一類具有非線性收獲率的捕食者-食餌生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的分支分析

劉唯一，傅朝金，陳靜，柯于勝

(1.咸寧職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電工程系，湖北 咸寧 437100;2.湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石 435002)

一類具有非線性收獲率的捕食者-食餌生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的分支分析

劉唯一1，2，傅朝金2，陳靜2，柯于勝2

(1.咸寧職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電工程系，湖北 咸寧 437100;2.湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石 435002)

研究了一類捕食者-食餌生態(tài)經(jīng)濟(jì)模型的動(dòng)力學(xué)行為．該模型具有非線性收獲率，這使得模型更具一般性．選取經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)v作為分支參數(shù)，通過(guò)局部參數(shù)化方法，Hopf分支理論和形式級(jí)數(shù)方法研究了系統(tǒng)的Hopf分支．同時(shí)，改進(jìn)的參數(shù)化計(jì)算過(guò)程更簡(jiǎn)單，能夠處理更復(fù)雜的模型．最后，通過(guò)MATLAB仿真證明了我們的結(jié)果．

微分代數(shù)方程；穩(wěn)定性；Hopf分支；非線性收獲率；改進(jìn)的算法

0 引言

近年來(lái)，捕食者-食餌生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)受到數(shù)學(xué)工作者的廣泛關(guān)注和深入研究．文獻(xiàn)[1～4]研究了建立在微分方程基礎(chǔ)上具有人為收獲的捕食者-食餌系統(tǒng)，得到了復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，如平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性[1～3]，Hopf分支[2]，Bogdanov-Takens分支[3]，極限環(huán)[1，3，4]等．文獻(xiàn)[5～8]給出了基于微分代數(shù)方程的捕食者-食餌生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，系統(tǒng)地研究了奇異誘導(dǎo)分支[6]，狀態(tài)反饋控制[6]，鞍結(jié)分支[6～8]等．文獻(xiàn)[9～11]研究了具有線性收獲率的捕食者-食餌生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的中心穩(wěn)定性和Hopf分支．然而，線性收獲率只是一種理想化的情形．本文研究一類具有非線性收獲率的系統(tǒng)，模型如(1)式

(1)

內(nèi)討論系統(tǒng)(1)．

本文將對(duì)系統(tǒng)(1)進(jìn)行定性研究，以經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)v作為分支參數(shù)，通過(guò)參數(shù)化方法，Hopf分支理論和形式級(jí)數(shù)方法討論系統(tǒng)的Hopf分支，然后通過(guò)MATLAB數(shù)值模擬驗(yàn)證結(jié)果的正確性和合理性。

1 Hopf分支分析

為了方便，令

對(duì)于系統(tǒng)(1)，易求得平衡點(diǎn)為

在文獻(xiàn)[9～11]中，作者均對(duì)原系統(tǒng)作了一個(gè)線性變換，轉(zhuǎn)而去分析變換后系統(tǒng)，事實(shí)上這是多余的，而且會(huì)導(dǎo)致后面的計(jì)算量增大．如果模型比較復(fù)雜，則很難計(jì)算出結(jié)果．所以我們?nèi)サ袅诉@一過(guò)程而直接分析系統(tǒng)(1)．

現(xiàn)考慮如下所定義的系統(tǒng)(1)的局部參數(shù)化Ψ：

X=Ψ(v,Y)=X0(v)+U0Y+V0h(v,Y),g(v,Ψ(v,Y))=0

其中

h:2→是一個(gè)光滑映射．于是(1)的參數(shù)化系統(tǒng)為

即

(2)

關(guān)于上述參數(shù)化系統(tǒng)(2)的詳細(xì)定義可參見(jiàn)文獻(xiàn)[12]．系統(tǒng)(1)的正平衡點(diǎn)X0對(duì)應(yīng)于參數(shù)化系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)Y=0，參數(shù)化系統(tǒng)(2)在平衡點(diǎn)Y=0 處的特征方程為

λ2+a1(v)λ+a2(v)=0

(3)

其中

如果方程(3)存在零實(shí)部的特征根，系統(tǒng)(1)將會(huì)發(fā)生Hopf分支．

現(xiàn)在我們選擇經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)v作為分支參數(shù)來(lái)研究系統(tǒng)(1)的Hopf分支．在方程(3)中，令a1(v)=0，得分支值v0，滿足

事實(shí)上，如果令a12(v)<4a2(v) ，方程(3)有一對(duì)共軛根：

為了計(jì)算Hopf分支，根據(jù)文獻(xiàn)[12，13]，當(dāng)v=v0，X=X0時(shí)，需要求出系統(tǒng)(1)的如下標(biāo)準(zhǔn)型

(4)

可以證明參數(shù)化系統(tǒng)(2)當(dāng)v=v0,X=X0時(shí)可寫為

(5)

由鏈?zhǔn)椒▌t可求得

f2y1y2y2(v0,X0)=0f2y2y2y2(v0,X0)=0

對(duì)比(5)和(4)，現(xiàn)對(duì)(5)進(jìn)行如下非奇異線性變換

這樣就求出了標(biāo)準(zhǔn)型(4)的全部非零系數(shù)，其中

根據(jù)Hopf分支理論[13]，需要計(jì)算16σ0的值．

由上面的結(jié)果，有如下定理

定理1 對(duì)系統(tǒng)(1)，存在一個(gè)正常數(shù)ε和正平衡點(diǎn)X0(v)的兩個(gè)充分小的鄰域O，P，其中0<ε?1,O?P．

情形1：如果16σ0>0，那么

1) 當(dāng)v0

情形2：如果 16σ0<0，那么

1) 當(dāng)v0-ε

2 數(shù)值仿真

例 我們?nèi)∠到y(tǒng)(1)的系數(shù)如下

a=0.5，b=2,d=2,r=1,p=4,c=1,k=2,m=0.1

于是系統(tǒng)(1)為

(6)

容易求得正平衡點(diǎn)為X0=(0.5000000，0.6779619,0.3381400)T,分支值為v0=0.30594 ．由定理1，當(dāng)vv0時(shí)，X0(v)是不穩(wěn)定的．

在圖1中，系統(tǒng)(6)的平衡點(diǎn)X0(v) 是局部漸近穩(wěn)定的．在圖2中，系統(tǒng)(6)在X0(v) 處產(chǎn)生一個(gè)周期軌道．在圖3中，系統(tǒng)(6)的平衡點(diǎn)X0(v) 是不穩(wěn)定的．

圖1 當(dāng)初值為x0=0.499 ，y0=0.666,e0=0.333 ，經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)v=0.27999

圖2 當(dāng)初值為x0=0.499，y0=0.666，e0=0.333，經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)v=0.30590

圖3 當(dāng)初值為x0=0.499,y0=0.666,e0=0.333,經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)v=0.31890>v0時(shí)的Hopf分支圖

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Bifurcationanalysisofapredator-preybiologicaleconomicsystemwithnonlinearharvestingrate

LIU Wei-yi1，2，F(xiàn)U Chao-jin2，CHEN Jing2，KE Yu-sheng2

(1.Department of Mechanical and Electrical Engineering，Xianning Vocational Technical College，Xianning 437100，China;2.College of Mathematics and Statistics，Hubei Normal University，Huangshi 435002，China)

In this paper，we analyze a biological economic system with harvesting effort on prey．Different from previous researchers' models，this model with nonlinear harvesting rate is more general．By employing local parameterization method，Hopf bifurcation theory and the formal series method，the Hopf bifurcation of the proposed system is investigated．Here we choose economic revenue as a positive bifurcation parameter．And the improved calculation process of parameterization is much more simple and it can handle more complex models which could not be dealt with by previous algorithms due to extensive calculation．Finally，by MATLAB simulation，the validity and feasibility of obtained results are illustrated．

differential-algebraic equations；stability；Hopf bifurcation；nonlinear harvesting rate；improved algorithm

2013—12—11

劉唯一(1979— )，男，湖北黃石人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)槲⒎址匠膛c控制論.

O193

A

1009-2714(2014)02- 0046- 06

10.3969/j.issn.1009-2714.2014.02.011