談系統(tǒng)牛頓第二定律的應(yīng)用

白卓

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2014）17-0084-02

以牛頓第二定律為核心的牛頓運(yùn)動(dòng)定律是高中物理的主干知識(shí)，是高考的必考和重點(diǎn)考察內(nèi)容，既有對(duì)牛頓第二定律單獨(dú)命題。也有與其他知識(shí)的綜合命題，且以各種題型出現(xiàn)。

中學(xué)生在用牛頓第二定律解題時(shí)，大多是把研究對(duì)象看成質(zhì)點(diǎn)，運(yùn)用 進(jìn)行處理。而牛頓第二定律不僅對(duì)單個(gè)質(zhì)點(diǎn)適用，對(duì)質(zhì)點(diǎn)組或幾個(gè)質(zhì)點(diǎn)的組成的系統(tǒng)也適用，并且有時(shí)對(duì)系統(tǒng)運(yùn)用牛頓第二定律要比逐個(gè)對(duì)單個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)用牛頓第二定律解題要簡(jiǎn)便許多，可以省去一些中間環(huán)節(jié)，大大提高解題速度和減少錯(cuò)誤的發(fā)生。所以有必要對(duì)單個(gè)質(zhì)點(diǎn)和系統(tǒng)的牛頓第二定律進(jìn)行相關(guān)的梳理。

現(xiàn)行高中教科版物理教材對(duì)牛頓第二定律的表述：“物體的加速度跟所受的合力成正比，跟物體的質(zhì)量成反比，加速度的方向跟合力方向相同?！迸ｎD第二定律表達(dá)式：F合=ma。定律中所述物體是單個(gè)物體或有相同加速度的一個(gè)系統(tǒng)。

若把牛頓第二定律推廣到具有不同加速度系統(tǒng)則可表述為：系統(tǒng)受到的合力（系統(tǒng)以外的物體對(duì)系統(tǒng)內(nèi)的物體的作用力的合力）等于系統(tǒng)內(nèi)各物體的質(zhì)量與其加速度乘積的矢量和。表達(dá)式為：F合=m1a1+m2a2+ ……+mnan。式中m1、m2、m3……分別為系統(tǒng)內(nèi)各物體的質(zhì)量，a1、a2、a3……為各物體的加速度，F(xiàn)合為這個(gè)系統(tǒng)受到的合力。相應(yīng)的正交分解的表達(dá)式為：F合x =m1a1x+m2a2x+……+mnanx，F(xiàn)合y =m1a1y+m2a2y+……+mnany。式中a1x、a2x、a3x……為各物體在x軸上的分加速度，a1y、a2y、a3y……為各物體在y軸上的分加速度，F(xiàn)合x為系統(tǒng)在x軸上受到的合力，F(xiàn)合y為系統(tǒng)在y軸上受到的合力。

下面通過幾個(gè)實(shí)例加以說明：

1.如圖所示，一個(gè)箱子放在水平地面上，箱內(nèi)有一固定的豎直桿，在桿上套著一個(gè)環(huán)，箱和桿的質(zhì)量為M，環(huán)的質(zhì)量為m，已知環(huán)沿著桿加速下滑，加速度為a，則此箱對(duì)地面的壓力為多少？ 分析與求解：本題既可以用隔離法也可以用系統(tǒng)牛頓第二定律處理

解法一：對(duì)m：mg-Ff=ma，對(duì)M： Mg+Ff=FN，F(xiàn)N=Mg+mg-ma。

解法二：建立豎直方向直線坐標(biāo)系，以向下為正方向。對(duì)系統(tǒng)受力分析知，系統(tǒng)受豎直向下的重力（M+m）g，豎直向上的支持力FN，由系統(tǒng)的牛頓第二定律得：（M+m）g-FN=ma FN=Mg+mg-ma

2.傾如圖所示，傾角€%a=37€埃柿縈=5kg的粗糙斜面位于水平地面上。質(zhì)量m=2kg的木塊置于斜頂端，從靜止開始勻加速下滑，經(jīng)t=2s到達(dá)底端，運(yùn)動(dòng)路程L=4m，在此過程中斜面保持靜止（sin37€？0.6，cos37€？0.8，g取10m/s2）。求：

（1）地面對(duì)摩擦力大小與方向；

（2）地面對(duì)支持力大??；

分析與求解：本題同樣既可以用隔離法單獨(dú)對(duì)木塊和斜面進(jìn)行相應(yīng)的分析也可以用系統(tǒng)牛頓第二定律處理。

解法一：如圖所示，分別對(duì)木塊和斜面受力分析

L=at2 a==2m/s2

對(duì)木塊：mgsin€%a-f1=ma

對(duì)斜面：f2=N1sin€%a-f1cos€%a=3.2N，方向水平向左

地面對(duì)斜面的支持力N2=Mg+N1cos€%a+f1sin€%a=67.6N

解法二：對(duì)系統(tǒng)受力進(jìn)行分析，系統(tǒng)受豎直向下的重力（M+m）g， 豎直向上的支持力N2，水平向左的摩擦力f2。建立水平和豎直方向的直角坐標(biāo)系，ax=acos€%a ay=asin€%a

由系統(tǒng)的牛頓第二定律得：

f2=max （M+m）g-N=may

f2=macos€%a=3.2N，方向水平向左

N2=（M+m）g-masin€%a=67.6N

3.（2013安徽第4問）如圖所示，質(zhì)量為M、傾角為€%Z的斜面體（斜面光滑且足夠長(zhǎng)）放在粗糙的水平地面上，底部與地面的動(dòng)摩擦因數(shù)為€%e，斜面頂端與勁度系數(shù)為K、自然長(zhǎng)度為L(zhǎng)的輕質(zhì)彈簧相連，彈簧的另一端連接著質(zhì)量為m的物塊。壓縮彈簧使其長(zhǎng)度為3L/4時(shí)將物塊由靜止開始釋放，且物塊在以后的運(yùn)動(dòng)中，斜面體始終處于靜止?fàn)顟B(tài)。重力加速度為g。

（1）求物塊處于平衡位置時(shí)彈簧的長(zhǎng)度；

（2）選物塊的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿斜面向下為正方向建立坐標(biāo)軸，用x表示物塊相對(duì)于平衡位置的位移，證明物塊做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)；

（3）求彈簧的最大伸長(zhǎng)量；

（4）為使斜面始終處于靜止?fàn)顟B(tài)，動(dòng)摩擦因數(shù)€%e應(yīng)滿足什么條件（假設(shè)滑動(dòng)摩擦力等于最大靜摩擦力）？

分析與求解：本文僅就第（4）問用系統(tǒng)牛頓第二定律處理加以說明，至于隔離法分析物塊和斜面求解的方法請(qǐng)參考高考參考答案。結(jié)合前面幾問分析知，在物塊具有最大向上加速度時(shí)保持不動(dòng)，則整個(gè)過程保持不動(dòng)。即：am=gsin€%Z+KL/4m建立水平和豎直方向的直角坐標(biāo)系得：amx=acos€%Z amy=asin€%Z

物塊運(yùn)動(dòng)時(shí)，要斜面靜止則需要€%e（Mg+mg-mamy）≥mamx

聯(lián)立求解得：€%e≥

終上所述，若一個(gè)系統(tǒng)內(nèi)各物體的加速度不相同，又不需求系統(tǒng)內(nèi)物體間的相互作用力時(shí)，利用上式求解系統(tǒng)所受的外力，因減少了求未知的內(nèi)力，這就大大簡(jiǎn)化了數(shù)學(xué)運(yùn)算，使問題的處理較簡(jiǎn)捷。用這種方法處理問題要抓住兩點(diǎn)：（1）分析系統(tǒng)受到的外力；（2）建立直角坐標(biāo)系將系統(tǒng)內(nèi)各物體的加速度正交分解，用系統(tǒng)牛頓第二定律正交分解表達(dá)式求解。

（責(zé)任編輯 易 凡）endprint

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2014）17-0084-02

以牛頓第二定律為核心的牛頓運(yùn)動(dòng)定律是高中物理的主干知識(shí)，是高考的必考和重點(diǎn)考察內(nèi)容，既有對(duì)牛頓第二定律單獨(dú)命題。也有與其他知識(shí)的綜合命題，且以各種題型出現(xiàn)。

中學(xué)生在用牛頓第二定律解題時(shí)，大多是把研究對(duì)象看成質(zhì)點(diǎn)，運(yùn)用 進(jìn)行處理。而牛頓第二定律不僅對(duì)單個(gè)質(zhì)點(diǎn)適用，對(duì)質(zhì)點(diǎn)組或幾個(gè)質(zhì)點(diǎn)的組成的系統(tǒng)也適用，并且有時(shí)對(duì)系統(tǒng)運(yùn)用牛頓第二定律要比逐個(gè)對(duì)單個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)用牛頓第二定律解題要簡(jiǎn)便許多，可以省去一些中間環(huán)節(jié)，大大提高解題速度和減少錯(cuò)誤的發(fā)生。所以有必要對(duì)單個(gè)質(zhì)點(diǎn)和系統(tǒng)的牛頓第二定律進(jìn)行相關(guān)的梳理。

現(xiàn)行高中教科版物理教材對(duì)牛頓第二定律的表述：“物體的加速度跟所受的合力成正比，跟物體的質(zhì)量成反比，加速度的方向跟合力方向相同?！迸ｎD第二定律表達(dá)式：F合=ma。定律中所述物體是單個(gè)物體或有相同加速度的一個(gè)系統(tǒng)。

若把牛頓第二定律推廣到具有不同加速度系統(tǒng)則可表述為：系統(tǒng)受到的合力（系統(tǒng)以外的物體對(duì)系統(tǒng)內(nèi)的物體的作用力的合力）等于系統(tǒng)內(nèi)各物體的質(zhì)量與其加速度乘積的矢量和。表達(dá)式為：F合=m1a1+m2a2+ ……+mnan。式中m1、m2、m3……分別為系統(tǒng)內(nèi)各物體的質(zhì)量，a1、a2、a3……為各物體的加速度，F(xiàn)合為這個(gè)系統(tǒng)受到的合力。相應(yīng)的正交分解的表達(dá)式為：F合x =m1a1x+m2a2x+……+mnanx，F(xiàn)合y =m1a1y+m2a2y+……+mnany。式中a1x、a2x、a3x……為各物體在x軸上的分加速度，a1y、a2y、a3y……為各物體在y軸上的分加速度，F(xiàn)合x為系統(tǒng)在x軸上受到的合力，F(xiàn)合y為系統(tǒng)在y軸上受到的合力。

下面通過幾個(gè)實(shí)例加以說明：

1.如圖所示，一個(gè)箱子放在水平地面上，箱內(nèi)有一固定的豎直桿，在桿上套著一個(gè)環(huán)，箱和桿的質(zhì)量為M，環(huán)的質(zhì)量為m，已知環(huán)沿著桿加速下滑，加速度為a，則此箱對(duì)地面的壓力為多少？ 分析與求解：本題既可以用隔離法也可以用系統(tǒng)牛頓第二定律處理

解法一：對(duì)m：mg-Ff=ma，對(duì)M： Mg+Ff=FN，F(xiàn)N=Mg+mg-ma。

解法二：建立豎直方向直線坐標(biāo)系，以向下為正方向。對(duì)系統(tǒng)受力分析知，系統(tǒng)受豎直向下的重力（M+m）g，豎直向上的支持力FN，由系統(tǒng)的牛頓第二定律得：（M+m）g-FN=ma FN=Mg+mg-ma

2.傾如圖所示，傾角€%a=37€埃柿縈=5kg的粗糙斜面位于水平地面上。質(zhì)量m=2kg的木塊置于斜頂端，從靜止開始勻加速下滑，經(jīng)t=2s到達(dá)底端，運(yùn)動(dòng)路程L=4m，在此過程中斜面保持靜止（sin37€？0.6，cos37€？0.8，g取10m/s2）。求：

（1）地面對(duì)摩擦力大小與方向；

（2）地面對(duì)支持力大?。?/p>

分析與求解：本題同樣既可以用隔離法單獨(dú)對(duì)木塊和斜面進(jìn)行相應(yīng)的分析也可以用系統(tǒng)牛頓第二定律處理。

解法一：如圖所示，分別對(duì)木塊和斜面受力分析

L=at2 a==2m/s2

對(duì)木塊：mgsin€%a-f1=ma

對(duì)斜面：f2=N1sin€%a-f1cos€%a=3.2N，方向水平向左

地面對(duì)斜面的支持力N2=Mg+N1cos€%a+f1sin€%a=67.6N

解法二：對(duì)系統(tǒng)受力進(jìn)行分析，系統(tǒng)受豎直向下的重力（M+m）g， 豎直向上的支持力N2，水平向左的摩擦力f2。建立水平和豎直方向的直角坐標(biāo)系，ax=acos€%a ay=asin€%a

由系統(tǒng)的牛頓第二定律得：

f2=max （M+m）g-N=may

f2=macos€%a=3.2N，方向水平向左

N2=（M+m）g-masin€%a=67.6N

3.（2013安徽第4問）如圖所示，質(zhì)量為M、傾角為€%Z的斜面體（斜面光滑且足夠長(zhǎng)）放在粗糙的水平地面上，底部與地面的動(dòng)摩擦因數(shù)為€%e，斜面頂端與勁度系數(shù)為K、自然長(zhǎng)度為L(zhǎng)的輕質(zhì)彈簧相連，彈簧的另一端連接著質(zhì)量為m的物塊。壓縮彈簧使其長(zhǎng)度為3L/4時(shí)將物塊由靜止開始釋放，且物塊在以后的運(yùn)動(dòng)中，斜面體始終處于靜止?fàn)顟B(tài)。重力加速度為g。

（1）求物塊處于平衡位置時(shí)彈簧的長(zhǎng)度；

（2）選物塊的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿斜面向下為正方向建立坐標(biāo)軸，用x表示物塊相對(duì)于平衡位置的位移，證明物塊做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)；

（3）求彈簧的最大伸長(zhǎng)量；

（4）為使斜面始終處于靜止?fàn)顟B(tài)，動(dòng)摩擦因數(shù)€%e應(yīng)滿足什么條件（假設(shè)滑動(dòng)摩擦力等于最大靜摩擦力）？

分析與求解：本文僅就第（4）問用系統(tǒng)牛頓第二定律處理加以說明，至于隔離法分析物塊和斜面求解的方法請(qǐng)參考高考參考答案。結(jié)合前面幾問分析知，在物塊具有最大向上加速度時(shí)保持不動(dòng)，則整個(gè)過程保持不動(dòng)。即：am=gsin€%Z+KL/4m建立水平和豎直方向的直角坐標(biāo)系得：amx=acos€%Z amy=asin€%Z

物塊運(yùn)動(dòng)時(shí)，要斜面靜止則需要€%e（Mg+mg-mamy）≥mamx

聯(lián)立求解得：€%e≥

終上所述，若一個(gè)系統(tǒng)內(nèi)各物體的加速度不相同，又不需求系統(tǒng)內(nèi)物體間的相互作用力時(shí)，利用上式求解系統(tǒng)所受的外力，因減少了求未知的內(nèi)力，這就大大簡(jiǎn)化了數(shù)學(xué)運(yùn)算，使問題的處理較簡(jiǎn)捷。用這種方法處理問題要抓住兩點(diǎn)：（1）分析系統(tǒng)受到的外力；（2）建立直角坐標(biāo)系將系統(tǒng)內(nèi)各物體的加速度正交分解，用系統(tǒng)牛頓第二定律正交分解表達(dá)式求解。

（責(zé)任編輯 易 凡）endprint

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2014）17-0084-02

以牛頓第二定律為核心的牛頓運(yùn)動(dòng)定律是高中物理的主干知識(shí)，是高考的必考和重點(diǎn)考察內(nèi)容，既有對(duì)牛頓第二定律單獨(dú)命題。也有與其他知識(shí)的綜合命題，且以各種題型出現(xiàn)。

中學(xué)生在用牛頓第二定律解題時(shí)，大多是把研究對(duì)象看成質(zhì)點(diǎn)，運(yùn)用 進(jìn)行處理。而牛頓第二定律不僅對(duì)單個(gè)質(zhì)點(diǎn)適用，對(duì)質(zhì)點(diǎn)組或幾個(gè)質(zhì)點(diǎn)的組成的系統(tǒng)也適用，并且有時(shí)對(duì)系統(tǒng)運(yùn)用牛頓第二定律要比逐個(gè)對(duì)單個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)用牛頓第二定律解題要簡(jiǎn)便許多，可以省去一些中間環(huán)節(jié)，大大提高解題速度和減少錯(cuò)誤的發(fā)生。所以有必要對(duì)單個(gè)質(zhì)點(diǎn)和系統(tǒng)的牛頓第二定律進(jìn)行相關(guān)的梳理。

現(xiàn)行高中教科版物理教材對(duì)牛頓第二定律的表述：“物體的加速度跟所受的合力成正比，跟物體的質(zhì)量成反比，加速度的方向跟合力方向相同?！迸ｎD第二定律表達(dá)式：F合=ma。定律中所述物體是單個(gè)物體或有相同加速度的一個(gè)系統(tǒng)。

若把牛頓第二定律推廣到具有不同加速度系統(tǒng)則可表述為：系統(tǒng)受到的合力（系統(tǒng)以外的物體對(duì)系統(tǒng)內(nèi)的物體的作用力的合力）等于系統(tǒng)內(nèi)各物體的質(zhì)量與其加速度乘積的矢量和。表達(dá)式為：F合=m1a1+m2a2+ ……+mnan。式中m1、m2、m3……分別為系統(tǒng)內(nèi)各物體的質(zhì)量，a1、a2、a3……為各物體的加速度，F(xiàn)合為這個(gè)系統(tǒng)受到的合力。相應(yīng)的正交分解的表達(dá)式為：F合x =m1a1x+m2a2x+……+mnanx，F(xiàn)合y =m1a1y+m2a2y+……+mnany。式中a1x、a2x、a3x……為各物體在x軸上的分加速度，a1y、a2y、a3y……為各物體在y軸上的分加速度，F(xiàn)合x為系統(tǒng)在x軸上受到的合力，F(xiàn)合y為系統(tǒng)在y軸上受到的合力。

下面通過幾個(gè)實(shí)例加以說明：

1.如圖所示，一個(gè)箱子放在水平地面上，箱內(nèi)有一固定的豎直桿，在桿上套著一個(gè)環(huán)，箱和桿的質(zhì)量為M，環(huán)的質(zhì)量為m，已知環(huán)沿著桿加速下滑，加速度為a，則此箱對(duì)地面的壓力為多少？ 分析與求解：本題既可以用隔離法也可以用系統(tǒng)牛頓第二定律處理

解法一：對(duì)m：mg-Ff=ma，對(duì)M： Mg+Ff=FN，F(xiàn)N=Mg+mg-ma。

解法二：建立豎直方向直線坐標(biāo)系，以向下為正方向。對(duì)系統(tǒng)受力分析知，系統(tǒng)受豎直向下的重力（M+m）g，豎直向上的支持力FN，由系統(tǒng)的牛頓第二定律得：（M+m）g-FN=ma FN=Mg+mg-ma

2.傾如圖所示，傾角€%a=37€埃柿縈=5kg的粗糙斜面位于水平地面上。質(zhì)量m=2kg的木塊置于斜頂端，從靜止開始勻加速下滑，經(jīng)t=2s到達(dá)底端，運(yùn)動(dòng)路程L=4m，在此過程中斜面保持靜止（sin37€？0.6，cos37€？0.8，g取10m/s2）。求：

（1）地面對(duì)摩擦力大小與方向；

（2）地面對(duì)支持力大?。?/p>

分析與求解：本題同樣既可以用隔離法單獨(dú)對(duì)木塊和斜面進(jìn)行相應(yīng)的分析也可以用系統(tǒng)牛頓第二定律處理。

解法一：如圖所示，分別對(duì)木塊和斜面受力分析

L=at2 a==2m/s2

對(duì)木塊：mgsin€%a-f1=ma

對(duì)斜面：f2=N1sin€%a-f1cos€%a=3.2N，方向水平向左

地面對(duì)斜面的支持力N2=Mg+N1cos€%a+f1sin€%a=67.6N

解法二：對(duì)系統(tǒng)受力進(jìn)行分析，系統(tǒng)受豎直向下的重力（M+m）g， 豎直向上的支持力N2，水平向左的摩擦力f2。建立水平和豎直方向的直角坐標(biāo)系，ax=acos€%a ay=asin€%a

由系統(tǒng)的牛頓第二定律得：

f2=max （M+m）g-N=may

f2=macos€%a=3.2N，方向水平向左

N2=（M+m）g-masin€%a=67.6N

3.（2013安徽第4問）如圖所示，質(zhì)量為M、傾角為€%Z的斜面體（斜面光滑且足夠長(zhǎng)）放在粗糙的水平地面上，底部與地面的動(dòng)摩擦因數(shù)為€%e，斜面頂端與勁度系數(shù)為K、自然長(zhǎng)度為L(zhǎng)的輕質(zhì)彈簧相連，彈簧的另一端連接著質(zhì)量為m的物塊。壓縮彈簧使其長(zhǎng)度為3L/4時(shí)將物塊由靜止開始釋放，且物塊在以后的運(yùn)動(dòng)中，斜面體始終處于靜止?fàn)顟B(tài)。重力加速度為g。

（1）求物塊處于平衡位置時(shí)彈簧的長(zhǎng)度；

（2）選物塊的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿斜面向下為正方向建立坐標(biāo)軸，用x表示物塊相對(duì)于平衡位置的位移，證明物塊做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)；

（3）求彈簧的最大伸長(zhǎng)量；

（4）為使斜面始終處于靜止?fàn)顟B(tài)，動(dòng)摩擦因數(shù)€%e應(yīng)滿足什么條件（假設(shè)滑動(dòng)摩擦力等于最大靜摩擦力）？

分析與求解：本文僅就第（4）問用系統(tǒng)牛頓第二定律處理加以說明，至于隔離法分析物塊和斜面求解的方法請(qǐng)參考高考參考答案。結(jié)合前面幾問分析知，在物塊具有最大向上加速度時(shí)保持不動(dòng)，則整個(gè)過程保持不動(dòng)。即：am=gsin€%Z+KL/4m建立水平和豎直方向的直角坐標(biāo)系得：amx=acos€%Z amy=asin€%Z

物塊運(yùn)動(dòng)時(shí)，要斜面靜止則需要€%e（Mg+mg-mamy）≥mamx

聯(lián)立求解得：€%e≥

終上所述，若一個(gè)系統(tǒng)內(nèi)各物體的加速度不相同，又不需求系統(tǒng)內(nèi)物體間的相互作用力時(shí)，利用上式求解系統(tǒng)所受的外力，因減少了求未知的內(nèi)力，這就大大簡(jiǎn)化了數(shù)學(xué)運(yùn)算，使問題的處理較簡(jiǎn)捷。用這種方法處理問題要抓住兩點(diǎn)：（1）分析系統(tǒng)受到的外力；（2）建立直角坐標(biāo)系將系統(tǒng)內(nèi)各物體的加速度正交分解，用系統(tǒng)牛頓第二定律正交分解表達(dá)式求解。

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