基于擴展有限元法的RC剪力墻抗震性能模擬

甕文芳 余江滔 陸洲導 張遠淼

1 引 言

地震作用下的鋼筋混凝土結構的力學反應復雜，研究者一般通過低周反復荷載試驗對結構構件的抗震性能進行研究。鋼筋混凝土構件的抗震性能主要表現(xiàn)在強度[5]剛度退化，耗能能力變化，滯回曲線捏攏等。許多學者在試驗的基礎上進行大量數(shù)值模擬[1-6]，試圖通過模擬的方式，將混凝土開裂過程、破壞機理理論化，探究影響構件滯回性能、承載能力、延性等抗震性能的因素。其中大多數(shù)的數(shù)值模擬是基于有限元法。有限元法采用連續(xù)函數(shù)作為形函數(shù)，求解連續(xù)介質的連續(xù)變形時非常有效，但在模擬材料斷裂方面有著不可克服的困難?；炷磷鳛閺棿嘈圆牧?，開裂后反復荷載下會出現(xiàn)裂縫閉合的現(xiàn)象，若仍采用常規(guī)有限元法(CFEM)雖具有一定精度，但細觀上難以反映混凝土損傷機理，因此引入擴展有限元法。

擴展有限元法[7,8](Extended Finite Element Method，XFEM)是美國西北大學Belytschko教授為代表的研究組于1999年提出的一種數(shù)值方法，是基于單位分解的方法(PUM)對單元的形函數(shù)加以改進，從而考慮所研究問題的不連續(xù)性、奇異性和邊界層等特性。它除繼承了常規(guī)有限元法(CFEM)的優(yōu)點外，所使用的網(wǎng)格與結構內(nèi)部的幾何或物理界面無關，從而克服了諸如裂紋尖端高應力和變形集中區(qū)進行高密度網(wǎng)格剖分所帶來的困難，模擬裂紋生長時也無須對網(wǎng)格進行重新剖分。

一些學者已經(jīng)開始利用XFEM模擬構件開裂過程。方修君等[9]基于ABAQUS平臺子程序UEL開發(fā)了XFEM程序，利用黏聚性裂紋模型描述混凝土的非線性開裂[10]，模擬印度的Koyna壩的地震開裂過程?；糁衅G等[11]在XFEM的基礎上，推導了考慮裂尖加強的黏聚性裂縫擴展有限元法，并用這種算法模擬混凝土簡支梁集中荷載作用下的開裂過程。楊濤等[12]基于XFEM分別采用三維實體單元和桿單元模擬混凝土和鋼筋，采用非線性彈簧單元模擬鋼筋混凝土之間的粘結滑移，預設裂縫，模擬簡支梁的開裂過程。尹冠生等[13]利用XFEM對混凝土板與梁的損傷進行模擬。

本文采用ABAQUS基于擴展有限元模型對RC剪力墻低周反復荷載作用下的開裂破壞過程模擬，用平面應力單元(plane stress element)模擬混凝土，二力桿單元(truss element)模擬縱向鋼筋及箍筋，連接單元(connector element)模擬混凝土與鋼筋的粘結-滑移關系。對比低周反復模擬結果與試驗結果，包括裂縫開展、承載能力、位移延性和耗能能力等抗震性能，驗證了XFEM模擬的可靠性。然后利用該模型計算分析軸壓比、剪跨比對RC剪力墻承載力與極限位移的影響。

2 剪力墻設計與試驗

試驗按照《混凝土結構設計規(guī)范》(GB 50010—2010)[14]與《建筑抗震試驗方法規(guī)程》(JGJ 10—96)[15]制作了2個縮尺RC剪力墻模型，縮尺比例為1/2，分別命名為JLQ1、JLQ2。試件尺寸與配筋如圖1所示，配筋數(shù)量與試驗參數(shù)如表1所示，其他具體情況詳見文獻[15,16]。

圖1 剪力墻尺寸及配筋示意圖Fig.1 Details of the general geometry, element section and corresponding reinforcement of shear walls

表1剪力墻參數(shù)表

Table1Keyparametersofshearwalls

編號尺寸/mm暗柱縱筋縱筋配筋率全截面縱筋豎向分布筋配筋率箍筋/暗柱箍筋箍筋配筋率水平分布筋分布筋配箍率軸力/kN(軸壓比)JLQ1150×750×1 5008 122.086 101.22% 6@1000.77% 6@1000.37%480/0.3JLQ2150×750×1 5008 122.086 101.22% 6@1000.77% 6@1000.37%960/0.6

試件所用混凝土采用C30商品混凝土?；炷翞榧毷炷粒浜媳葹樗唷蒙匙印眉毷盟?1∶1.55∶3.61∶0.51。水泥為425#普通硅酸鹽水泥，沙子為細沙，細石最大粒徑為10 mm，水是普通自來水。通過混凝土軸心受壓試驗測得所用混凝土棱柱體抗壓強度平均值為40.1 MPa，彈性模量為30 244 MPa。所用鋼筋力學性能見表2：直徑φ6的鋼筋為HPB235級圓鋼，試件中φ10，φ12，φ18均為HRB335級螺紋鋼。

試驗加載根據(jù)《建筑抗震試驗方法規(guī)程》(JGJ 101—96)[15]規(guī)定進行，先施加豎向荷載到預定值，再施加水平荷載。水平加載采用荷載變形混合控制的加載制度，在試件屈服前采用荷載控制，在試件屈服后采用位移控制。試驗過程詳見文獻[16,17]。

表2鋼筋力學性能

Table2MechanicalpropertyofsteelbarsMPa

鋼筋直徑 6 10 12 18屈服強度354420419385極限抗拉強度456546596559

3 數(shù)值模擬參數(shù)取值

本文采用ABAQUS有限元分析軟件建立剪力墻的有限元模型，具體步驟如下：在Part模塊創(chuàng)建部件；在Property模塊定義材料性質；在Assembly模塊創(chuàng)建實體；在Mesh模塊劃分網(wǎng)格，再定義網(wǎng)格單元；在Step模塊創(chuàng)建兩個分析步，分別用于施加豎向軸力與反復水平作用；在Interaction模塊中定義各種約束、耦合，包括Connector、XFEM等；在Load模塊中定義模型的荷載和邊界條件，將底部完全固定，在頂梁中部施加反復的位移荷載，加載制度與荷載大小與試驗相同；在Job中提交分析；在Visualization模塊中查看模型的分析計算結果并提取所需要的數(shù)據(jù)。

模型采用XFEM算法來體現(xiàn)混凝土開裂的非連續(xù)力學性能。這一模型有別于其他基于連續(xù)性介質假定的混凝土模型，分析過程中混凝土的裂紋發(fā)生與發(fā)展都以虛擬節(jié)點[18](phantom node)的生成和分離體現(xiàn)?；炷粱趽p傷力學的traction-separation law來建立裂紋的演化過程，包括裂紋的生成(initiation)、裂紋發(fā)展(propagation)和裂紋面的分離(separating)三個部分?；炷恋恼蚴芾茐臑棣┬螖嗔褳橹?，采用XFEM來模擬Ι形裂紋的出現(xiàn)與擴展可以實現(xiàn)破壞的局部化。因此，本文提出的模型不需要定義混凝土的受拉應力-應變曲線，混凝土的受拉上升段視為線彈性，由輸入的彈性模量及最大周向強度因子決定。應力達到指定的周向強度后，判斷裂紋生成，裂紋面之間的殘余拉力由能量釋放率決定。本文以BK混合模式定義基于能量的指數(shù)形式(Exponential)損傷演化過程。

圖2 粘結—滑移關系曲線Fig.2 Bound-slip curve

4 數(shù)值模擬結果

將模擬結果與試驗所得結果對比，比較開裂與破壞、滯回曲線與滯回環(huán)和骨架曲線，以驗證ABAQUS擴展有限元對RC剪力墻抗震性能模擬的可行性。

4.1 開裂與破壞現(xiàn)象對比

試驗加載至破壞過程中，試件底部首先出現(xiàn)水平受拉裂縫。水平裂縫出現(xiàn)后，邊緣構件中部開始出現(xiàn)斜裂縫。斜裂縫分為兩種，一種是剪力墻邊緣的主拉應力裂縫，另一種是裂縫源于腹板中部，然后向邊緣發(fā)展。最終，JLQ1、JLQ2均以底部混凝土被壓碎，底部鋼筋壓彎破壞告終。

數(shù)值模擬裂縫結果與前面試驗現(xiàn)象較為符合，第一條水平裂縫出現(xiàn)的位置和隨后的開展形態(tài)與試驗現(xiàn)象基本一致。模擬的應力顯示最大位移時，主裂縫處鋼筋應變達到很大值，受壓側混凝土壓應變也達到相當大的程度，這與試驗中觀察到的外側鋼筋壓彎及受壓側混凝土壓碎的現(xiàn)象相符合，如圖3所示。其中圖3(a)、圖3(b)為最終破壞圖，圖3(c)為模擬第一條裂縫開裂情況，圖3(d)為模擬最終破壞圖。

4.2 混凝土開裂單元的力學反應

傳統(tǒng)的有限元計算中，混凝土常常被假定為均勻的連續(xù)介質，它的變形特性用宏觀應力-應變曲線形式描述，然后再提出本構關系來模擬這些曲線[20]。在近乎線彈性的強化階段，這一假定是合理的，但在材料受壓與受拉的軟化階段，這一假定存在很大的問題。大量的研究證明混凝土的受壓與受拉破壞實際上源于局部破壞，局部破壞發(fā)生后，通過得到的位移而轉化的應變只是整個測量范圍內(nèi)的平均值，不能反映局部應變的變化[21,22]。

圖3 試驗與模擬結果Fig.3 Results of experiment and simulation

下面基于底部邊緣區(qū)的混凝土開裂單元的力學反應，從開裂混凝土單元的角度淺析生成的滯回曲線。

如前文所述，開裂是一個位移非連續(xù)的過程。通過XFEM的計算，本模型中開裂表現(xiàn)為位移場在不連續(xù)單元處的跳躍，以虛擬節(jié)點之間的分離體現(xiàn)出來，如圖4所示。開裂后，單元會被增加的虛擬節(jié)點切斷?，F(xiàn)將被切斷的開裂單元取出，提取其Y方向的應力-應變曲線，如圖5所示。圖5與我們所熟悉的、傳統(tǒng)意義上的混凝土的應力-應變的滯回曲線有很大差別[23,24]。曲線可以認為由受壓加載、受壓卸載、受拉加載和受拉卸載四部分組成。對于混凝土的受壓損傷，本文采用各項同性強化準則(Isotropic Hardening Rule)的塑性模型(Plasticity Model)，因此受壓加載、受壓卸載與塑性材料無異。值得注意的是，受拉加載和受拉卸載是以線性的方式表現(xiàn)出來的。其物理意義是，混凝土達到最大周向拉應力后，裂紋生成，開裂單元的應力釋放，應變以原有的彈性模量的幅度回彈。相比連續(xù)介質單元模擬中應變不斷增大來反映裂縫的開展，這種受拉應變回彈無疑更接近真實情況，因此相對于CFEM，采用XFEM單元可以更好地模擬開裂混凝土的力學性能。

圖4 開裂單元開口Fig.4 Mouth opening of cracking elements

4.3 滯回曲線比較

圖5為試件JLQ1、JLQ2的模擬滯回曲線與試驗滯回曲線，通過滯回曲線的對比(見圖6)可知：

(1) ABAQUS模擬滯回曲線反映的剛度退化、耗能能力等均與試驗所得吻合較好，模型可以較好地模擬低周反復荷載作用下剪力墻的抗震性能。

(2) 滯回曲線對比圖中，JLQ1(軸壓比為0.3)滯回曲線較JLQ2(軸壓比為0.6)滯回曲線飽滿，表明用該方法模擬軸壓比的變化對剪力墻抗震性能產(chǎn)生的影響，與試驗對比結論一致。

圖7為水平加載峰值位移為20 mm時的模擬滯回環(huán)與試驗滯回環(huán)的對比，模擬結果JLQ2滯回環(huán)較JLQ1傾斜斜率增大，即構件剛度明顯增大，這與試驗所得的滯回環(huán)變化一致，表明ABAQUS模型可以很好地模擬出軸壓比變化對單個滯回環(huán)剛度的影響。

圖5 開裂混凝土的應力-應變滯回曲線Fig.5 Stress-strain hysteretic curves of cracked concrete

4.4 骨架曲線對比

力—位移滯回曲線中滯回環(huán)峰值點連線得到試件的骨架曲線。如圖8所示，通過骨架曲線對比，模擬骨架曲線與試驗所得骨架曲線基本重合，表明ABAQUS擴展有限元模型可以近乎精確地模擬出荷載與水平加載位移之間的關系。另外，JLQ2模擬得到的極限承載力明顯高于JLQ1，而極限位移相比較小，與試驗結果一致，又表明XFEM方法可以很好地模擬承載力與極限位移受軸壓比變化的影響。

圖6 滯回曲線對比Fig.6 Comparison of hysteretic curves

圖7 水平位移20 mm滯回環(huán)對比Fig.7 Comparison of hysteretic loops at 20 mm lateral displacement

圖8 骨架曲線對比Fig.8 Comparison of skeleton curves

JLQ1、JLQ2模擬結果以滯回曲線、單個滯回環(huán)、骨架曲線的形式直觀對比，將模擬和試驗所得的峰值荷載與位移總結如表3所示。由表中數(shù)據(jù)可知，峰值荷載最大誤差為3.39%，峰值位移最大誤差為6.67%，模擬結果與試驗結果吻合較好，證明采用XFEM模擬低周反復荷載試驗是可行的。由以上對比結果可知，采用ABAQUS基于擴展有限元方法對RC剪力墻承載力計算與試驗結果吻合較好。

表3模擬結果與試驗結果對比表

Table3Comparisonofresultsofexperimentandsimulation

剪力墻峰值荷載試驗值/kN模擬值/kN誤差峰值位移試驗值/mm模擬值/mm誤差JLQ1314.3325.03.39%37.540.06.67%JLQ2436.3447.32.52%21.119.8-6.42%

5 參數(shù)分析

采用XFEM模型對影響構件的參數(shù)軸壓比和剪跨比進行有限元分析。

5.1 軸壓比

模擬中采用11組不同的軸壓比，為了確定RC構件合適的軸壓比范圍，平均取0.1～1.0之間10個數(shù)進行單向的水平加載模擬，并設置軸壓比為0的對照組。模擬計算的結果如表4及圖9所示。

圖9 不同軸壓比下的極限位移對比Fig.9 Comparison of one-dimensional displacements with different axial compression ratios

表4不同軸壓比下峰值荷載的對比

Table4Comparisonofpeakloadwithdifferentaxialcompressionratio

軸壓比峰值荷載/kN軸壓比峰值荷載/kN軸壓比峰值荷載/kN0232.60.4387.50.8443.40.1285.10.5390.00.9455.50.2281.40.6421.51.0455.10.3334.80.7432.4

由上述計算結果可知：軸壓比小于0.6時，RC剪力墻承載力隨著軸壓比的增大而增大，且增大幅度比較明顯；當軸壓比大于0.6時，隨著軸壓比的增大，剪力墻承載力提高幅度明顯變小。軸壓比增大對承載能力提升的原因可能是其延緩和限制了裂縫的開展，從而減小裂縫間鋼筋的拉應力；在軸壓比增大到一定程度后對承載力提高幅度減小的原因可能是過大的軸壓比增大了受壓區(qū)混凝土的壓應力從而抑制了承載力的提高。

當軸壓比為0.1～0.3時，由于軸壓比較小，對極限位移幾乎沒有影響；而軸壓比大于0.3小于0.5時，軸壓比的增大使剪力墻的剛度增大，延性稍有減小；軸壓比大于0.5之后，延性急劇減小。

就承載力而言，軸壓比為0～0.6時，對剪力墻承載力有所提升，軸壓比取值越大越好；就延性而言，軸壓比取0～0.5比較合適，再增大就會造成延性的顯著下降。綜合考慮剪力墻承載力與位移延性影響，建議剪力墻軸壓比取值為0.5左右較合適。

5.2 剪跨比

試驗中剪力墻的剪跨比均為2，為更深入了解剪跨比對構件承載力的影響，模擬中采取了8組不同的剪跨比，進行單向的水平加載模擬。模擬的結果如表5及圖10所示。

表5不同剪跨比下峰值荷載的對比

Table5Comparisonofpeakloadwithdifferentshearspanratio

剪跨比峰值荷載/kN剪跨比峰值荷載/kN0.61 2611.35480.7410271.54900.879051.753861.16832335

由上述計算結果可知：RC剪力墻承載力隨著剪跨比的減小而增大，且承載力增大比較明顯，當剪跨比小于1.0之后，隨著剪跨比的減小，剪力墻承載力提高幅度明顯變大；構件極限位移隨著剪跨比的減小而減小。

剪跨比對墻體承載能力的提高作用可能是因為：剪跨比減小會減小水平推力引起的墻體底部的彎矩，從而抑制了水平裂縫的開展，這不僅對墻體抗彎能力有提升，對墻體的抗剪能力也有幫助。剪跨比較小時墻體的受力形式類似于深梁，其抵抗水平推力的能力強于剪跨比較大的墻體。

圖10 不同剪跨比下的單向位移對比Fig.10 Comparison of one-dimensional displacements with different shear span ratios

6 結 論

本文通過試驗與模擬的對比和ABAQUS擴展有限元進一步分析，可以得到以下結論：

(1) 采用基于XFEM的ABAQUS模型可以模擬混凝土開裂后的不連續(xù)性，通過計算結果與試驗結果對比，表明擴展有限元方法能夠有效模擬RC剪力墻裂縫開展后的力學性能和軸壓比變化對其產(chǎn)生的影響，具有較好的精度。

(2) XFEM法所得的單元滯回曲線有別于宏觀滯回曲線，它將混凝土破壞歸結為局部破壞，考慮了開裂后混凝土的受拉回彈，更接近真實情況，結果更加可靠。因此可以對單元滯回曲線對整體抗震性能的影響作進一步探究。

(3) RC剪力墻的承載力隨軸壓比的增大而增大，極限位移隨之減小；軸壓比大于0.6時，由于同時增大了受壓區(qū)的壓力而抑制構件承載力的增加。為了獲得較好的抗震性能，RC剪力墻設計時應考慮將軸壓比的大小限制在一定的范圍內(nèi)。

(4) 剪跨比對RC剪力墻的承載力也有較大的影響。剪跨比小的RC剪力墻破壞形式類似于深梁，隨剪跨比減小，承載力增大，極限位移減小，延性降低。因此，實際工程設計中，應將剪跨比也作為一項重要的影響因素加以考慮。

[ 1 ] 韓小雷,陳學偉,吳培峰,等.OpenSEES的剪力墻宏觀單元的研究[J].世界地震工程,2008,24(4):76-82.

Han Xiaolei, Chen Xuewei, Wu Peifeng, et al. Research on the shear wan macro-element of Open SEES [J]. World Earthquake Engineering, 2008, 24(4): 76-82.(in Chinese)

[ 2 ] 韓小雷，陳學偉,戴金花,等.基于OpenSEES的剪力墻低周往復試驗的數(shù)值分析[J].華南理工大學學報(自然科學版),2008, 36(12):8-16.

Han Xiaolei, Chen Xuewei, Dai Jinhua, et al. Numerical analysis for low-cyclic loading test of shear walls based on Open SEES [J]. Journal of South China University of Technology (Natural Science Edition), 2008(12), 36(12): 8-16.(in Chinese)

[ 3 ] 韓向科,張曉明.T形型鋼混凝土短肢剪力墻承載力模擬分析[J].山西建筑，2007,33(23):61-62.

Han Xiangke, Zhang Xiaoming. Simulation analysis of bearing capacity of short-leg T-shaped steel reinforced concrete shear wall [J]. Shanxi Architecture, 2007, 33(23): 61-62.(in Chinese)

[ 4 ] 呂西林，盧文生.纖維墻單元模型在剪力墻結構非線性分析中的應用[J].力學季刊,2005(3), 26(1):72-80.

Lu Xilin, Lu Wensheng. Application of element model non-linear analysis of shear wall structures[J]. Chinese Quarterly Mechanics, 2005(3), 26(1): 72-80.(in Chinese)

[ 5 ] 楊溥，唐劍，陳名弟,等.鋼筋混凝土異形柱在不同加載方向的受力性能分析[J].重慶大學學報(自然科學版),2005,28(8):117-121.

Yang Pu, Tang Jian, Chen Mingdi, et al. Analysis on seismic capacity for RC specially shaped columns in different horizontal direction[J]. Journal of Chongqing University(Natural Science Edition), 2005, 28(8): 117-121.(in Chinese)

[ 6 ] 王琨，袁沈峰，鄭文忠.水平荷載作用下型鋼混凝土梁-角鋼混凝土柱框架非線性有限元模擬[J].結構工程師,2011,27(6):41-47.

Wang Kun, Yuan Shenfeng, Zheng Wenzhong. Nonlinear finite element simulation on a frame structure of steel reinforced concrete beam and angle steel concrete column under horizontal loading[J]. Structural Engineers, 2011, 27(6): 41-47.(in Chinese)

[ 7 ] Belytschko T, Black T. Elastic crack growth in finite elements with minimal remeshing[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1999, 45(5): 601-620.

[ 8 ] Mo?s N, Dolbow J, Belytschko T. A finite element method for crack growth without remeshing[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1999, 46(1): 131-150.

[ 9 ] 方修君，金峰，王進廷.基于擴展有限元法的Koyna重力壩地震開裂過程模擬[J].清華大學學報(自然科學版)，2008,48(12)：2065-2069.

Fang Xiujun, Jin Feng, Wang Jinting. Seismic fracture simulation of the Koyna gravity dam using an extended finite element method [J]. Tsinghua Univ (Science and Technology), 2008, 48(12): 2065-2069.(in Chinese)

[10] 方修君,金峰,王進廷.用擴展有限元方法模擬混凝土的復合型開裂過程[J].工程力學,2007, 24(S1):46-52.

Fang Xiujun, Jin Feng, Wang Jinting. Simulation of mixed-mode fracture of concrete using extended finite element method [J]. Engineering Mechanics, 2007, 24(S1): 46-52.(in Chinese)

[11] 霍中艷，鄭東健.基于XFEM的黏聚性裂縫模型模擬混凝土開裂過程[C].中國計算力學大會2010(CCCM2010暨第八屆南方計算力學學術會議(SCCM8)論文集,2010.

Huo Zhongyan, Zheng Dongjian. Simulation of concrete cracking using cohesive crack model based on XFEM [C]. Proceedings of the 2010 Chinese Congress on Computational Mechanics in conjunction with the 8th South Congress on Computational Mechanics, 2010.(in Chinese)

[12] 楊濤，鄒道勤.基于XFEM的鋼筋混凝土梁開裂數(shù)值模擬[J].浙江大學學報(工學版),2013,47(3)：495.

Yang Tao, Zou Daoqin. Numerical simulation of crack growth of reinforced concrete beam based on XFEM[J]. Journal of Zhejiang University (Engineering Science),2013, 47(3): 495.(in Chinese)

[13] 尹冠生,周肖飛.基于XFEM的損傷擴展模擬[J].長安大學學報(自然科學版),2013,33(2):68-72.

Yin Guansheng, Zhou Xiaofei. Crack propagation simulation based on extended finite element method [J].Journal of Chang’an University (Natural Science Edition),2013, 33(2), 68-72.(in Chinese)

[14] 中華人民共和國住房和城市建設部.GB 50010—2010混凝土結構設計規(guī)范[S]. 北京：中國建筑工業(yè)出版社，2010.

Ministry Housing and Urban-Rural of Construction of the People’s Republic of China.GB 50010—2010 Code for design of concrete structures [S]. Beijing: China Architecture and Building Industry Press, 2010.(in Chinese)

[15] 中華人民共和國住房和城市建設部.JGJ 101—96建筑抗震試驗方法規(guī)程[S].北京：中國建筑工業(yè)出版社，1997.

Ministry of Construction of the People’s Republic of China.JGJ 101—96 Specification of testing methods for earthquake resistant building[S]. Beijing: China building Architecture and Press, 2010.(in Chinese)

[16] 唐波.“一”字形扁柱、短肢剪力墻擬靜力試驗研究[D].上海：同濟大學，2012.

Tang Bo. Pseudo-static experimental researches on flat column with shallow rectangular section and short-pier shear wall [D].Shanghai: Tongji University, 2012.(in Chinese)

[17] 魏亮亮.水平推力作用下短肢剪力墻的試驗和數(shù)值模擬研究[D].上海：同濟大學,2013.

Wei Liangliang. Experimental researches and numerical analysis of short-pier shear wall under horizontal thrust [D]. Shanghai: Tongji University, 2013.(in Chinese)

[18] Song J H, Areias PMA, Belytschko T. A method for dynamic crack and shear band propagation with phantom nodes [J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2006, 67(6): 868-893.

[19] CEB-FIP Model Code.Design code[S].1990.

[20] 陳惠發(fā).彈性與塑性力學[M].北京：中國建筑工業(yè)出版社,2005:276.

Chen Huifa. Elasticity and plasticity [M]. Beijing: China Architecture and Building Press,2005: 276.(in Chinese)

[21] Van Mier J G M. Complete stress-strain behavior and damaging status of concrete under multi-axial conditions [C]. International Conference on Concrete under Multi-axial Conditions, Pressesdel’ University’s Paul Sabatier, Toulouse, France,1984(1): 124-132.

[22] Korsovos M D. Effect of testing techniques on the post-ultimate behavior of concrete in compression [J]. Material and Structures (RILEM), 1983,16(91): 3-12.

[23] Lee J, Fenves G. Plastic-damage model for cyclic loading of concrete structures [J]. Engineering Mechanics. (1998), 124(8), 892-900.

[24] Sakai J, Kawashima. Unloading and reloading stress-strain model for confined concrete [J]. Structure Engineering, 2006, 132(1), 112-122.