構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,巧解四邊形折疊問題

文/黃廣川

將矩形按不同要求進(jìn)行折疊，就會(huì)產(chǎn)生豐富多彩的幾何問題，而這些問題中往往融入了豐富的對(duì)稱思想，綜合了三角形、四邊形的諸多知識(shí)，千變?nèi)f化，趣味性強(qiáng)，考查了學(xué)生的探究能力、空間想象能力、抽象思維能力及邏輯推理能力。因此越來越受到各省中考命題者的青睞。在解決這類問題中，運(yùn)用的知識(shí)點(diǎn)比較多，綜合性強(qiáng)，如軸對(duì)稱性、全等思想、相似思想、勾股定理等，是培養(yǎng)學(xué)生識(shí)圖能力，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題能力的一條非常有效的途徑。然而通過合理的歸納總結(jié)利用現(xiàn)有的數(shù)學(xué)模型能解決大部分此類問題。這就包括勾股定理和等腰三角形。

模型一：勾股定理

勾股定理是指在直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，它有一個(gè)基本的應(yīng)用就是已知一邊和另外兩邊的關(guān)系求邊。

如圖1，已知AC=5，AB比BC大1。我們可以根據(jù)勾股定理得到方程（x+1）2=x2+52，解得x=12，求得三角形的未知邊。

■

模型二：平分+平行中必然得到等腰三角形

如圖2，AB∥CD，CE平分∠ACD，就可以得到三角形ACE是等腰三角形。

∵AB∥CD ∴∠2=∠3

∵CE平分∠ACD∴∠1=∠2

∴∠1=∠3

∴△ACE是等腰三角形。

下面通過具體的例子來體會(huì)這兩種模型在折疊問題中的巧妙應(yīng)用吧。

例1.（2012深圳）如圖3，將矩形ABCD沿直線EF折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕交AD于點(diǎn)E、交BC于點(diǎn)F，連接AF、CE.

（1）求證：四邊形AFCE為菱形；

分析：由平分+平行必然得到等腰三角形，我們可以輕松得到

△AFE是等腰三角形，AF=AE，又因?yàn)檎郫B對(duì)應(yīng)線段相等，所以AF=CF，AE=CE，所以可以由四邊相等得到四邊形AFCE為菱形。

證明：∵折疊

∴AF=CF，AE=CE，∠AFE=∠CFE

又∵AD∥BC

∴∠AEF=∠CFE

∴∠AFE=∠AEF

∴AF=AE

∴AF=AE=CF=CE

∴四邊形AFCE為菱形。

例2.（2012湖北黃石）如圖4所示，矩形紙片ABCD中，AB=6cm，BC=8 cm，現(xiàn)將沿EF對(duì)折，使得點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，則AF長(zhǎng)為（ ）

A.■cm B.■cm

C.■cm D.8cm

分析：因?yàn)檎郫B對(duì)應(yīng)線段相等，所以，可以得到AF+D′F=8，根據(jù)勾股定理的應(yīng)用，已知一邊AD′，和另外兩邊的關(guān)系A(chǔ)F+D′F=8求邊。

解：設(shè)AF=x cm，則DF=D′F=（8-x） cm，

∵矩形紙片ABCD中，AB=6 cm，BC=8 cm，現(xiàn)將其沿EF對(duì)折，使得點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，∴DF=D′F，在Rt△AD′F中，∵AF2=AD′2+D′F2即x2=62+（8-x）2解得：■cm。

例3.（寶安二模）如圖5，在矩形ABCD中，AB=3，BC=9，把矩形ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)F重合，BF交AD與點(diǎn)M，過點(diǎn)C做CE⊥BF于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)G，則MG的長(zhǎng)是 。

分析：利用平分+平行模型可以得到△BMD是等腰三角形，故BM=DM；再根據(jù)勾股定理利用已知一邊和另兩邊的關(guān)系求得邊AM，由△AMB~△DCG利用邊的比例關(guān)系求得DG，可得MG=AD-AM-DG

解：設(shè)AM長(zhǎng)為x．

在Rt△ABM中，AB2+x2=BM2，BM=MD=9-x

則32+x2=（9-x）2，

解得x=4，

BM=MD=9-x=5，

∵△ABM∽△EGM，△EGM∽△DGC，

∴△ABM∽△DGC，

∴AM∶DC=AB∶DG，即4∶3=3∶DG

解得GD=■，所以MG=MD-GD=5-■=■

故答案為：■

作為一名數(shù)學(xué)老師，不僅要傳授給學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是要傳授給學(xué)生數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)意識(shí)、數(shù)學(xué)方法，把知識(shí)轉(zhuǎn)換為能力，因此，希望通過本文的小小啟示提高學(xué)生觀察、歸納、整理數(shù)學(xué)知識(shí)的能力、分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力、抽象思維能力及邏輯推理能力。

編輯 謝尾合

endprint

將矩形按不同要求進(jìn)行折疊，就會(huì)產(chǎn)生豐富多彩的幾何問題，而這些問題中往往融入了豐富的對(duì)稱思想，綜合了三角形、四邊形的諸多知識(shí)，千變?nèi)f化，趣味性強(qiáng)，考查了學(xué)生的探究能力、空間想象能力、抽象思維能力及邏輯推理能力。因此越來越受到各省中考命題者的青睞。在解決這類問題中，運(yùn)用的知識(shí)點(diǎn)比較多，綜合性強(qiáng)，如軸對(duì)稱性、全等思想、相似思想、勾股定理等，是培養(yǎng)學(xué)生識(shí)圖能力，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題能力的一條非常有效的途徑。然而通過合理的歸納總結(jié)利用現(xiàn)有的數(shù)學(xué)模型能解決大部分此類問題。這就包括勾股定理和等腰三角形。

模型一：勾股定理

勾股定理是指在直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，它有一個(gè)基本的應(yīng)用就是已知一邊和另外兩邊的關(guān)系求邊。

如圖1，已知AC=5，AB比BC大1。我們可以根據(jù)勾股定理得到方程（x+1）2=x2+52，解得x=12，求得三角形的未知邊。

■

模型二：平分+平行中必然得到等腰三角形

如圖2，AB∥CD，CE平分∠ACD，就可以得到三角形ACE是等腰三角形。

∵AB∥CD ∴∠2=∠3

∵CE平分∠ACD∴∠1=∠2

∴∠1=∠3

∴△ACE是等腰三角形。

下面通過具體的例子來體會(huì)這兩種模型在折疊問題中的巧妙應(yīng)用吧。

例1.（2012深圳）如圖3，將矩形ABCD沿直線EF折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕交AD于點(diǎn)E、交BC于點(diǎn)F，連接AF、CE.

（1）求證：四邊形AFCE為菱形；

分析：由平分+平行必然得到等腰三角形，我們可以輕松得到

△AFE是等腰三角形，AF=AE，又因?yàn)檎郫B對(duì)應(yīng)線段相等，所以AF=CF，AE=CE，所以可以由四邊相等得到四邊形AFCE為菱形。

證明：∵折疊

∴AF=CF，AE=CE，∠AFE=∠CFE

又∵AD∥BC

∴∠AEF=∠CFE

∴∠AFE=∠AEF

∴AF=AE

∴AF=AE=CF=CE

∴四邊形AFCE為菱形。

例2.（2012湖北黃石）如圖4所示，矩形紙片ABCD中，AB=6cm，BC=8 cm，現(xiàn)將沿EF對(duì)折，使得點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，則AF長(zhǎng)為（ ）

A.■cm B.■cm

C.■cm D.8cm

分析：因?yàn)檎郫B對(duì)應(yīng)線段相等，所以，可以得到AF+D′F=8，根據(jù)勾股定理的應(yīng)用，已知一邊AD′，和另外兩邊的關(guān)系A(chǔ)F+D′F=8求邊。

解：設(shè)AF=x cm，則DF=D′F=（8-x） cm，

∵矩形紙片ABCD中，AB=6 cm，BC=8 cm，現(xiàn)將其沿EF對(duì)折，使得點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，∴DF=D′F，在Rt△AD′F中，∵AF2=AD′2+D′F2即x2=62+（8-x）2解得：■cm。

例3.（寶安二模）如圖5，在矩形ABCD中，AB=3，BC=9，把矩形ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)F重合，BF交AD與點(diǎn)M，過點(diǎn)C做CE⊥BF于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)G，則MG的長(zhǎng)是 。

分析：利用平分+平行模型可以得到△BMD是等腰三角形，故BM=DM；再根據(jù)勾股定理利用已知一邊和另兩邊的關(guān)系求得邊AM，由△AMB~△DCG利用邊的比例關(guān)系求得DG，可得MG=AD-AM-DG

解：設(shè)AM長(zhǎng)為x．

在Rt△ABM中，AB2+x2=BM2，BM=MD=9-x

則32+x2=（9-x）2，

解得x=4，

BM=MD=9-x=5，

∵△ABM∽△EGM，△EGM∽△DGC，

∴△ABM∽△DGC，

∴AM∶DC=AB∶DG，即4∶3=3∶DG

解得GD=■，所以MG=MD-GD=5-■=■

故答案為：■

作為一名數(shù)學(xué)老師，不僅要傳授給學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是要傳授給學(xué)生數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)意識(shí)、數(shù)學(xué)方法，把知識(shí)轉(zhuǎn)換為能力，因此，希望通過本文的小小啟示提高學(xué)生觀察、歸納、整理數(shù)學(xué)知識(shí)的能力、分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力、抽象思維能力及邏輯推理能力。

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將矩形按不同要求進(jìn)行折疊，就會(huì)產(chǎn)生豐富多彩的幾何問題，而這些問題中往往融入了豐富的對(duì)稱思想，綜合了三角形、四邊形的諸多知識(shí)，千變?nèi)f化，趣味性強(qiáng)，考查了學(xué)生的探究能力、空間想象能力、抽象思維能力及邏輯推理能力。因此越來越受到各省中考命題者的青睞。在解決這類問題中，運(yùn)用的知識(shí)點(diǎn)比較多，綜合性強(qiáng)，如軸對(duì)稱性、全等思想、相似思想、勾股定理等，是培養(yǎng)學(xué)生識(shí)圖能力，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題能力的一條非常有效的途徑。然而通過合理的歸納總結(jié)利用現(xiàn)有的數(shù)學(xué)模型能解決大部分此類問題。這就包括勾股定理和等腰三角形。

模型一：勾股定理

勾股定理是指在直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，它有一個(gè)基本的應(yīng)用就是已知一邊和另外兩邊的關(guān)系求邊。

如圖1，已知AC=5，AB比BC大1。我們可以根據(jù)勾股定理得到方程（x+1）2=x2+52，解得x=12，求得三角形的未知邊。

■

模型二：平分+平行中必然得到等腰三角形

如圖2，AB∥CD，CE平分∠ACD，就可以得到三角形ACE是等腰三角形。

∵AB∥CD ∴∠2=∠3

∵CE平分∠ACD∴∠1=∠2

∴∠1=∠3

∴△ACE是等腰三角形。

下面通過具體的例子來體會(huì)這兩種模型在折疊問題中的巧妙應(yīng)用吧。

例1.（2012深圳）如圖3，將矩形ABCD沿直線EF折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕交AD于點(diǎn)E、交BC于點(diǎn)F，連接AF、CE.

（1）求證：四邊形AFCE為菱形；

分析：由平分+平行必然得到等腰三角形，我們可以輕松得到

△AFE是等腰三角形，AF=AE，又因?yàn)檎郫B對(duì)應(yīng)線段相等，所以AF=CF，AE=CE，所以可以由四邊相等得到四邊形AFCE為菱形。

證明：∵折疊

∴AF=CF，AE=CE，∠AFE=∠CFE

又∵AD∥BC

∴∠AEF=∠CFE

∴∠AFE=∠AEF

∴AF=AE

∴AF=AE=CF=CE

∴四邊形AFCE為菱形。

例2.（2012湖北黃石）如圖4所示，矩形紙片ABCD中，AB=6cm，BC=8 cm，現(xiàn)將沿EF對(duì)折，使得點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，則AF長(zhǎng)為（ ）

A.■cm B.■cm

C.■cm D.8cm

分析：因?yàn)檎郫B對(duì)應(yīng)線段相等，所以，可以得到AF+D′F=8，根據(jù)勾股定理的應(yīng)用，已知一邊AD′，和另外兩邊的關(guān)系A(chǔ)F+D′F=8求邊。

解：設(shè)AF=x cm，則DF=D′F=（8-x） cm，

∵矩形紙片ABCD中，AB=6 cm，BC=8 cm，現(xiàn)將其沿EF對(duì)折，使得點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，∴DF=D′F，在Rt△AD′F中，∵AF2=AD′2+D′F2即x2=62+（8-x）2解得：■cm。

例3.（寶安二模）如圖5，在矩形ABCD中，AB=3，BC=9，把矩形ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)F重合，BF交AD與點(diǎn)M，過點(diǎn)C做CE⊥BF于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)G，則MG的長(zhǎng)是 。

分析：利用平分+平行模型可以得到△BMD是等腰三角形，故BM=DM；再根據(jù)勾股定理利用已知一邊和另兩邊的關(guān)系求得邊AM，由△AMB~△DCG利用邊的比例關(guān)系求得DG，可得MG=AD-AM-DG

解：設(shè)AM長(zhǎng)為x．

在Rt△ABM中，AB2+x2=BM2，BM=MD=9-x

則32+x2=（9-x）2，

解得x=4，

BM=MD=9-x=5，

∵△ABM∽△EGM，△EGM∽△DGC，

∴△ABM∽△DGC，

∴AM∶DC=AB∶DG，即4∶3=3∶DG

解得GD=■，所以MG=MD-GD=5-■=■

故答案為：■

作為一名數(shù)學(xué)老師，不僅要傳授給學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是要傳授給學(xué)生數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)意識(shí)、數(shù)學(xué)方法，把知識(shí)轉(zhuǎn)換為能力，因此，希望通過本文的小小啟示提高學(xué)生觀察、歸納、整理數(shù)學(xué)知識(shí)的能力、分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力、抽象思維能力及邏輯推理能力。

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