用虛位移原理處理復(fù)雜的平衡問題

(南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校，江蘇 南京 211102)

虛位移原理最早由瑞士著名數(shù)學(xué)家約翰·伯努利(Johann Bernoulli,1667-1748)在1717年提出,又叫做虛功原理(principle of virtual work),是力學(xué)中的一條重要原理.虛位移原理的有意思之處在于其給出了求解靜力學(xué)平衡問題的動力學(xué)方法.讓我們來看一個具體的問題.

圖1

如圖1所示為升降機的結(jié)構(gòu)示意圖,已知桿長為l,桿與桿間用鉸鏈連結(jié),物塊的重力為mg.與A相連的物塊可在軌道中滑動,與E相連的物塊可在與其接觸的面上滑動,不計桿的質(zhì)量和一切摩擦.求使系統(tǒng)平衡的外力F.

圖2

因為沿桿的速度相等，所以有:

(1)

又因為B點的位移中y方向上的分量為:δyB=δsB·cosθ

(2)

再考慮到方向,由(1)(2)兩式可得:

(3)

不難發(fā)現(xiàn)，C點相對B點的位移為2δyB，D點相對于C點的位移也為2δyB、E點相對于D點的位移為δyB，所以，E點相對于地面的位移為6δyB，由虛位移原理，有：

δW=FδxA+mg·6δyB

(4)

由(3)(4)兩式可得F=3mgcotθ

從以上解答過程可以看出,應(yīng)用虛位移原理時,首先要假設(shè)一個虛運動,然后再找出相關(guān)虛位移之間的關(guān)系,最后利用虛位移原理列方程求解.當然,上述問題也可以用力的平衡和力矩的平衡知識來解,但是會比較繁瑣.

實際上,對于受理想約束(即沒有摩擦且約束力做功等于零的約束)的復(fù)雜系統(tǒng)的平衡問題,因為虛位移原理直接給出了各主動力之間的關(guān)系,從而使公式中避免出現(xiàn)約束力,這就避免了解聯(lián)立方程,使得計算過程大為簡化.

在處理復(fù)雜的平衡問題時,虛位移原理會顯得特別有力.另外,虛位移原理不僅可以用來求主動力,還可以功妙地求出系統(tǒng)的內(nèi)力.下面讓我們來看一個復(fù)雜的求內(nèi)力的問題.

如圖所示,一桁架尺寸和所受荷載如圖所示.已知:l=5m,h=3m,F=100N,假設(shè)各桿之間用鉸鏈相連,G點用一個可以左右滑動的架子支撐.試求CD桿中的內(nèi)力(不計桿的質(zhì)量和一切摩擦).

圖3

對于這個問題,如果單純用力的平衡和力矩的平衡來處理,確實不太容易理出思路,而如果采用虛位移原理,則會簡明許多.

我們可以將桁架的CD桿截斷，如圖所示，以F1和F1′代之，這樣桁架就分成了由桿AB、BC、CK、AK、BK組成的剛體Ⅰ和由桿DO、OE、EG、GH、HK、KD、DH、HO、HE組成的剛體Ⅱ.

圖4

假設(shè)K點向下有一個虛位移,設(shè)d為G點到F1′的作用線的垂直距離,此時剛體Ⅰ繞A點轉(zhuǎn)過的角度為δφ,剛體Ⅱ繞G點轉(zhuǎn)過的角度為δθ,此時F1與其作用點的位移垂直,不做功,F1′的功F1′dδθ,由虛位移原理,可得:

(1)

桁架下方的三根桿的彈力與虛位移方向垂直,所以不考慮其做功,所以

(2)

又顯然有:lδφ=2lδθ

(3)

由(1),(2),(3)式可得:

負號表示和圖示方向相反,桿CD中的彈力為壓力.

剛體是不可以發(fā)生形變的，題中原來的各個構(gòu)件之間是不可以有相對運動的,這里我們巧妙地截斷了CD桿,假設(shè)了一個運動,這樣虛位移原理得以運用.

綜上所述,虛位移原理對于復(fù)雜的靜力學(xué)問題,是一個特別簡明有力的方法,另外,雖然虛位移原理給出的是質(zhì)點或系統(tǒng)外力(主動力)之間的關(guān)系,但也可以通過巧妙的處理,來求出系統(tǒng)的內(nèi)力.