錐殼中嚴(yán)格集壓縮映射的若干新不動(dòng)點(diǎn)定理

陳樹(shù)佳，許紹元

(韓山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)系，廣東 潮州 521041)

錐殼中嚴(yán)格集壓縮映射是一類(lèi)十分重要的非線性算子，廣泛存在于非線性微分方程之中，其中嚴(yán)格集壓縮映射不動(dòng)點(diǎn)定理在研究非線性微分方程解的存在性方面具有十分重要的作用[1-3].近年來(lái)，人們?cè)阱F殼中嚴(yán)格集壓縮映射的研究方面已取得了一些成果，如：文獻(xiàn)[4]利用錐殼中嚴(yán)格集壓縮映射的一個(gè)基本不動(dòng)點(diǎn)定理，在適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件下得到了錐殼中嚴(yán)格集壓縮映射的新不動(dòng)點(diǎn)定理；文獻(xiàn)[5-10]得到了錐殼中嚴(yán)格集壓縮映射的Altman定理、Roth定理和Petryshyn定理及其各種推廣形式.本文利用錐殼中嚴(yán)格集壓縮映射的Leray-Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理，在適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件下，得到了錐殼中嚴(yán)格集壓縮映射的新不動(dòng)點(diǎn)定理，進(jìn)一步改進(jìn)了文獻(xiàn)[4]中的一些結(jié)果.

設(shè)E是實(shí)Banach空間，D?E,A∶D→E是連續(xù)算子.稱(chēng)A∶D→E是k-集壓縮映射，如果存在常數(shù)k≥0，使得對(duì)任何有界集S?D，都有α(A(S))≤kα(S),其中α(S)表示Kuratowski非緊性測(cè)度,α(S)=inf {δ>0|S是有限個(gè)直徑小于等于δ的集合之并}.

定義1[1]映射A∶D→E稱(chēng)為嚴(yán)格集壓縮映射，如果存在常數(shù)0≤k<1，使得A∶D→E為k-集壓縮映射.

1 主要結(jié)果

首先給出凸殼中嚴(yán)格集壓縮映射的一個(gè)基本不動(dòng)點(diǎn)定理.設(shè)E是Banach空間，C?E為E的一個(gè)閉凸子集且滿(mǎn)足條件：對(duì)任意α≥0,β≥0以及u,v∈C有αu+βv∈C.設(shè)ρ>0，記

Bρ={x:x∈C,‖x‖<ρ},

Sρ={x:x∈C,‖x‖=ρ}.

x≠λAx,?x∈SR,?0<λ<1

(1)

由引理1可以得到凸殼中嚴(yán)格集壓縮映射的若干新不動(dòng)點(diǎn)定理.

‖Ax-x‖α‖x‖β≥‖Ax‖α‖Ax+x‖β-‖Ax‖α‖x‖β,?x∈SR,

(2)

證明若算子A在SR上沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn)，下證A滿(mǎn)足引理1中條件(1)．用反證法．若不然，則存在x0∈SR以及μ0≥1使得Ax0=μ0x0.容易看出μ0>1.考察函數(shù)

f(t)=(t-1)α-tα(t+1)β+tα,?t≥1,

由于f′(t)=α(t-1)α-1-αtα-1(t+1)β+αtα-1-βtα(t+1)β-1≤(<)0,f(t)在[1,∞)上嚴(yán)格單調(diào)遞減，又當(dāng)t>1時(shí)有f(t)1成立.注意‖x0‖≠0,μ0>1,于是有

‖Ax0-x0‖α‖x0‖β=‖μ0x0-x0‖α‖x0‖β=(μ0-1)α‖x0‖α+β<

這與(2)式矛盾，故由引理1可知定理1結(jié)論成立，證畢.

在定理1的條件中,若分別取α=1,β=1以及α=1，即可以得到以下的兩個(gè)推論.

‖Ax-x‖‖x‖≥‖Ax‖‖Ax+x‖-‖Ax‖‖x‖,?x∈SR,

‖Ax-x‖‖x‖β≥‖Ax‖‖Ax+x‖β-‖Ax‖‖x‖β,?x∈SR,

注1顯然,文獻(xiàn)[4]中推論11(viii)式‖Ax-x‖‖x‖≥‖Ax‖‖Ax+x‖,?x∈SR蘊(yùn)含本文推論1的條件：‖Ax-x‖‖x‖≥‖Ax‖‖Ax+x‖-‖Ax‖‖x‖,?x∈SR.這說(shuō)明本文推論1推廣了文獻(xiàn)[4]中的相關(guān)結(jié)果，而推論2是推論1的進(jìn)一步推廣，故推論2是文獻(xiàn)[4]的相關(guān)結(jié)果的有益補(bǔ)充.

‖Ax+x‖α+β≤‖Ax‖β‖Ax-x‖α+‖x‖α+β,?x∈SR,

(3)

證明若算子A在SR上沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn)，下證A滿(mǎn)足引理1中條件(1)．用反證法．若不然，則存在x0∈SR以及μ0≥1,使得Ax0=μ0x0.容易看出μ0>1.考察函數(shù)

f(t)=(t+1)α+β-tβ(t-1)α-1,?t≥1.

由于f′(t)=α[(t+1)α+β-1-tβ(t-1)α-1]+β[(t+1)α+β-1-tβ-1(t-1)α]>0,f(t)在[1,∞)上嚴(yán)格單調(diào)遞增，又當(dāng)t>1時(shí)有f(t)>f(1)，即(t+1)α+β>tβ(t-1)α+1對(duì)任意t>1成立.注意到‖x0‖≠0,μ0>1，于是有

‖μ0x0‖β‖μ0x0-x0‖α+‖x0‖α+β=‖Ax0‖β‖Ax0-x0‖α+‖x0‖α+β,

此與(3)式矛盾，故由引理1可知定理1結(jié)論成立，證畢.

‖Ax+x‖2≤‖Ax-x‖2+‖x‖2,?x∈SR,

‖Ax+x‖α≤‖Ax-x‖α+‖x‖α,?x∈SR,

注2推論3類(lèi)似于著名的Altman定理.因此，推論3是Altman定理的有益補(bǔ)充.由于推論4是推論3的進(jìn)一步推廣，因而推論4是Altman定理的進(jìn)一步補(bǔ)充.

‖Ax‖α‖Ax+x‖β≤‖Ax‖β‖Ax-x‖α,?x∈SR,

(4)

證明若算子A在SR上沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn)，下證A滿(mǎn)足引理1中條件(1)．用反證法．若不然，則存在x0∈SR以及μ0≥1使得Ax0=μ0x0．容易看出μ0>1．考察函數(shù)

f(t)=tα(t+1)β-tβ(t-1)α.

由于f′(t)=α[tα-1(t+1)β-(t-1)α-1tβ]+β[tα(t+1)β-1-tβ-1(t-1)α]>0,f(t)在[1,∞)上嚴(yán)格單調(diào)遞增，又當(dāng)t>1時(shí)有f(t)>f(1)=2β>0，即tα(t+1)β>tβ(t-1)α對(duì)任意t>1成立.注意到‖x0‖≠0,μ0>1，于是有

此與(4)式矛盾，故由引理1可知定理3成立，證畢.

在定理3的條件中若分別取α=1,β=0，則有如下推論.

‖Ax‖≤‖Ax-x‖,?x∈SR,

注3推論6即著名的Petryshyn定理[4],因此本文定理3是對(duì)Petryshyn定理的進(jìn)一步推廣．

‖Ax-x‖α‖x‖α+β≥‖Ax‖α‖Ax+x‖α+β-‖x‖2α+β,?x∈SR,

(5)

證明若算子A在SR上沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn)，下面證明A滿(mǎn)足引理1中條件(1)．用反證法．若不然，則存在x0∈SR以及μ0≥1,使得Ax0=μ0x0.容易看出μ0>1.考察函數(shù)

f(t)=(t-1)α-tα(t+1)α+β+1.

由于f′(t)=α[(t-1)α-1-tα-1(t+1)α+β-tα(t+1)α+β-1]-β[tα(t+1)α+β-1]<0,f(t)在[1,∞)上嚴(yán)格單調(diào)遞減,又當(dāng)t>1時(shí)有f(t)1成立.注意到‖x0‖≠0,μ0>1，于是有

‖Ax0-x0‖α‖x0‖α+β=‖x0‖α+β‖μ0x0-x0‖α=(μ0-1)α‖x0‖2α+β<

‖Ax0‖α‖Ax0+x0‖α+β-‖x0‖2α+β,

這與(5)式矛盾，故由引理1可知定理4成立，證畢.

在定理4的條件中,若取β=0,則可得到如下推論.

‖Ax-x‖α‖x‖α≥‖Ax‖α‖Ax+x‖α-‖x‖2α,?x∈SR,

參考文獻(xiàn)：

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