高中數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的廣泛應(yīng)用

鄭祿女

摘 要：轉(zhuǎn)換這種重要的思維策略有著廣泛的應(yīng)用，可以把需要解決的問題從一個陌生的情境轉(zhuǎn)換成熟悉的、直觀的、簡單的問題，可以從特殊到一般，從具體到抽象，可以實現(xiàn)數(shù)量與圖形的轉(zhuǎn)化、命題間的映射轉(zhuǎn)化、構(gòu)造新命題的轉(zhuǎn)化、參數(shù)與消元的轉(zhuǎn)化、條件強(qiáng)弱間的轉(zhuǎn)化、命題結(jié)構(gòu)形式的轉(zhuǎn)化、等價與非等價的轉(zhuǎn)化等等。轉(zhuǎn)換的本質(zhì)特征就是知識和方法的遷移。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)； 轉(zhuǎn)化思想 ；思維策略

當(dāng)我們遇到一個較難解決的問題時，不是直接解原題目，而將題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為一個已經(jīng)解決的或比較容易解決的數(shù)學(xué)題，從而使原題得到解決。

轉(zhuǎn)換這種重要的思維策略有著廣泛的應(yīng)用，這首先取決于數(shù)學(xué)本身是客觀世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的反映，矛盾與對立不斷地處于轉(zhuǎn)化與統(tǒng)一之中，在數(shù)學(xué)知識體系中充滿了轉(zhuǎn)換：通過符號法則，有理數(shù)四則運算就轉(zhuǎn)換成算術(shù)運算；解方程就是應(yīng)用消元、降次的方法的一種轉(zhuǎn)換；平面圖形通過延拓、折迭構(gòu)成了空間形體；而空間中的問題通常要轉(zhuǎn)換成平面的來研究；在證明了兩角和的余弦公式后通過對角的轉(zhuǎn)換可以得到一系列的和角、差角、倍角、半角的三角函數(shù)公式。在解題中轉(zhuǎn)換更是一種重要的策略和基本的手段。通常的轉(zhuǎn)化有下面幾種。

一、問題情境的轉(zhuǎn)化

把需要解決的問題從一個陌生的情境轉(zhuǎn)換成熟悉的、直觀的、簡單的問題。

例 一個街區(qū)有 5條橫街 5條縱街，一個人從左上角 A處出發(fā)依最短途徑走到右下角B處，共有多少種不同的走法？

評析：如果要具體計算各種不同的走法，將會不勝其繁，因為在多數(shù)街道的交叉口，按照最短途徑的要求行人都只有二種可能的選擇：向右走橫街或向下走縱街，而不許走向左或向上，因此不易直接求解。但當(dāng)我們考慮行人從A到B的每一條最短途徑都由4段橫街和4段縱街構(gòu)成，因而每一種走法都對應(yīng)一種這4橫4縱的有序排列，反之亦然。因此，所求的不同的最短

二、特殊與一般的轉(zhuǎn)化

從特殊到一般，從具體到抽象是研究數(shù)學(xué)的一種基本方法，在一般情況下難以發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，在特殊條件下比較容易暴露，而特殊情況下得出結(jié)論、方法也往往可推廣到一般場合，所以特殊和一般之間的轉(zhuǎn)換可以用來驗證命題的正確性，探索解的途徑。

三、數(shù)量與圖形的轉(zhuǎn)化

這是一種重要的，并被廣泛使用的轉(zhuǎn)換。大量數(shù)式問題潛在著圖形背景，借助形的直觀性解題是尋求解題思路的一種重要方法。有時畫一個圖形給問題的幾何直觀描述，從數(shù)式形的結(jié)合中易于找出問題的邏輯關(guān)系。

四、命題間的映射轉(zhuǎn)化

如果數(shù)學(xué)命題（或問題）在原集合A中直接解決比較困難，可以運用某種法則把它映射到另一個集合B中去，得到一個對應(yīng)的映射命題（或問題），然后在B集中討論并解決映射問題，再把解決的結(jié)果逆映射到原集中來，從而使原命題獲得解決。這種轉(zhuǎn)化方法稱為映射法。用映射法轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵在于適當(dāng)?shù)剡x擇映射法。一般地，只要映射法則選擇得當(dāng)，映射問題總是易于解決的，特別地，只要A集與B集能建立一一映射，則產(chǎn)生的新命題（或問題）與原命題（或問題）一定等價。此時逆映射過程往往可以省略，這就更加簡單了。

五、構(gòu)造新命題的轉(zhuǎn)化

有些命題（或問題）直接解決遇到困難，通過分析具體命題（或問題），設(shè)想構(gòu)造一個與原命題（或問題）相關(guān)的新命題（或問題），通過對新命題（或問題）的研究達(dá)到解決原命題（或問題）的目的，這種轉(zhuǎn)化方法稱為構(gòu)造法。構(gòu)造法是數(shù)學(xué)中最富有活力的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化方法之一，通常表現(xiàn)形式為構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造方程、構(gòu)造圖形等。

六、參數(shù)與消元的轉(zhuǎn)化

參數(shù)既是揭示變化過程中變量之間內(nèi)在聯(lián)系的媒介，又是刻劃變化過程的數(shù)學(xué)工具。利用參數(shù)這一本質(zhì)特性實現(xiàn)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的方法叫參數(shù)法。經(jīng)常運用參數(shù)法實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的形式有：引入?yún)?shù)將函數(shù)或方程變量個數(shù)減少；引入?yún)?shù)將問題的解決歸結(jié)于對參數(shù)的討論。

七、條件強(qiáng)弱間的轉(zhuǎn)化

數(shù)學(xué)命題（或問題）就所論條件和結(jié)論而言往往有強(qiáng)與弱、復(fù)雜與簡單、一般與特殊、常義與極端情形之分，為敘述簡便統(tǒng)稱前種情形為“甲種情形”，后種情形為“乙種情形”，若乙種情形的命題（或問題）不易解決，有時“進(jìn)”一步先處理甲種情形的命題（或問題），因為甲種情況的命題（或問題）往往更能展示問題的本質(zhì)屬性，所以由此推出原命題（或問題）有時反而顯得很容易。反之，若甲種情形的命題（或問題）不易解決，有時“退”一步先處理乙種情形的命題（或問題），因為乙種情形的命題（或問題）往往寓含著甲種情形的某些本質(zhì)屬性和求解規(guī)律，挖掘發(fā)現(xiàn)這些東西可以在處理方法和結(jié)論上獲得解決甲種情形的有益啟示，從而使甲種情形最終獲得解決，這種轉(zhuǎn)化方法本文稱為“進(jìn)退法”。如“不等價變換”實現(xiàn)命題（或問題）強(qiáng)與弱的轉(zhuǎn)化，“降化歸去”實現(xiàn)命題（或問題）復(fù)雜與簡單的轉(zhuǎn)化，“歸納法”實現(xiàn)命題（或問題）特殊與一般的轉(zhuǎn)化，都是進(jìn)退法轉(zhuǎn)化具體運用形式，這是大家十分熟悉的，這類例子就不再列舉了，現(xiàn)僅舉其它幾例，從中可見運用進(jìn)退法轉(zhuǎn)化的妙處。

八、命題結(jié)構(gòu)形式的轉(zhuǎn)化

這是一種比較高級、有一定難度的轉(zhuǎn)換，是不同的解題構(gòu)想的轉(zhuǎn)換，主要通過數(shù)學(xué)模型來實行，表現(xiàn)出數(shù)學(xué)智敏和思維的創(chuàng)造性。同時這種結(jié)構(gòu)上的轉(zhuǎn)換還反映出從整體到局部，從一般到特殊的關(guān)系。

九、等價與非等價的轉(zhuǎn)化

由命題A（或問題A）可推出命題B（或問題B），反之，命題B（或問題B）亦可推出命題A（或問題A）。即A與B互為充要條件時，稱為A與B等價。利用這種等價性將原命題（或原問題）轉(zhuǎn)化成易于處理的新命題（或新問題）的方法稱為等價法。

產(chǎn)生等價命題（或問題）經(jīng)常通過以下幾種途徑：更換等價的條件（或已知）和結(jié)論（或所求）；通過適當(dāng)?shù)拇鷵Q；利用原命題與逆否命題的等價關(guān)系。

從以上的分析可以看出，轉(zhuǎn)換的本質(zhì)特征是知識和方法的遷移，這種遷移受一定條件的制約，從學(xué)習(xí)方法和認(rèn)識規(guī)律來說，應(yīng)該由以下幾方面著手為聯(lián)想與轉(zhuǎn)換創(chuàng)造條件：

（l）知識的容量要大，要注意知識間的聯(lián)系與演變，不斷開拓思路，不斷收集、積累聯(lián)想、轉(zhuǎn)換的實例。

（2）逐步掌握數(shù)學(xué)的基本思想方法，由簡單到復(fù)雜，由低級向高級、由模仿到創(chuàng)新。聯(lián)想與轉(zhuǎn)換通常以一定的技巧、技能作為它的存在形式，而技巧與技能的形式與數(shù)學(xué)思想方法關(guān)系密切，這樣做一方面有利于牢固地掌握基礎(chǔ)知識，同時又有利于思維品質(zhì)的優(yōu)化。

（3）在學(xué)習(xí)中貫徹意義學(xué)習(xí)的原則，所謂意義學(xué)習(xí)就是新知識與學(xué)習(xí)者頭腦中認(rèn)識結(jié)構(gòu)中已有的適當(dāng)知識建立非人為的實質(zhì)性的聯(lián)系，也就是說，學(xué)習(xí)活動要以不斷發(fā)展和完善認(rèn)識結(jié)構(gòu)為目的。