一類食餌依賴型捕食-食餌系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析與最優(yōu)捕獲

陳 靜，李必文，劉唯一，劉細(xì)憲，柯于勝

(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 湖北 黃石 435002)

一類食餌依賴型捕食-食餌系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析與最優(yōu)捕獲

陳 靜，李必文，劉唯一，劉細(xì)憲，柯于勝

(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 湖北 黃石 435002)

首先建立了一類食餌依賴型捕食-食餌生態(tài)經(jīng)濟(jì)模型，并對該模型的生物經(jīng)濟(jì)學(xué)涵義作了簡要說明；接下來運(yùn)用Routhchurwitz判據(jù)對系統(tǒng)平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性進(jìn)行了詳細(xì)分析，得到了該系統(tǒng)正平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性判據(jù)；最后通過動(dòng)力學(xué)分析得到了食餌種群持久生存前提下的最大持續(xù)收獲量，同時(shí)探究了該前提下價(jià)格隨供求變化的經(jīng)濟(jì)效益的最大值.

捕食-食餌模型;食餌依賴;生態(tài)經(jīng)濟(jì);價(jià)格隨供求變化;局部穩(wěn)定性;最優(yōu)捕獲

0 引言

在人類有限度的捕獲下，可再生資源一般具有一定的自我恢復(fù)能力.然而，由于一味地追求高產(chǎn)出高效益，人類在發(fā)展社會(huì)經(jīng)濟(jì)的過程中對可再生資源進(jìn)行過度地開發(fā)利用，導(dǎo)致可再生資源日趨枯竭，破壞了賴以生存的生態(tài)環(huán)境，制約著社會(huì)、經(jīng)濟(jì)的發(fā)展.人類應(yīng)該在持續(xù)穩(wěn)產(chǎn)的大前提下適度開發(fā)再生資源，以維持生物種群的長久持續(xù)生存為基礎(chǔ)追求最高產(chǎn)量或最優(yōu)的經(jīng)濟(jì)效益.

本文著手研究了一類食餌具有Logistic增長率的價(jià)格隨供求變化的捕食-食餌系統(tǒng)穩(wěn)定性與最優(yōu)捕獲. 我們的模型建立于文獻(xiàn)[2]的捕食-食餌系統(tǒng)，如下：

(1)

其中x,y分別表示食餌和捕食者的密度，a,r,k都是正常數(shù)，E為捕撈努力量.

為了更貼近實(shí)際，捕食者與食餌之間的相互作用可以用一個(gè)與食餌數(shù)量相關(guān)的功能函數(shù)來描述：

(2)

1 模型解釋

對于系統(tǒng)(2)，令

則F1(μ,X) 、F2(μ,X) 分別表示食餌種群、捕食者種群的增長率，從而我們可以得到以下結(jié)論：

2 平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性

易計(jì)算得系統(tǒng)(2)存在唯一的平衡點(diǎn)：

(3)

從生物經(jīng)濟(jì)學(xué)角度出發(fā)，為使得食餌、捕食者、捕獲強(qiáng)度都有意義，我們只考慮該系統(tǒng)的正平衡點(diǎn)，故而此處a-bβ>0,r-E-kx0>0.

系統(tǒng)(2)在正平衡點(diǎn)處的雅可比矩陣為

特征方程：

λ2+a1(μ)λ+a2(μ)=0

(4)

其中

從而可得出如下定理.

定理 (平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性)

i) 當(dāng)捕撈強(qiáng)度E 滿足：

ii)當(dāng)捕撈強(qiáng)度E 滿足：

3 最優(yōu)捕獲問題

3.1持續(xù)產(chǎn)量

首先我們來關(guān)注上述定理的生物經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋：

3.2最大持續(xù)收獲量的捕撈策略

3.3價(jià)格隨供求變化的經(jīng)濟(jì)效益最大化

1954年，Gordon在文獻(xiàn)[6]中提出了這樣的經(jīng)濟(jì)理論：

凈利潤 (NER) =總收入 (TR) - 總成本 (TC)

記利潤為v，捕獲努力量為E，單位捕獲量的價(jià)格為p，單位捕獲量所投入的實(shí)際成本為c，總產(chǎn)量記為Y(E)，則總收入為TR=pY(E)，總成本是TC=cE，從而有

v=pY(E)-cE

(5)

我們都知道，在市場經(jīng)濟(jì)中商品的價(jià)格與市場供求量息息相關(guān). 對此，在商品需求量固定不變的假設(shè)下，范猛等學(xué)者提出了更加符合實(shí)際的價(jià)格函數(shù)([文獻(xiàn)5])：

(6)

結(jié)合(5)式與(6)式，我們可以這樣定義利潤：

(7)

此時(shí)的最大可持續(xù)凈收益：

[1]王 靜，王 克.具有年齡結(jié)構(gòu)的單種群模型單一捕獲的優(yōu)化問題[J]. 東北師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2013，35(2)：1～6.

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StabilityanalysisandoptimalharvestofAprey-dependentpredator-preybiologicaleconomicsystem

CHEN Jing，LI Bi-wen，LIU Wei-yi，LIU Xi-xian，KE Yu-sheng

(College of Mathematical and Statistics，Hubei Normal University，Huangshi 435002，China)

In this paper，an economic harvesting model of prey-dependent is established. After a bio-economic explanation of the model，we analyze the local stability of positive equilibrium point in detail by routhchurwitz criterion，and naturally get the criteria for local stability. Maximum sustainable yield is given through dynamics analysis when the permanence of prey is guaranteed. Similarly，the revenue with price changed with demand and supply is studied and the maximum revenue is presented.

predator-prey model; prey-dependent; biological economic; price changed with demand and supply; local stability; optimal harvesting

2013—12—15

陳靜(1987— )，女，湖北黃岡人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)槲⒎址匠膛c控制論.

O175.14

A

1009-2714(2014)02- 0035-05

10.3969/j.issn.1009-2714.2014.02.009