關(guān)于 X-Gorenstein投射模與 Y-Gorenstein內(nèi)射模的余撓對(duì)

任蘭蘭, 楊曉燕

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅蘭州730070)

1 引言及預(yù)備知識(shí)

本文中的環(huán)均指有單位元的結(jié)合環(huán),模均為酉模,所有的R-模如無(wú)特別說(shuō)明均指右R-模.用Mod-R表示右R-模范疇,P( I和 F)表示投射(內(nèi)射和平坦)模類,對(duì)任意的R-模M,pd(M)(id(M)和fd(M))代表模M的投射(內(nèi)射和平坦)維數(shù).若R是一個(gè)Gorenstein環(huán),則對(duì)任意的模M,pd(M)<∞當(dāng)且僅當(dāng)id(M)<∞[1].設(shè)W1表示所有投射維數(shù)有限的模類.M.Hovey[2]證明了若R是一個(gè)Gorenstein環(huán),則(W1,GI)和(GP,W1)是完備遺傳的余撓對(duì),其中GI是Gorenstein內(nèi)射模類,GP是Gorenstein投射模類.若R是一個(gè)n-FC環(huán),則對(duì)任意的模M,fd(M)<∞當(dāng)且僅當(dāng)FP-id(M)<∞[3].設(shè)W2表示所有平坦維數(shù)有限的模類.J.Gillespie[3]證明了若R是一個(gè)n-FC環(huán),則(W2,DI)和( D P, W2)是完備遺傳的余撓對(duì),其中DDII是Ding-內(nèi)射模類,DP是Ding-投射模類.

設(shè)X是一個(gè)包含所有投射模的模類.證明了若X是一個(gè)可解的預(yù)包絡(luò)類且對(duì)任意的內(nèi)射模I, X-pd(I)<∞,則(X- G P,( X- G P)⊥)是一個(gè)遺傳的余撓對(duì),其中X- G P是 X-Gorenstein投射模類.設(shè)Y是一個(gè)包含所有內(nèi)射模的模類.對(duì)偶的,證明了若Y是一個(gè)余可解的預(yù)覆蓋類且對(duì)任意的投射模P,Y-id(P)<∞,則(⊥(Y- G I), Y- G I)是一個(gè)遺傳的余撓對(duì),其中Y- GI是 Y-Gorenstein內(nèi)射模類.

設(shè)B是一個(gè)模類,M是一個(gè)R-模.稱模同態(tài)?:M→B是M的一個(gè)B-預(yù)包絡(luò),其中B∈ B,如果對(duì)任意的D∈B,同態(tài)HomR(?,D):HomR(B,D)→HomR(M,D)是一個(gè)滿同態(tài).稱?:M→B是M的一個(gè)B-包絡(luò),如果滿足g?=?的恒等自同態(tài)g:B→B是一個(gè)同構(gòu).對(duì)偶地,可以定義B-預(yù)覆蓋和B-覆蓋.B-包絡(luò)和B-覆蓋有可能不存在,如果存在,在同構(gòu)的意義下是唯一的.稱(A,B)是一個(gè)余撓對(duì),如果A⊥=B且A=⊥B,其中A和B是任意的模類,,?B∈B}.稱余撓對(duì)( A, B)是遺傳的,如果對(duì)任意的正合列0→A1→A2→A3→0,其中A2,A3∈A,則A1∈A;等價(jià)于,如果對(duì)任意的正合列0→B1→B2→B3→0,其中B1,B2∈B,則B3∈B.稱余撓對(duì)(A,B)有足夠的投射對(duì)象,如果對(duì)任意的R-模M,存在一個(gè)短正合列0→B→A→M→0,其中B∈B,A∈A.對(duì)偶地,也可定義余撓對(duì)(A,B)有足夠的內(nèi)射對(duì)象.稱余撓對(duì)(A,B)是完備的,如果它有足夠的投射和內(nèi)射對(duì)象.

2 余撓理論

3 應(yīng)用

注記3.11)設(shè)X是投射R-模的類.由文獻(xiàn)[1]知,X-Gorenstein投射R-模類就是Gorenstein投射R-模類.用GP表示Gorenstein投射R-模的類.

2)設(shè)Y是內(nèi)射R-模的類.由文獻(xiàn)[1]知, YGorenstein內(nèi)射R-模類就是Gorenstein內(nèi)射R-模類.用GI表示Gorenstein內(nèi)射R-模的類.

3)設(shè)X是平坦R-模的類.由文獻(xiàn)[7]知, XGorenstein投射R-模類就是Ding-投射R-模類.用DP表示Ding-投射R-模的類.

4)設(shè)Y是FP-內(nèi)射R-模的類.由文獻(xiàn)[3]知,Y-Gorenstein內(nèi)射R-模類就是Ding-內(nèi)射R-模類.用DI表示Ding-內(nèi)射R-模的類.

稱環(huán)R是一個(gè)n-Gorenstein環(huán),如果它是左右Noetherian環(huán)且R的左右自內(nèi)射維數(shù)不超過(guò)n.稱環(huán)R是一個(gè)Ding-Chen環(huán),如果對(duì)某個(gè)n,它是一個(gè)n-FC環(huán)(即R是左右coherent環(huán)且R的左右自FP-內(nèi)射維數(shù)不超過(guò)n).稱環(huán)R是完全環(huán),如果每一個(gè)R-模都有投射覆蓋.對(duì)任意R-模N,其FP-內(nèi)射維數(shù)定義為使得的最小的非負(fù)整數(shù)n,其中F是任意的有限表示R-模.記N的FP-內(nèi)射維數(shù)為FP-id(N).若上述的n不存在,則規(guī)定FP-id(N)=∞.

命題3.2設(shè)R是左凝聚右完全環(huán)且FP-id(RR)<∞.則(GP, G P⊥)是遺傳的余撓對(duì).特別地,若R是n-Gorenstein環(huán),則(GP, G P⊥)是完備的余撓對(duì).

證明由文獻(xiàn)[8]定理3.8和已知條件知,對(duì)所有的內(nèi)射R-模I,pd(I)<∞.由文獻(xiàn)[1]命題6.5.1和定理5.3.2知,若R是左凝聚右完全環(huán),則P是預(yù)包絡(luò)類.又因?yàn)镻是可解的,所以由定理2.7知,(GP, G P⊥)是遺傳的余撓對(duì).特別地,若R是n-Gorenstein環(huán),則(GP, G P⊥)是完備的余撓對(duì).

命題3.3設(shè)R是右Noetherian環(huán)且id(RR)<∞,則(⊥GI, G I)是遺傳的余撓對(duì).特別地,若R是n-Gorenstein環(huán),則(⊥GI, G I)是完備的余撓對(duì).

證明因?yàn)镽是右Noetherian環(huán),所以由文獻(xiàn)[9]命題2.2知,I是預(yù)覆蓋類.對(duì)任意投射R-模P,存在自由R- 模R(Λ)使得P是R(Λ)的直和項(xiàng).因?yàn)閕d(RR)< ∞,,所以id(P)< ∞.又因?yàn)镮是余可解的,所以由定理2.12知,(⊥GI,GI)是遺傳的余撓對(duì).特別地,若R是n-Gorenstein環(huán),則(⊥GI,GI)是完備的余撓對(duì).

命題3.4設(shè)R是左凝聚環(huán)且FP-id(RR)<∞,則(DP, D P⊥)是遺傳的余撓對(duì).特別地,若R是Ding-Chen環(huán),則(DP, D P⊥)是完備的余撓對(duì).

證明由文獻(xiàn)[1]命題6.5.1和已知條件知,F是預(yù)包絡(luò)類.由文獻(xiàn)[8]定理3.8知,若R是左凝聚環(huán)且FP-id(RR)<∞,則對(duì)所有的內(nèi)射R-模I,fd(I)<∞.又F是可解的.因此由定理2.7知,( D P,D P⊥)是遺傳的余撓對(duì).特別地,若R是Ding-Chen環(huán),則(DP, D P⊥)是完備的余撓對(duì).

命題3.5設(shè)R是右凝聚環(huán)且FP-id(RR)<∞,則(⊥DI, D I )是遺傳的余撓對(duì).特別地,若R是Ding-Chen環(huán),則(⊥DI, D I)是完備的余撓對(duì).

證明因?yàn)镽是右凝聚環(huán),所以由文獻(xiàn)[10]定理2.6知,FP-內(nèi)射R-模的類是預(yù)覆蓋類.由文獻(xiàn)[8]定理3.8知,對(duì)任意投射R-模P,FP-id(P)<∞.且由文獻(xiàn)[10]命題2.2知,FP-內(nèi)射R-模類是余可解的.因此由定理2.12知,(⊥DI,DI)是遺傳的余撓對(duì).特別地,若R是Ding-Chen環(huán),則(⊥DI,DI)是完備的余撓對(duì).

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