飲馬問(wèn)題的拓展與應(yīng)用

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(杭州市公益中學(xué) 浙江杭州 310014)

1 走進(jìn)數(shù)學(xué)故事

唐朝詩(shī)人李欣的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭2句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題．

如圖1所示，詩(shī)中將軍在觀望烽火之后從山腳下的點(diǎn)A出發(fā)，走到河邊飲馬后再到點(diǎn)B宿營(yíng)．請(qǐng)問(wèn)怎樣走才能使總路程最短？

這個(gè)問(wèn)題早在古羅馬時(shí)代就有了，傳說(shuō)亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫．一天，一位羅馬將軍專(zhuān)程去拜訪他，向他請(qǐng)教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題：將軍每天從軍營(yíng)A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的B地開(kāi)會(huì)，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？

從此，這個(gè)被稱(chēng)為“將軍飲馬”的問(wèn)題廣泛流傳開(kāi)來(lái)[1]．

對(duì)稱(chēng)性在初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)中都有著廣泛的應(yīng)用，利用對(duì)稱(chēng)性求最值的問(wèn)題伴隨著學(xué)生從小學(xué)到大學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程.在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)引領(lǐng)學(xué)生對(duì)對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題進(jìn)行合理地探索，顯得迫切而必要．

圖1 圖2

2 探索數(shù)學(xué)本真

如圖2所示，從點(diǎn)A出發(fā)向河岸引垂線，垂足為D，在AD的延長(zhǎng)線上，取A關(guān)于河岸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，聯(lián)結(jié)A′B，與河岸線相交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C就是飲馬的地方.將軍只要從點(diǎn)A出發(fā)，沿直線走到點(diǎn)C，飲馬之后，再由點(diǎn)C沿直線走到點(diǎn)B，所走的路程就是最短的．如果將軍在河邊的另外任一點(diǎn)C′飲馬，所走的路程就是AC′+C′B，但是

AC′+C′B=A′C′+C′B>A′B=

A′C+CB=AC+CB.

可見(jiàn)，在點(diǎn)C外任何一點(diǎn)C′飲馬，所走的路程都要遠(yuǎn)一些．由作法可知，河流l相當(dāng)于線段AA′的中垂線，因此AC=A′C.將軍走的路程是AC+BC，就等于A′C+BC，而由兩點(diǎn)之間線段最短知，當(dāng)點(diǎn)C為直線A′B與直線l的交點(diǎn)時(shí)，AC+BC最短．

當(dāng)然，若取點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，聯(lián)結(jié)AB′，結(jié)論亦然．

初中階段的圖形變換包括對(duì)稱(chēng)變換、平移變換、旋轉(zhuǎn)變換與相似變換，通過(guò)對(duì)稱(chēng)變換的探索，使學(xué)生掌握研究圖形變換的思想方法，實(shí)現(xiàn)思維遷移，達(dá)到舉一反三的目的．

3 初步感知變式

變式1如圖3所示，若點(diǎn)A到直線L的距離AC是3千米，點(diǎn)B到直線L的距離BD是1千米，并且點(diǎn)C,D的距離為4千米，在直線L上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小，并求這個(gè)最小值．

圖3

變式2如圖4所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，x軸上的動(dòng)點(diǎn)M(x，0)到定點(diǎn)P(-8，1)和到Q(4，5)的距離分別為MP和MQ，當(dāng)MP+MQ取最小值時(shí)，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)．

圖4 圖5

分析如圖5，作點(diǎn)P(-8，1)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′(-8，-1)，當(dāng)M為直線P′Q與x軸的交點(diǎn)時(shí)，MP+MQ的值最小．

圖6 圖7

飲馬問(wèn)題的核心是怎樣將原問(wèn)題化歸為兩點(diǎn)之間線段最短的問(wèn)題．通過(guò)設(shè)置不同的問(wèn)題背景，在變式過(guò)程中讓學(xué)生感悟這種化歸思想，提升學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力．

3 探索拓展應(yīng)用

拓展1如果飲馬人從圖8中的點(diǎn)A出發(fā)到筆直的河岸l去飲馬，且沿河走一段路程a，然后再去B地，走什么樣的路線最短呢？

圖8

分析考慮到飲馬人必須在河邊走一段路程a，然后再去B地，可以先將點(diǎn)B平移至點(diǎn)E，再用“飲馬問(wèn)題”的模型來(lái)求解．

如圖8，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，過(guò)點(diǎn)B作BE∥l，且BE=a，聯(lián)結(jié)A′E交l于點(diǎn)P，在l上截取PD=a，且點(diǎn)B,D在直線EP的同側(cè)，采取的路線為A→P→D→B時(shí)，總路程最短．

例1如圖9所示，已知點(diǎn)A(3，4)，B(-1，1)，在x軸上另取2個(gè)點(diǎn)E,F(點(diǎn)F在點(diǎn)E的右側(cè))，且EF=1．線段EF在x軸上平移，當(dāng)線段EF平移至何處時(shí)，四邊形ABEF的周長(zhǎng)最??？求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)．

圖9 圖10

拓展2如圖11所示，如果飲馬人從點(diǎn)A出發(fā)，先到筆直的草地邊l1的某一處牧馬，再到筆直的河岸l2去飲馬，然后回到B處，走什么樣的路線最短？

圖11

分析本題實(shí)際上是“飲馬問(wèn)題”的組合，分別作點(diǎn)A關(guān)于l1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，點(diǎn)B關(guān)于l2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，就可找到最短的線路．聯(lián)結(jié)A′B′分別交直線l1,l2于點(diǎn)P,Q，聯(lián)結(jié)AP,PQ,BQ，采取的路線為A→P→Q→B時(shí)，可使總路程最短．

例2如圖12所示，∠AOB=45°，角內(nèi)有一點(diǎn)P，PO=10，在角的2條邊上有點(diǎn)Q,R(均不同于點(diǎn)O)，問(wèn)△PQR周長(zhǎng)的最小值是多少？此時(shí)，∠QPR的度數(shù)是多少？

圖12 圖13

此時(shí)，因?yàn)椤螼PQ=∠OP1Q=45°，∠OPR=∠OP1R=45°，所以∠QPR的度數(shù)為90°．

拓展3如圖14所示，如果飲馬人從邊AC上的一點(diǎn)P出發(fā)，先到筆直的草地邊AB的某一處牧馬，再到與草地邊AB垂直的筆直河岸BC去飲馬，然后回到P處，如何確定點(diǎn)P的位置，使得所走的路線最短？

圖14 圖15

分析如圖15，分別作點(diǎn)P關(guān)于AB,AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′,P″，聯(lián)結(jié)BP′，BP″,可證△ABP′≌△A′BP″，可得點(diǎn)P′,B,P″共線，因此折線P′D,DE,EP″的最短路程是P′P″．因?yàn)槠叫芯€之間垂線段最短，所以當(dāng)P′P″⊥AC′時(shí)，P′P″最短．

圖16

例3如圖16所示，已知在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，D,E,F分別是邊AB,BC,CA上的點(diǎn)，求DE+EF+FD的最小值.

分析由拓展3的分析可知：DE+EF+FD的最小值為P′P″，而當(dāng)P′P″⊥AC′時(shí)，P′P″的值最?。绢}中，由AB=3，BC=4可得

飲馬問(wèn)題的拓展變式在中考、競(jìng)賽與提前招生試題中屢屢出現(xiàn).教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷拓展過(guò)程，對(duì)于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣、提高思維與探索能力不無(wú)裨益.當(dāng)然，我們也更加期待新的拓展與變式的出現(xiàn)．

4 總結(jié)歸納升華

通過(guò)一系列的探索可知，將軍飲馬問(wèn)題的實(shí)質(zhì)：(1)求最短路線問(wèn)題，通過(guò)幾何變換找對(duì)稱(chēng)圖形；(2)把點(diǎn)A,B在直線同側(cè)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在直線的2側(cè)的問(wèn)題，化折線為直線；(3)利用“兩點(diǎn)之間線段最短”與“平行線之間垂線段最短”加以解決．

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 李柱南.飲馬問(wèn)題[J].湖南教育：數(shù)學(xué)教師，2008(6)：46.