一堂《幾何概型》公開課的思考

謝剛

摘要：重視在實(shí)際情境中去體驗(yàn)和理解有關(guān)知識；注重過程，提倡在學(xué)習(xí)過程中學(xué)生的自主活動，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)規(guī)律、探求模式的能力。

關(guān)鍵詞：幾何概型；公開課；思考

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）13-186-01

最近筆者剛聽完我校一位老師的公開課《幾何概型的高三復(fù)習(xí)課》，有些許的想法愿和同大家一起分享。學(xué)生一般知道幾何概型的概率計(jì)算公式，但是幾何測度的選擇卻是模棱兩可，容易混淆。為了突破這一難點(diǎn)因此我們需要辨析學(xué)生犯錯(cuò)的原因，從而促進(jìn)學(xué)生理解幾何概型的實(shí)質(zhì)，準(zhǔn)確解決幾何概型問題。對此談如下幾點(diǎn)體會：

背景一：

授課教師先復(fù)習(xí)古典概型和幾何概型各自的特點(diǎn)和區(qū)別，然后給出題組一：

1、在區(qū)間[1，4]上任意取一個(gè)整數(shù) ，則 大于2的概率為： 。

2、在區(qū)間[1，4]上任意取一個(gè)實(shí)數(shù) ，則 大于2的概率為： 。

反思：從學(xué)生熟悉并且容易解決的一個(gè)古典概型問題，稍加修改，轉(zhuǎn)變成為一個(gè)幾何概型的問題，進(jìn)一步從等可能性、無限性兩方面來區(qū)別古典概型與幾何概型，深化學(xué)生對幾何概型意義的體會，同時(shí)在學(xué)生的思維里呈現(xiàn)長度這一幾何測度。

背景二：

接著授課教師給出題組二：

1、△ABC中，三條邊的長度分別為3、4、5，一只小螞蟻在三角形的三條邊上爬，求小螞蟻到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離分別大于1的概率。

2、△ABC中，三條邊的長度分別為3、4、5，一只小螞蟻在三角形及其內(nèi)部里爬，求小螞蟻到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離分別大于1的概率。

授課教師設(shè)計(jì)上面兩個(gè)同例變式，我估計(jì)是想通過解決2個(gè)具體問題，形成梯度，分散難點(diǎn)，逐一呈現(xiàn)公式中的兩個(gè)幾何測度：面積與體積，讓學(xué)生在測度的選取上產(chǎn)生了認(rèn)知沖突，從而突破測度選擇的教學(xué)難點(diǎn)。可是教師給出兩個(gè)問題后，直接就交給學(xué)生了，兩位學(xué)生上臺畫圖，一位學(xué)生利用長度之比，一位利用面積之比，雖然學(xué)生表述上有些問題，答案都對了，后面教師也沒有抓住學(xué)生的回答進(jìn)行針對性的提問和進(jìn)行辨析總結(jié)。

反思：我不知道是不是大部分學(xué)生是否真的都懂了，但我覺得這個(gè)地方是不是可以分解下本題組的兩個(gè)難點(diǎn)。難點(diǎn)一是總事件和基本事件構(gòu)成的區(qū)域的確定，難點(diǎn)二是幾何測度的優(yōu)化選擇。因?yàn)榭偸录突臼录绊懙綆缀螠y度的選擇。這兩道題基本事件都是“螞蟻的位置”，轉(zhuǎn)化為數(shù)來刻畫就是點(diǎn)，只不過第一個(gè)問題中，總事件的區(qū)域是在三條邊上的點(diǎn)，構(gòu)成三條線段，因此可以用長度作為測度，而第二個(gè)問題中，總事件的區(qū)域是在三角形的內(nèi)部的點(diǎn)，構(gòu)成區(qū)域，因此可以用面積作為測度。否則以后遇到下面的例子，學(xué)生就容易混淆。

例1、等腰Rt△ABC中，∠C=900，在直角邊BC上任取一點(diǎn)M，求∠CAM<300的概率。

例2、等腰Rt△ABC中，∠C=900，在∠CAB內(nèi)作射線交線段BC于點(diǎn)M，求∠CAM<300的概率。

分析：此題組中的兩個(gè)問題，都是幾何概型的問題，但是考察的測度不一樣。例1基本事件是“在直角邊BC上任取一點(diǎn)M”， 總事件的區(qū)域是在線段BC上的點(diǎn)，所以測度定性為線段長度，所以所求概率等于 。而例2基本事件是“在∠CAB內(nèi)作射線AM”， 總事件的區(qū)域是從點(diǎn)A出發(fā)且在∠CAB內(nèi)的射線，所以測度定性為角度，過點(diǎn)A作射線與線段CB相交，這樣的射線有無數(shù)條，均勻分布在∠CAB內(nèi)，∠CAB=450，故而所求概率等于 。這兩個(gè)問題都是幾何概型的問題，但是選取的測度不一樣，結(jié)果也不一致。所以教師關(guān)鍵是要讓學(xué)生能分清總事件構(gòu)成的區(qū)域和基本事件的子區(qū)域，合理選擇測度。

背景三：

接下來授課教師給出題組三：

1、某人午覺醒來,發(fā)現(xiàn)表停了,他打開收音機(jī),想聽電臺整點(diǎn)報(bào)時(shí),求他等待的時(shí)間不多于10分鐘的概率.

2、甲、乙兩人約定在晚上7時(shí)到8時(shí)之間會面，并約定先到者應(yīng)等候另一個(gè)人一刻鐘，這時(shí)即可離去，那么兩人見面的概率是多少？

反思：對于問題1有個(gè)學(xué)生回答可以用圓心角之比，得到答案是1/6。我估計(jì)學(xué)生是聯(lián)想到了教室里的鐘表了，根據(jù)鐘表也許學(xué)生還可能會選擇弧長、圓心角、甚至扇形面積等作為測度，當(dāng)然問題都能得到解決，而當(dāng)以角度作為變量時(shí)，弧長和面積均與角度成正比關(guān)系，故這三種測度的選擇在本質(zhì)上是相同的。

如果教室里是個(gè)電子鐘呢？教師是不是現(xiàn)場可以點(diǎn)撥一下？這個(gè)時(shí)候?qū)W生更多會想是線段長之比，在數(shù)軸上畫一條線段，因此我覺得可以通過教師的啟發(fā)式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到弧長、角度、面積這些測度本質(zhì)上就是時(shí)間區(qū)域的長度，從形到數(shù)的轉(zhuǎn)變，實(shí)現(xiàn)了測度的優(yōu)化選擇，揭示出數(shù)學(xué)的本質(zhì)，突破了難點(diǎn)。因?yàn)樾抡n程強(qiáng)調(diào)：重視在實(shí)際情境中去體驗(yàn)和理解有關(guān)知識；注重過程，提倡在學(xué)習(xí)過程中學(xué)生的自主活動，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)規(guī)律、探求模式的能力。