高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的思考與實(shí)踐

史紅專

【內(nèi)容摘要】數(shù)學(xué)建模，就是在解決數(shù)學(xué)問題的過程中運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象、簡(jiǎn)化建立能近似刻畫并解決實(shí)際問題的一種有效的數(shù)學(xué)手段。本文對(duì)此進(jìn)行了分析研究。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 建模教學(xué) 實(shí)踐 思考

人類之所以發(fā)明數(shù)學(xué)是基于解決生活實(shí)際問題的需要，數(shù)學(xué)建模就是在解決數(shù)學(xué)問題的過程中運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象、簡(jiǎn)化建立能近似刻畫并解決實(shí)際問題的一種有效的數(shù)學(xué)手段。一些發(fā)達(dá)國(guó)家在中學(xué)教育中對(duì)數(shù)學(xué)建模非常重視，我國(guó)近年來也提出了讓中學(xué)生逐步學(xué)會(huì)將實(shí)際問題歸結(jié)為數(shù)學(xué)模型，然后進(jìn)行模型求解和模型分析的教學(xué)目標(biāo)。學(xué)生如果能把實(shí)際應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行分析、運(yùn)算和證明，不僅能提高學(xué)生的思維能力，還能推動(dòng)數(shù)學(xué)素質(zhì)教育，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的根本目標(biāo)。

一、數(shù)學(xué)建模概述

數(shù)學(xué)建模，簡(jiǎn)言之就是將要解決的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。那么，什么是數(shù)學(xué)模型呢？數(shù)學(xué)模型不是對(duì)現(xiàn)實(shí)的模擬，而是通過對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象進(jìn)行提煉、分析以后，運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)和公式、圖表等模擬客觀事物的本質(zhì)屬性與內(nèi)在聯(lián)系，也就是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象、簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)模擬。

數(shù)學(xué)建模的一般步驟是：①明確建模目的，分析和收集必要數(shù)據(jù)和量的關(guān)系；②簡(jiǎn)化問題，用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行假設(shè)；③選擇關(guān)鍵數(shù)量關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型，建立數(shù)量間的定量、定性關(guān)系；④運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法求解；⑤將求得的結(jié)論回到實(shí)際問題中檢驗(yàn)，如有錯(cuò)誤進(jìn)行修正。在解決實(shí)際問題的過程中，面對(duì)同樣一個(gè)問題，可以有多種建模方法，學(xué)生可以任意選定。數(shù)學(xué)建模應(yīng)以學(xué)生為主，教師負(fù)責(zé)設(shè)計(jì)與引導(dǎo)，帶領(lǐng)學(xué)生積極開展討論和辯論，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索的學(xué)習(xí)精神，增強(qiáng)他們的數(shù)學(xué)素質(zhì)和創(chuàng)新能力，提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

二、高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的實(shí)際應(yīng)用

1.將數(shù)學(xué)建模引入日常課堂教學(xué)，使所學(xué)知識(shí)更系統(tǒng)、更深刻

在學(xué)習(xí)每章節(jié)的教學(xué)內(nèi)容和方法后，教師都可以帶領(lǐng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)建模求解，這樣學(xué)生的建模意識(shí)就培養(yǎng)起來了，建模方法也能逐漸掌握。

例題1：某服裝店銷售一批睡衣，如果每件50元每天可銷售100件，如果提高售價(jià)每漲5元銷售數(shù)量就減少10件，已知成本價(jià)為20元。求解睡衣定價(jià)為多少時(shí)利潤(rùn)最大。

分析：這種應(yīng)用題型是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力的最好時(shí)機(jī)，首先應(yīng)對(duì)問題進(jìn)行抽象，建立相應(yīng)數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而求解和驗(yàn)證。

建模：設(shè)每件漲價(jià)x元（x≥0），利潤(rùn)為y元，則每天銷售額為（50 +x）（100-10x）元，成本為20（100 -10x），故0≤x≤10，利潤(rùn)y=銷售總價(jià)-成本總價(jià)，所以y=（30+x）（100 -10x）（0≤x≤10）。這樣將這個(gè)問題建立成二次函數(shù)模型。

像這樣的例題教材中有很多，例如折舊問題、利息問題等，對(duì)這類應(yīng)用問題還可以進(jìn)行拓展，例如可以改變提問角度、條件互換。另外一類經(jīng)常需要建模的是幾何題型。由于幾何知識(shí)應(yīng)用廣泛，常與函數(shù)、不等式、三角形等相聯(lián)系，具有較強(qiáng)的綜合性，常需要建立數(shù)學(xué)模型求解。

例題2：如圖1所示，某探照燈的軸截面是拋物線x=y2，問平行于對(duì)稱軸的光線到拋物線上的入射點(diǎn)在何處時(shí)到反射點(diǎn)的光線的路程最短。

圖1

建模：設(shè)軸截面是拋物線x=y2，設(shè)入射點(diǎn)p的縱坐標(biāo)為a（a大于0），PQ為從光線入射點(diǎn)p經(jīng)拋物鏡反射到點(diǎn)Q的光線，求a為何值時(shí)PQ最短。

除了教材上的應(yīng)用題型，在教學(xué)中還可以多結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活問題訓(xùn)練學(xué)生的建模思路和建模方法，從生活和社會(huì)上的問題出發(fā)，選取好素材融入教學(xué)活動(dòng)，例如在學(xué)生踢球時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型解答邊鋒站在什么位置時(shí)射門最佳的問題，長(zhǎng)此以往可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)和發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力。

2.開展以數(shù)學(xué)建模為主的活動(dòng)，讓學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)建模的過程與方法

課上開展的一般都是小型建模活動(dòng)，一般當(dāng)堂完成，一些比較大的或者復(fù)雜的建?？梢粤粼谡n下。在高中階段至少應(yīng)為學(xué)生安排一次數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)。還應(yīng)將課內(nèi)與課外有機(jī)地結(jié)合起來，把數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與綜合實(shí)踐活動(dòng)有機(jī)地結(jié)合起來。例如我班在春季組織了一次騎車郊游活動(dòng)，每個(gè)學(xué)生的體力和騎車速度不同，我們就根據(jù)這一活動(dòng)安排了數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，讓每個(gè)學(xué)生計(jì)算自己以多少速度騎行才能保證自己能夠到達(dá)終點(diǎn)。

三、結(jié)束語

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中推廣建模教學(xué)模式，極大地提升了學(xué)生的創(chuàng)新思維，在建模的過程中不僅鍛煉了學(xué)生將實(shí)際應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)抽象問題的轉(zhuǎn)換能力，還培養(yǎng)了學(xué)生的直覺思維和想象能力，使他們能夠真正領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)和思想。著名數(shù)學(xué)家懷特海曾說過，“數(shù)學(xué)就是對(duì)于模式的研究”，為了培養(yǎng)學(xué)生的建模意識(shí)，數(shù)學(xué)教師應(yīng)首先提高自己的建模意識(shí)，除需要了解數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展歷史和發(fā)展動(dòng)態(tài)之外，還需要不斷地學(xué)習(xí)一些新的數(shù)學(xué)建模理論，并且努力鉆研如何把中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活，結(jié)合近年來素質(zhì)教育中出現(xiàn)的應(yīng)用型問題和教材中典型的數(shù)學(xué)建模題對(duì)學(xué)生進(jìn)行模仿訓(xùn)練，打開學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的思維寶庫(kù)。

總之，建模教學(xué)是一種有益的嘗試，在教學(xué)中大力滲透建模意識(shí)是中學(xué)素質(zhì)教育的有效途徑，值得進(jìn)一步推廣。

【參考文獻(xiàn)】

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（作者單位：江蘇省鹽城市大岡中學(xué)）