分形與連分?jǐn)?shù)

閆月靜，李 核，劉 豐

（吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 四平 136000）

分形與連分?jǐn)?shù)

閆月靜，李 核，劉 豐

（吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 四平 136000）

分形幾何學(xué)以非規(guī)則幾何形態(tài)為研究對(duì)象，在數(shù)論中有著重要的應(yīng)用.連分?jǐn)?shù)的展式具有分形集結(jié)構(gòu)的自相似性，可以估算其部分商滿(mǎn)足一定條件下的Hausdorff維數(shù).

分形;連分?jǐn)?shù)；Hausdorff測(cè)度；Hausdorff維數(shù)

1 分形理論

1.1 分形的定義

在20世紀(jì)70年代，Mandelbrot為了表征復(fù)雜圖形和復(fù)雜過(guò)程引入了“分形”(fractal)一詞，它的原意是指不規(guī)則的、支離破碎的物體，隨后又將其引入到自然學(xué)科領(lǐng)域，逐步形成了以非規(guī)則幾何形態(tài)為研究對(duì)象的分形幾何學(xué).

在1982年，Mandelbrot將分形定義為拓?fù)渚S數(shù)大于Hausdorff維數(shù)的集合.之后，Mandelbrot又給出了分形更廣泛的定義，即局部和整體以某種方式自相似的圖形，強(qiáng)調(diào)了圖形中的局部與整體間的自相似性.迄今為止，分形還沒(méi)有嚴(yán)格的定義.

一般地，具有如下典型性質(zhì)的集F稱(chēng)為分形：(ⅰ)集F在任意小的尺度下都有精細(xì)的結(jié)構(gòu)；

(ⅱ)集F是極不規(guī)則的，它不能用傳統(tǒng)的歐幾里德空間的集合語(yǔ)言進(jìn)行描述，即它既不是某些方程的解集又不是滿(mǎn)足某些條件的點(diǎn)的軌跡；

(ⅲ)集F具有結(jié)構(gòu)上的自相似性；

(ⅳ)集F的分形維數(shù)大于其拓?fù)渚S數(shù)；

在大多數(shù)的情況下，分形集F的定義很簡(jiǎn)單，并且可以通過(guò)變換相應(yīng)的迭代關(guān)系而產(chǎn)生.

2 Hausdorff測(cè)度

在Rn中，?U?Rn,U≠?，U的直徑為|U|=sup{|x-y|:x,y∈ U}，即U內(nèi)任何兩點(diǎn)距離的最大值.若且對(duì)?i都有，則稱(chēng){Ui}為F的一個(gè)δ-覆蓋.設(shè)?F?Rn，s≥0，?δ>0，定義

對(duì)?F?Rn此極限都存在，我們稱(chēng)Hs(F)為F的s-維Hausdorff測(cè)度.

3 Hausdorff維數(shù)

2 連分?jǐn)?shù)

分形在經(jīng)典數(shù)論中的例子就是連分?jǐn)?shù)，可以利用連分?jǐn)?shù)的展開(kāi)式來(lái)定義數(shù)集.

2.1 連分?jǐn)?shù)的定義

任意一個(gè)不是整數(shù)的數(shù)x都可以寫(xiě)成x=a0+1/x1，這里a0是一個(gè)整數(shù)，并且x1>1.類(lèi)似地，如果xi不是整數(shù)，那么x1=a1+1/x2，這里x2>1，所以x=a0+1/(a1+1/x2)，以這種方法進(jìn)行下去，對(duì)每個(gè)k，x=a0+1/(a1+1(…1/(ak-1+1/xk))).

假設(shè)在每一步xk都不是整數(shù)則稱(chēng)整數(shù)序列a0,a1,a2,…（可以是有限項(xiàng)也可以是無(wú)限項(xiàng)）是x的部分商，并記

為x的連分?jǐn)?shù)的展式，或記為[a0,a1,a2,a3,…]的形式.

連分?jǐn)?shù)的展式在結(jié)構(gòu)上很好的體現(xiàn)了分形集的精細(xì)結(jié)構(gòu)，以及其在比例上的自相似性.

2.2 連分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)及應(yīng)用

性質(zhì)1 有理數(shù)可以展開(kāi)成有限項(xiàng)連分?jǐn)?shù)，無(wú)理數(shù)可以展開(kāi)成無(wú)限項(xiàng)連分?jǐn)?shù).

性質(zhì)2 具有整系數(shù)的二次方程的根都有周期性的部分商（即二次根式）[6].

例2 x2+4x-2=0的根

性質(zhì)3 已知周期性的部分商，可以求出無(wú)理數(shù).

3 連分?jǐn)?shù)分形集的Huasdorff維數(shù)

利用分形的自相似性，也可以定義分形集.設(shè)D?R，且D為閉集，映射S:D→D，如果?x,y∈D,?c,0

在連分?jǐn)?shù)的部分商上加一些條件，定義出來(lái)的數(shù)集經(jīng)常是分形；改變加在部分商上的條件可以得到作為某些變換的不變集的其他分形，并且可以估計(jì)其Hausdorff維數(shù).

例5 設(shè)F是正實(shí)數(shù)組成的數(shù)集，x∈F，且x具有無(wú)窮的部分分式展開(kāi)式，且它們的部分商都等于1或2.那么F是分形，且0.44

〔1〕劉碩.分形圖形的代數(shù)語(yǔ)言系統(tǒng)研究[D].蘭州大學(xué),2011.〔2〕Mandelbrot B B.The Fractal Geometry of Nature[M]. San Francisco:Freeman.1983,41-45.

〔3〕宛瑩.多重分形理論及其在中國(guó)股票市場(chǎng)中的應(yīng)用研究[D].東北大學(xué),2007.

〔4〕丁偉業(yè).連分?jǐn)?shù)部分商的分形維數(shù)[D].華中科技大學(xué), 2011.

〔5〕何雅.連分?jǐn)?shù)及其基本性質(zhì)[J].長(zhǎng)江職業(yè)技術(shù)工程學(xué)院學(xué)報(bào)，2004,3(21).

〔6〕袁明豪,嚴(yán)培勝,張清芳.有限簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù)的幾個(gè)應(yīng)用[J].黃岡師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2004,6(23).

〔7〕秦靜,張光明.分形自相似的一些應(yīng)用[J].山東師大學(xué)(自然科學(xué)版),1998,12(13).

〔8〕趙義超,秦永華.循環(huán)簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù)的定理證明[J].九江學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2005（3）.

O29；O156

A

1673-260X（2014）04-0001-02