 機械傳動國家重點實驗室,重慶 400030；3. 中國煤炭科工集團西安研究院,西安 710077；4. 西安機電信息技術研究所,西安 710065)

由于滑動軸承具有工作平穩(wěn)、承載力大、噪聲小等優(yōu)點，被廣泛應用于高速、重載和高精度旋轉機械當中。滑動軸承作為軸承轉子系統(tǒng)的重要支承部件，其本質是非線性的，目前已有許多對其非線性特性進行研究的報道。呂延軍[1-3]對滑動軸承支承的轉子系統(tǒng)的非線性動力學行為進行了研究。通過運用變分約束原理求解了固定瓦-可傾瓦滑動軸承的非線性油膜力及其動力學特性系數(shù)[1]；運用Castelli方法，基于數(shù)據(jù)庫原理，快速求解了固定瓦-可傾瓦滑動軸承潤滑的Reynolds方程[2]；運用微分變換法并結合非線性理論，分析了固定瓦-可傾瓦氣體潤滑徑向軸承-剛性轉子系統(tǒng)的不平衡響應及軸承參數(shù)對系統(tǒng)非線性行為的影響規(guī)律[3]。目前，許多學者在研究滑動軸承的非線性動力學特性時，潤滑油膜大多采用層流假設，但是隨著軸承-轉子系統(tǒng)運行工況要求的不斷提高，使得轉子運行的線速度增大，目前許多實際工作中的軸承已在紊流工況下運轉。王小靜等[4-6]對復合型紊流潤滑理論模式及其應用進行了深入研究。采用該復合型紊流潤滑理論研究高速重載滑動軸承問題時，尤其能夠適用其強軸向流的特點，能較準確地分析滑動軸承的紊流潤滑性能。雖然該理論很先進，但求解十分復雜、費時，如果采用數(shù)據(jù)庫的方法，雖然能使該理論的計算量大大縮減，但仍然無法得到近似解析解。Chang-Jian等[7]對紊流滑動軸承支承的轉子系統(tǒng)的分岔和混沌等非線性行為進行了研究。通過采用長軸承假設模型(即忽略了沿軸向變化的壓力流)，得到了紊流長軸承假設下的解析表達式。Lo[8]分析了具有耦合應力影響的紊流徑向軸承支承的柔性轉子系統(tǒng)的非線性動力學行為，采用了短軸承的假設(即忽略了沿周向變化的壓力流)。無論是“無限短軸承模型”[8-9]或“無限長軸承模型”[7,10]，它們均是被廣泛使用的假設，并且都是在Reynolds方程的基礎上做了相應的簡化后得到的。由于實際應用的軸承寬徑比通常在0.8～1之間，無論是采用無限長或無限短軸承模型計算得到的結果均與其相差甚遠。因此我們需要尋求對有限長軸承能夠進行快速求解的方法。采用漸進法[11-13]求解流體潤滑的Reynolds方程，可以近似分析流體膜的潤滑問題，但通常在較小的偏心率和載荷范圍內用來近似分析。Buckholz等[14]運用漸進法并結合Ocvirk的短軸承近似解，提出了一種提高無限短軸承假設解精度的方法。Hirani等[15]和Bastani等[16]分別將短軸承和長軸承解的不同組合用于有限長軸承的計算分析。這些研究都給尋求紊流有限長滑動軸承油膜承載力的近似解析方法提供了參考。

本文利用多參數(shù)攝動原理，采用零方程模式的Constantinescu理論即Prandtl混合長度潤滑理論模式，對有限長紊流滑動軸承的Reynolds方程進行了求解，得到了紊流有限長軸承承載力的近似解析表達式，同時分析了偏心率、寬徑比等參數(shù)對承載力及壓力分布的影響。

1 紊流狀態(tài)下的Reynolds方程

圖1給出了紊流徑向滑動軸承示意圖及其計算坐標；圖2為紊流動壓軸承的剖面圖。圖1中，Ob為軸承中心，Oj為軸頸中心，φ是從y軸負方向順時針轉至油膜位置的角度，θ為偏位角，φ是從OjOb延長線順時針方向轉至油膜位置的角度，fr和ft分別為作用在軸頸上的非線性油膜力徑向和切向分量，fx和fy分別為作用在軸頸上的非線性油膜力在x和y軸負方向的分量。h為油膜厚度，ω為轉子角速度，R為軸承半徑，r為軸頸半徑，mg為軸承載荷。圖2中，B為軸承寬度。

紊流滑動軸承有量綱Reynolds方程為：

(1)

式中，Gφ和Gz為紊流因子[17]，

對式(1)進行無量綱化，為此引入以下無量綱變量：

將上式代入式(1)可得無量綱Reynolds方程：

(2)

令：

(3)

式中，pp為平均壓力。

圖1 紊流滑動軸承示意圖及其計算坐標

圖2 紊流滑動軸承剖面圖

引入Sommerfeld 和Ocvirk數(shù)：

(4)

(5)

(6)

2 非線性油膜承載力的近似解

由于Reynolds方程求解出的油膜壓力是一些獨立變量(φ,λ, …)以及一些參變量 (ζ,B/d,… )的函數(shù)。為方便計算起見，令：

(7)

將P展開成ζ的冪級數(shù)：

P=P0+ζP1+ζ2P2+ζ3P3+…

(8)

因為Ocvirk數(shù)O是ζ的函數(shù)，所以也將O展開成ζ的冪級數(shù)：

O=O0+ζO1+ζ2O2+ζ3O3+…

(9)

由于所取項數(shù)的增加，使求解趨于繁瑣，加大了計算的困難，所以這里?。?/p>

(10)

將式(10)代入式(6)可得：

(11)

對于上式，令ζ=0可得：

(12)

由邊界條件：當λ=±1/2時，P0=0得到：

(13)

對P0求一次導數(shù)可得：

(14)

對式(14)兩端同乘以H3得：

(15)

對式(15)求一次導數(shù)可得：

(16)

為計算方便起見令：

將上式代入式(16)可得：

(17)

所以有：

(18)

對式(13)求兩次導數(shù)且兩端同乘以H3/6可得：

(19)

將式(18)和式(19)代入式(11)可得：

對上式積分兩次并代入邊界條件可得：

(21)

由于P0和P1中有未知量O0和O1，所以需要求解O0和O1。因為有：

(22)

式中，F(xiàn)=2ppπRB為承載力，有量綱Fx和Fy分別為承載力在x和y方向上的分量，且有：

(23)

將式(23)代入式(22)可得：

(24)

將式(13)代入式(24)并令ζ=0可得：

(25)

由上式計算可得：

(26)

將式(13)和式(21)代入式(24)，略去ζ的二階小量可得：

(27)

將式(13)代入式(27)可得：

(28)

(29)

式中，

(30)

令：

將上式及式(29)和式(30)代入式(28)可得：

(31)

將式(26)和式(31)代入式(10b)可得O，將式(13)和式(21)代入式(10a)可得油膜壓力P。

3 計算結果分析

運用以上方法求得了Ocvirk數(shù)和油膜壓力，從而求得了油膜承載力。當偏心率ε=0.5時，繪出了分別運用本文方法和有限元法[18]求得的油膜承載力隨寬徑比B/d變化的曲線對比圖，如圖3所示。從圖3可以看出，當偏心率ε=0.5時，運用本文方法和有限元法解出的油膜承載力F隨寬徑比B/d變化的曲線比較接近，從而驗證了本文方法求解的正確性。圖中油膜承載力的差別主要源于兩種求解方法所采用的邊界條件的不同。有限元法采用的是下游Reynolds邊界條件(即工程實際中油膜存在的破裂邊界條件)，而本文提出的方法采用的是半Sommerfeld邊界條件。如果有限元法采用半Sommerfeld邊界條件，則本文方法得到的近似解將和有限元法的結果吻合得更好。圖4為寬徑比B/d=0.25時，0階Ocvirk數(shù)O0隨偏心率ε的變化曲線圖。從圖4可以看出，在寬徑比B/d=0.25時，隨著偏心率ε的增大，0階Ocvirk數(shù)O0的值不斷減小且接近于0，圖中表明Ocvirk數(shù)的主要部分O0即0階Ocvirk數(shù)O0在偏心率ε大于0.2時的變化比較緩慢。圖5為寬徑比B/d=0.5時，Ocvirk數(shù)O隨偏心率ε的變化曲線圖。圖5示出當B/d=0.5時，Ocvirk數(shù)O隨著偏心率ε的增大而逐漸減小。對比圖4可知：Ocvirk數(shù)與0階Ocvirk數(shù)O0相比受偏心率影響較明顯。圖6是在軸向位置λ=0處，寬徑比B/d=0.5，ε=0.1和ε=0.8時，無量綱油膜壓力P的主要部分P0即0階無量綱油膜壓力隨軸承周向坐標φ的變化曲線圖(圖中示出了不同偏心率下的P0隨φ的變化曲線圖)。圖6表明，偏心率較大時，壓力P的主要部分P0即0階無量綱油膜壓力P0(當B/d→0時的無量綱油膜壓力)隨φ的增大呈現(xiàn)出劇烈變化，由圖6中可以看出，在周向位置角較小時，隨著周向位置角φ的增加0階無量綱油膜壓力P0增加；當周向位置角較大時，隨著周向位置角φ的增加，P0減小。圖7是在軸向位置λ=0處，當寬徑比B/d=0.5和偏心率ε=0.8時，無量綱油膜壓力P隨周向坐標φ的變化曲線圖。與圖6類似，0階無量綱油膜壓力P0和無量綱油膜壓力P隨著周向坐標的變化先增大后減??；對比圖6，無量綱油膜壓力P的變化趨勢與0階無量綱油膜壓力P0的變化趨勢一致。

圖3 偏心率ε=0.5時，油膜承載力F隨寬徑比B/d變化的曲線圖

圖6 寬徑比B/d=0.5，λ=0處，偏心率ε=0.1和ε=0.8時0階無量綱油膜壓力P0隨周向坐標φ的變化曲線圖

圖7 寬徑比B/d=0.5時，λ=0處，無量綱油膜壓力P隨周向坐標φ的變化曲線圖

4 結 論

運用多參數(shù)原理，結合Sommerfeld和Ocvirk數(shù)，求解得到了有限長紊流滑動軸承非線性油膜承載力的近似解析解，在此基礎上分析了油膜壓力隨偏心率、寬徑比等參數(shù)的變化規(guī)律。本文的方法在較大的偏心率和載荷范圍內適用，可為紊流滑動軸承支承轉子系統(tǒng)的設計提供理論參考。

參 考 文 獻

[1]Lu Y J, Ji L F, Zhang Y F, et al. Dynamic behaviours of the rotor non-linear system with fixed-tilting-pad journal bearings support[J]. Journal of Engineering Tribology, 2010, 224(10): 1037-1047.

[2]呂延軍，張永芳，于揚冰，等.固定瓦-可傾瓦組合徑向軸承-柔性轉子系統(tǒng)非線性運動分析[J].振動與沖擊，2011,30(5):257-262.

Lü Yan-jun, ZHANG Yong-fang, YU Yang-bing, et al. Nonlinear dynamicanalysis of a flexible rotor system with combinedfixed-tilting pad journal bearing[J]. Journal of Vibration and Shock, 2011, 18(3): 257-262.

[3]Lu Y J, Zhang Y F, Shi X L, et al. Nonlinear dynamic analysis of a rotor system with fixed-tilting-pad self-acting gas-lubricated bearings support[J]. Nonlinear Dynamics, 2012, 69(3): 877-890.

[4]王小靜, 張直明, 孫美麗. 復合型紊流潤滑理論模式的研究[J]. 摩擦學學報, 2000, 20(2): 127-130.

WANG Xiao-jing, ZHANG Zhi-ming, SUN Mei-li. A combined theory for turbulence in lubricating films[J]. Tribology, 2000, 20(2): 127-130.

[5]王小靜, 蘇葒, 張直明, 基于復合型紊流潤滑理論的徑向滑動軸承紊流潤滑性能的研究[J]. 機械工程學報, 2003, 39(3): 85-89.

WANG Xiao-jing, SU Hong, ZHANG Zhi-ming. Study on the performance of journal bearing in turbulent regime with the combined Reynolds stress model[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2003, 39(3): 85-89.

[6]王小靜, 張直明, 孫美麗. 復合型紊流潤滑理論在周隙密封紊流潤滑研究中的應用[J]. 摩擦學學報, 2002, 22(4s): 359-362.

WANG Xiao-jing, ZHANG Zhi-ming, SUN Mei-li. Application of combined Reynolds stress turbulent model to the study of plain seal[J]. Tribology, 2002, 22(4s): 359-362.

[7]Chang-Jian C W, Chen C K. Bifurcation and chaos analysis of a flexible rotor supported by turbulent long journal bearings[J]. Chaos, Solitons and Fractals, 2007, 34(4): 1160-1179.

[8]Lo C Y, Chang-Jian C W. Nonlinear dynamics of a flexible rotor supported by turbulent journal bearings with couple stress fluid[J]. Chaos, Solitons and Fractals, 2008, 37(4): 1002-1024.

[9]Sommerfeld A. Zur hydrodynamic theorie der Schmiermittelreibung[J]. Zeitschrift für Mathematik und Physik, 1904, 50(1-2): 97-155.

[10]DuBois G B, Ocvirk F W. Analytical derivation and experimental evaluation of short-bearing approximation for full journal bearings[J]. NACA Report, 1953, 1157:1199-1230.

[11]Nayfeh A H. Perturbation methods[M]. New York: John Wiley & Sons, 1973, 1-25.

[12]Ling F F. Asymptotic analyses in isothermal fluid film lubrication theories[J]. SIAM (Society for Industrial and Mathematics) Review, 1986, 28(3): 343-366.

[13]Capriz G, Cimatti G. On some singular perturbation problems in the theory of lubrication[J]. Applied Mathematics and Optimization, 1977, 4(1): 285-297.

[14]Buckholz R H, Hwang B. The accuracy of short bearing theory for Newtonian lubricants[J]. Journal of Tribology, 1986, 108(1): 73-79.

[15]Hirani H, Athre K, Biswas S. Dynamically loaded finite length journal bearings: analytical method of solution[J]. Journal of Tribology, 1999, 121(4): 844-852.

[16]Bastani Y, Queiroz M D. A new analytic approximation for the hydrodynamic forces in finite-length journal bearings[J]. Journal of Tribology, 2010, 132(1): 014502-1-9.

[17]張直明,張言羊, 謝友柏, 等.滑動軸承的流體動力潤滑理論[M]. 北京: 高等教育出版社, 1986, 120-143.

[18]呂延軍, 張永芳, 季麗芳, 等. 固定瓦-可傾瓦滑動(軸承轉子非線性系統(tǒng)的動力特性分析[J]. 中國電機工程學報, 2010, 30(20): 79-87.

Lü Yan-jun, ZHANG Yong-fang, JI Li-fang, et al. Analysis of dynamic characteristics of rotor nonlinear system supported by fixed-tilting pad journal bearings[J]. Proceedings of the CSEE, 2010, 30(20): 79-87.