具有Kelvin-Voigt阻尼的弱耦合系統(tǒng)的能量衰減估計

樊美麗,章春國,谷尚武

具有Kelvin-Voigt阻尼的弱耦合系統(tǒng)的能量衰減估計

樊美麗,章春國,谷尚武

(杭州電子科技大學數(shù)學系,浙江杭州310018)

研究具有Kelvin-Voigt阻尼的弱耦合系統(tǒng).首先在合適的假設條件下,應用線性算子半群理論證明了系統(tǒng)的適定性;進而運用線性算子半群的頻域定理證明了具有Kelvin-Voigt阻尼的弱耦合梁―弦系統(tǒng)的能量是一致指數(shù)衰減的.

Kelvin-Voigt阻尼;弱耦合系統(tǒng);線性算子半群;一致指數(shù)衰減

1 引言

基于梁、弦、板等系統(tǒng)在空間科學及機器人學中的廣泛應用,由智能材料制成的補釘黏貼在或嵌入到基底結構中作為主動或被動的阻尼器,為了獲得最優(yōu)配置(最佳控制)結果,往往需要知道系統(tǒng)能量衰減與系統(tǒng)參數(shù)之間的定量關系,實際系統(tǒng)的控制作用往往取決于系統(tǒng)的這一指標.近二十年來,應用的發(fā)展和技術要求的不斷提高,驅使國內外許多數(shù)學和力學工作者研究各種具有不同類型阻尼的Euler-Bernoulli梁、Timoshenko梁、Rayleigh梁以及Petrovsky板等系統(tǒng)(耦合系統(tǒng))的穩(wěn)定性.例如:文獻[1-2]研究的是非線性阻尼耦合振動的Petrovsky系統(tǒng),文獻[3-6]考慮的是各種具有不同阻尼的弦、梁及波系統(tǒng)的穩(wěn)定性.本文考慮一類具有Kelvin-Voigt阻尼的弱耦合系統(tǒng)的穩(wěn)定性.確切地說,研究如下具有Kelvin-Voigt阻尼的弱耦合系統(tǒng)的初邊值問題:

其中“′”表示對空間變量x的導數(shù),a(x)∈L∞(0,L).

本文的方法源于文獻[6].在合適的假設下,應用經(jīng)典結果[7]和C0-半群生成元的預解式在虛軸上的有界性的頻域結果[8],并且運用線性算子半群理論、分片乘子技巧以及矛盾的討論得到了系統(tǒng)(1)的適定性和能量的一致指數(shù)衰減性.

2 主要結果

為了研究系統(tǒng)(1)的穩(wěn)定性,作如下的假設:

(H1)假設

其中Poincare常數(shù)c1,c2>0.為了方便起見,記∥a∥L∞(0,L)為∥a∥∞.

(H2)

定義系統(tǒng)(1)在時刻t的能量為:

引入Hilbert空間

其中Hk(0,L)是k階Sobolev空間[9].并賦予范數(shù):

因此V,H均為Hilbert空間.

設

并賦予范數(shù):

那么H也是Hilbert空間.

在H中定義線性算子A如下:

那么,可以將系統(tǒng)(1)改寫成H上的抽象Cauchy問題:

其中Z=(u1,u2,v1,v2),

現(xiàn)在敘述本文的主要結果:

定理2.1如果假設(H1)-(H2)成立,那么A是H上壓縮C0-半群eAt的無窮生成元.進一步,若(u01,u02,v01,v02)∈D(A),則系統(tǒng)(1)存在唯一的強解;若(u01,u02,v01,v02)∈H,則系統(tǒng)(1)存在唯一的弱解.

定理2.2如果假設(H1)-(H2)成立,那么系統(tǒng)(1)的能量是一致指數(shù)衰減的.

3 系統(tǒng)的適定性和半群的譜性質

首先證明算子A生成H上的壓縮C0-半群eAt,進而證明系統(tǒng)的適定性,并且得到線性算子A的譜性質.

定理2.1的證明對于任意的Z=(u1,u2,v1,v2)∈D(A).由分部積分得,

因此A在H中是耗散的.易知kerA={0},對?Z1=(f1,f2,f3,f4)∈H,求解方程:

即

將(11)和(12)兩式相加,分部積分,并應用邊界條件得:

于是由(13)式,(H1)和帶權Cauchy不等式得:

另一方面,由(4)式得,

于是由(14)和(15)兩式得:

于是存在正數(shù)M1,使得

由(10)式和假設(H1),(H2)得:存在正常數(shù)C1,C2,使得

由(19)-(21)式得到:存在某個常數(shù)M>0,使得∥Z∥H≤M∥Z1∥H.因此,

且A是閉的.對足夠小的λ>0,λI?A的值域rg(λI?A)=H,故由文獻[7]定理1.4.6知則應用Lumer-Phillips定理即證明了A是H上壓縮C0-半群eAt的無窮生成元.

進一步,若(u01,u02,v01,v02)∈D(A),則系統(tǒng)(1)存在唯一的強解:

性質3.1iR?ρ(A).

證明首先,證明A具有緊的預解式.

不妨設{Yn|n≥1}?H是一有界序列:對于n≥1,≤C成立.由上面的證明可得λ=0∈ρ(A).則令Zn=A?1Yn,有∥AZn∥H≤C,根據(jù)Sobolev嵌入定理可知,在Zn中能夠找到收斂的子列,因此A?1是緊的.

由引理4.1[10]的類似證法,可得:

使得

則由(8)式可得,

因此在L2(0,L)中有注意到,

那么在(0,L)中,有

由(22)式以及算子A的定義得到:

故在(0,L)上,有(u1,u2,v1,v2)=0與假設矛盾.因此原命題成立.

4 定理2.2的證明

若u1(x,t),u2(x,t)是系統(tǒng)(1)的解.那么有:

能量E(t)的一致指數(shù)衰減性等價于C0-半群eAt的一致指數(shù)穩(wěn)定性.由性質3.1和頻域結果[8],只需證明:

假設(26)式不成立,即sup{∥(iβ?A)?1∥|β∈R}=+∞,由一致有界性定理和預解式的連續(xù)性知,存在{βn}?R和{Zn=(u1n,u2n,v1n,v2n)}?D(A),使得

且在H中,有

于是,在V中有,

在H中有,

由(8)式可得:

因此在L2(0,L)中有

另一方面,由(29)式知,〈(f1n,f2n),(v1n,v2n)〉H→0,通過分部積分得,

由(30)式知,〈(f3n,f4n),(u1n,u2n)〉H→0,通過分部積分并結合(31)式得,

將(33)和(34)兩式相加,并取實部得:

又由(29)結合(27)式得到:在L2(0,L)中有,u1n→0,u2n→0,于是結合(H1),有

從而由(35)結合(27)式得到:

于是(36)的第二式與(32)式矛盾.這就證明了定理2.2.

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Energy decay estimates for the weakly coupled systems with Kelvin-Voigt damping

Fan Meili,Zhang Chunguo,Gu Shangwu
(Department of Mathematics,Hangzhou Dianzi University,Hangzhou310018,China)

This paper studies the weakly coupled systems with Kelvin-Voigt damping.First,under the appropriate hypothesis,we prove the well-posedness of the system by using the theory of linear operator semigroup. And then,we show that the energy of the weakly coupled system with Kelvin-Voigt damping is uniform exponential decay by applying the frequency domain result on Hilbert space.

Kelvin-Voigt damping,weakly coupled system,linear operator semigroup, uniform exponential decay

O231.4

A

1008-5513(2014)06-0634-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.06.013

2014-07-31.

國家自然科學基金(61374096,11271104).

樊美麗(1989-),碩士生,研究方向：分布參數(shù)系統(tǒng).

2010 MSC:35B37,93B52