關(guān)于歐拉函數(shù)方程?(?(x))=2t的可解性

多布杰

關(guān)于歐拉函數(shù)方程?(?(x))=2t的可解性

多布杰

(西藏大學(xué)理學(xué)院,西藏拉薩850000)

對(duì)任意的正整數(shù)n,函數(shù)?(n)為著名的Euler函數(shù),即在序列1,2,···,n中與n互質(zhì)的整數(shù)的個(gè)數(shù).本文利用初等方法研究了方程?(?(x))的可解性,并給出了該方程的全部正整數(shù)解.

Euler函數(shù);方程;正整數(shù)解

1 引言及結(jié)論

對(duì)任意的正整數(shù)n,函數(shù)?(n)為著名的Euler函數(shù),即在序列1,2,···,n或0,1,2,···,n?1中與n互質(zhì)的整數(shù)的個(gè)數(shù)[1-2].關(guān)于Euler函數(shù)的研究是數(shù)論中十分重要和有意義的課題.許多學(xué)者研究了歐拉函數(shù)的性質(zhì)及含有歐拉函數(shù)的方程的可解性[3-5].1922年,Carmichael曾經(jīng)猜測(cè):對(duì)于給定的偶數(shù)2t,如果方程

有解,則它至少有2個(gè)解.文獻(xiàn)[3]證實(shí)了Carmichael猜測(cè)在t是奇數(shù)時(shí)是正確的,即獲得了方程(1)的所有正整數(shù)解,具體如下:

定理1.1當(dāng)t是奇數(shù)時(shí),如果t=1,則方程(1)有3個(gè)解x=3,4,6;如果t>1,則方程(1)有解的充分必要條件是存在奇素?cái)?shù)p和正整數(shù)α,使得

當(dāng)此條件成立時(shí),如果2t+1不是素?cái)?shù),則方程(1)有2個(gè)解n=pα,2pα;如果2t+1是素?cái)?shù),則方程(1)有4個(gè)解n=pα,2pα,2t+1,2(2t+1)[3].

本文利用初等方法討論方程

的可解性,并給出了該方程的全部正整數(shù)解,即證明了:

定理1.2當(dāng)t是奇數(shù)時(shí),如果t=1,則方程(3)有8個(gè)解x=5,7,8,9,10,12,14,18;如果t>1,則方程(3)有解的充分必要條件是:存在奇素?cái)?shù)q和正整數(shù)α,使得

當(dāng)此條件成立時(shí),如果2t+1不是素?cái)?shù),則方程(3)有2個(gè)解x=2qα+1,2(2qα+1);如果2t+1是素?cái)?shù),則方程(3)有4個(gè)解

其中2qα+1,2(2t+1)+1均為素?cái)?shù).

2 定理的證明

首先,證明t=1時(shí)的情況.

設(shè)x=n為方程

的解.不妨設(shè)

其中pi(1≤i≤k)為滿足p1

因?yàn)楫?dāng)k≥2時(shí),由歐拉函數(shù)的定義可知,

即方程不成立,故必有k≤1.

1 若k=0,那么n=2α0.

此時(shí),

即原方程與方程2α0?2=2同解,那么可得α0=3,即n=23=8是方程的解.

2 若k=1,那么n=2α0pα,其中p為奇素?cái)?shù).

此時(shí)必有α0≤2且α≤2.因?yàn)?當(dāng)α0≥3時(shí),

同樣,當(dāng)α≥3時(shí),

現(xiàn)在分以下幾種情況討論.

(a)如果α0=0,則n=pα.

當(dāng)α=0時(shí),?(?(n))=?(?(1))=1,方程顯然不成立,即方程無(wú)解.

當(dāng)α=1時(shí),?(?(n))=?(p?1),方程(5)等價(jià)于?(p?1)=2,此時(shí)方程只有兩個(gè)解p=5,7,即n=5,7.

當(dāng)α=2時(shí),?(?(n))=(p?1)?(p?1),方程(5)等價(jià)于(p?1)?(p?1)=2,那么可得p=3,即n=32=9是方程(5)的解.

(b)如果α0=1,則n=2pα.

由于?(2pα)=?(pα),從而由(a)的結(jié)果,有:

當(dāng)α=0時(shí),?(?(n))=?(?(2))=1,方程顯然不成立,即方程(5)無(wú)解.

當(dāng)α=1時(shí),p=5,7,即n=10,14是方程(5)的解.

當(dāng)α=2時(shí),p=3,即n=18是方程(5)的解.

(c)如果α0=2,則n=4pα.

當(dāng)α=0時(shí),?(?(n))=?(?(4))=1,方程顯然不成立,即方程(5)無(wú)解.

當(dāng)α=1時(shí),?(?(n))=?(2(p?1)),方程(5)等價(jià)于?(2(p?1))=2,此時(shí)方程只有一個(gè)解p=3,即n=12.

當(dāng)α=2時(shí),由于

方程無(wú)解.

由以上結(jié)果得,當(dāng)t=1時(shí),方程(5)有8個(gè)解x=5,7,8,9,10,12,14,18.

其次,證明t>1時(shí)的情況.

設(shè)x=n為方程(3)的解.若設(shè)n=2α0·m,?(m)=2β·t,α0≥0,β0≥0,m,t均為奇數(shù).

那么,當(dāng)α0≥3時(shí),由歐拉函數(shù)的計(jì)算公式,有

故?(?(n))必為4的倍數(shù),故方程不能成立.因此必有α0≤2.

而如果α0=2,那么n=22·m,所以?(?(n))=2?(?(m)),要想使方程?(?(n))=2t成立,必有?(?(m))為奇數(shù),即?(m)≤2.從而,m=1或m=3,也就是n=4或n=12.但?(?(4))=1,?(?(12))=2,方程均不成立.因此必有α0=0或α0=1.同時(shí),因?yàn)?(2)=1,所以原方程有解x=2m的充分必要條件是它有解x=m,其中m為奇數(shù).

若方程(3)有解x=m,則必有m>1,從而可設(shè)

其中pi(1≤i≤k)為滿足p1

由于k>1時(shí),

因此,?(?(m))必為4的倍數(shù),方程不可能成立,所以必有k=1,從而m=pα.

又因?yàn)?(?(pα))=?(pα?1?(p?1)),因此當(dāng)α>1,p>3時(shí),?(?(m))必為4的倍數(shù),而?(?(3))=1,所以必有α=1.

從而原方程與方程

等價(jià),也即與方程

等價(jià).

由文獻(xiàn)[3]知,當(dāng)t>1時(shí),方程?(p?1)=2t有解的充分必要條件是:存在奇素?cái)?shù)q和正整數(shù)α,使得

當(dāng)此條件成立時(shí),如果2t+1不是素?cái)?shù),則方程(10)有2個(gè)解p?1=qα,2qα;如果2t+1是素?cái)?shù),則方程(10)有4個(gè)解p?1=qα,2qα,2t+1,2(2t+1).但由于p是奇素?cái)?shù),因此p?1=qα,2t+1應(yīng)舍去.

即當(dāng)條件(11)成立時(shí),如果2t+1不是素?cái)?shù),則方程(9)有1個(gè)解p=2qα+1;如果2t+1是素?cái)?shù),則方程(9)有2個(gè)解p=2qα+1,2(2t+1)+1.

即當(dāng)t>1時(shí),方程(3)有解的充分必要條件是:存在奇素?cái)?shù)q和正整數(shù)α,使得

當(dāng)此條件成立時(shí),如果2t+1不是素?cái)?shù),則方程(3)有2個(gè)解x=2qα+1,2(2qα+1);如果2t+1是素?cái)?shù),則方程(3)有4個(gè)解,分別為:

其中2qα+1,2(2t+1)+1均為素?cái)?shù).

[1]閔嗣鶴,嚴(yán)士健.初等數(shù)論[M].北京:高等教育出版社,2003.

[2]潘承洞,潘承彪.初等數(shù)論[M].北京:北京大學(xué)出版社,2003.

[3]樂(lè)茂華.關(guān)于方程?(x)=2t[J].周口師范學(xué)院學(xué)報(bào),2005,22(5):18-82.

[4]田呈亮,付靜,白維祖.一個(gè)包含歐拉函數(shù)的方程[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2010,26(1):96-98.

[5]多布杰.關(guān)于數(shù)論函數(shù)方程?(?(n))=2ω(n)的可解性問(wèn)題研究[J].西藏大學(xué)學(xué)報(bào),2012,27(1):102-106.

Solvability of Euler′s functional equation ?(?(x))=2t

Duo Bujie
(School of Science,Tibet University,Lhasa850000,China)

The function ?(n)is the famous Euler’s totient function for arbitrary positive integer n,i.e.it is the integral individual number of coprime with in the sequence 1,2,···,n?1,n.In the present paper,the solvability of equation ?(?(x))=2t was studied and all the positive integer solutions of the equation were given by using the elementary methods.

Euler′s totient function,equation,positive integer solutions

O156

A

1008-5513(2014)06-0564-05

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.06.003

2012-12-06.

西藏大學(xué)2014年“高等數(shù)學(xué)系列課程教學(xué)團(tuán)隊(duì)”階段性成果.

多布杰(1972-),副教授,研究方向:數(shù)論.

2010 MSC:11A99