《數(shù)值計(jì)算方法》課程中樣條理論教學(xué)的深層探究

文/楊愛(ài)民+劉春鳳+崔玉環(huán)+張煥成

摘 要：首先介紹了樣條的起源和基本的樣條理論，隨后討論了樣條理論在數(shù)值計(jì)算方法中的應(yīng)用。在應(yīng)用中教師主要從樣條的插擬合、數(shù)值微積分、微分方程數(shù)值解和積分方程數(shù)值解四個(gè)方面論述了樣條理論在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用，從而突出了樣條理論在數(shù)值計(jì)算中的重要性。

關(guān)鍵詞：樣條；插值；擬合；數(shù)值方法；微分方程解法

樣條函數(shù)作為計(jì)算幾何中表示和逼近幾何對(duì)象的基本工具，幾十年來(lái)有了長(zhǎng)足的發(fā)展。1946年，I.J.Schoenberg ［1］在做數(shù)據(jù)的平滑處理時(shí)提出了B樣條，并系統(tǒng)地研究了一元樣條函數(shù)，并指出一元三次樣條函數(shù)的力學(xué)觀點(diǎn)，即彈性細(xì)梁在集中載荷作用下小撓度彎曲變形曲線的數(shù)學(xué)模型，這也是“樣條函數(shù)”命名的由來(lái)。時(shí)至今日，樣條函數(shù)的應(yīng)用越來(lái)越廣泛，樣條函數(shù)和有限元有著密切的聯(lián)系。

一、樣條理論的簡(jiǎn)介

樣條函數(shù)（Spline Function）最早來(lái)源于美國(guó)數(shù)學(xué)家舍恩伯格（I.J.Schocnberg），他在1946年的文章中以研究無(wú)窮區(qū)間上等距結(jié)點(diǎn)的平滑問(wèn)題（即數(shù)據(jù)光滑插值問(wèn)題）為背景引入了樣條函數(shù)，但是I.J.Schocnberg的工作剛開(kāi)始時(shí)并未受到重視，從60年代開(kāi)始，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，研究樣條函數(shù)的熱潮才漸漸興起，當(dāng)時(shí)它與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)相結(jié)合，應(yīng)用在外形設(shè)計(jì)方面。到70年代得到迅速發(fā)展，經(jīng)過(guò)半個(gè)多世紀(jì)的發(fā)展，樣條函數(shù)作為一類靈巧而有效的數(shù)學(xué)工具已被廣泛應(yīng)用于計(jì)算幾何、數(shù)值插值、逼近，數(shù)值微分、積分等數(shù)學(xué)與工程的各個(gè)領(lǐng)域。數(shù)十年的理論和實(shí)踐表明，樣條是一類特別有效的逼近工具。

二、樣條函數(shù)在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用

1.三次樣條插值與擬合

在數(shù)值計(jì)算中許多實(shí)際問(wèn)題都存在某些特定的數(shù)量關(guān)系y=f（x），其中相當(dāng)一部分函數(shù)是通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀測(cè)得到的，雖然f（x）在某個(gè)區(qū)間上是存在的甚至是連續(xù)的，但通過(guò)實(shí)驗(yàn)只能得到一些散亂的數(shù)據(jù)點(diǎn)。有的函數(shù)雖然有函數(shù)解析式，但由于解析式的形式復(fù)雜使使用不方便。為此需要構(gòu)造一些滿足給定條件且表達(dá)式簡(jiǎn)單的插值函數(shù) ［2］。

2.數(shù)值微分與積分

當(dāng)函數(shù)f（x）為類表函數(shù)或圖示函數(shù)時(shí)，尋找函數(shù)某點(diǎn)的微商，只能借助數(shù)值方法。根據(jù)樣條函數(shù)誤差估計(jì)公式，可以知道用f（x）的插值三次樣條公式s（x）的微商s′（x）來(lái)替f ′（x）時(shí)，其誤差為°（h3），其中h表示劃分區(qū)間段中長(zhǎng)度最大者，所以用s′（x）來(lái)替f′（x）很合適。特別當(dāng)劃分是等距的，h為相鄰兩結(jié)點(diǎn)間的距離時(shí)，各結(jié)點(diǎn)xi處有f′（xi）=s′（xi）=■

3.常微分方程的樣條函數(shù)解法

W. G. Bickley提出求解兩點(diǎn)邊值問(wèn)題的數(shù)值方法 ［3］。E. A. Al-Said利用一元三次樣條給出求解一類二階邊值問(wèn)題（一階導(dǎo)項(xiàng)缺失） 的數(shù)值方法［4］，以及Arshad Khan利用參數(shù)三次樣條求解同類問(wèn)題的數(shù)值方法［5］。E. A. Al-Said的方法歸結(jié)為求逼近解析解的一元三次樣條函數(shù)，通過(guò)樣條函數(shù)計(jì)算出各結(jié)點(diǎn)上的數(shù)值解，并證明了該方法是二階收斂的。Arshad Khan構(gòu)造了二階邊值問(wèn)題的差分格式，并通過(guò)不同的參數(shù)選取，分別獲得二階和四階收斂的數(shù)值方法，并且在適當(dāng)?shù)膮?shù)選取下退化為Bickley的方法[3]和Usmani基于四次樣條給出的四階方法［6］。

在S24（Δ（2）mn）中的均勻B-樣條在求解偏微分方程數(shù)值解中。利用S24（Δ（2）mn）中兩組具有高度對(duì)稱性的均勻B-樣條給出了求Poisson方程數(shù)值解。并利用這兩組B-樣條所構(gòu)造的擬插值算子討論數(shù)值解的誤差估計(jì)。具體數(shù)值算例也顯示了這種方法的有效性和高精度，類似的方法還可以用在其他類型的偏微分方程數(shù)值解中。

注：本文為國(guó)家科技計(jì)劃項(xiàng)目創(chuàng)新方法專項(xiàng) “科學(xué)思維、科學(xué)方法在高校教學(xué)創(chuàng)新中的應(yīng)用與實(shí)踐”（NO.2009IM010400）、河北省高等學(xué)校人文社會(huì)科學(xué)研究教育規(guī)劃項(xiàng)目“五環(huán)式大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)模式的研究與實(shí)踐”（NO.GH132044）、高等學(xué)校大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究與發(fā)展中心教學(xué)改革項(xiàng)目“開(kāi)放課程背景下基于應(yīng)用型人才培養(yǎng)的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的研究與實(shí)踐”、河北聯(lián)合大學(xué)教育教學(xué)改革項(xiàng)目（NO.z1202-02，NO. Y1336-06）的研究成果。

參考文獻(xiàn)：

［1］J. Schoenberg. Contributions to the problem of approximation of equidistant data by analytic function, Quart［J］. Applied Mathematics, 1946, 4: 45-99,112-141.

［2］王省富. 樣條函數(shù)及其應(yīng)用［M］. 西北工業(yè)大學(xué)出版社, 1989-09.

［3］韓延鵬.基于二元B樣條的某些數(shù)據(jù)擬合方法［D］.大連理工大學(xué)，2010-12.

［4］曲凱.多元樣條及其某些應(yīng)用［D］.大連理工大學(xué)，2010-06.

［5］朱功勤，何天曉.關(guān)于多元樣條函數(shù)研究［J］.合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版.1989（02）.

［6］朱安民.多元樣條函數(shù).同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào)，1984（02）.

編輯 張珍珍