• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    關(guān)于Diophantine方程(44n)x+(117n)y=(125n)z的整數(shù)解

    2014-07-24 18:47:57魯偉陽高麗郝虹斐
    關(guān)鍵詞:延安大學(xué)正整數(shù)情形

    魯偉陽,高麗,郝虹斐

    關(guān)于Diophantine方程(44n)x+(117n)y=(125n)z的整數(shù)解

    魯偉陽,高麗,郝虹斐

    (延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,陜西延安716000)

    在Je′smanow′?cz猜想的基礎(chǔ)上,利用初等方法證明了對(duì)任意的正整數(shù)n, Diophantine方程(44n)x+(117n)y=(125n)z僅有正整數(shù)解(x,y,z)=(2,2,2).

    Je′smanow′?cz猜想;Diophantine方程;初等方法;幸福數(shù)

    1 引言

    指數(shù)型Diophantine方程是Diophantine方程中較難的一個(gè)類型,給定正整數(shù)a,b,c, Diophantine方程ax+by=cz,x,y,z∈N的求解是一個(gè)基本而又重要的課題,很多學(xué)者都從事過這方面的研究.目前的工作有:當(dāng)a,b,c為一商高數(shù)組時(shí),Je′smanow′?cz[1]猜測(cè)方程ax+by=cz僅有正整數(shù)解(x,y,z)=(2,2,2),但這個(gè)問題至今也沒有完全解決.對(duì)于較簡單的商高數(shù)組a=2n+1,b=2n(n+1),c=2n(n+1)+1,S′?erp′?nski[2]和Je′smanow′?cz[1]分別證明了n=1和n=2,3,4,5時(shí)猜測(cè)是正確的.后來,柯召、孫琦[3-5]和饒德銘[6]利用簡單同余法和分解因子法將此結(jié)果進(jìn)行了較大的改進(jìn),胡永忠和袁平之[7]給出了更加精確的證明.

    設(shè)a,b,c是商高數(shù)組,即a,b,c是滿足a2+b2=c2的兩兩互素的正整數(shù),則Diophantine方程

    顯然有正整數(shù)解(x,y,z)=(2,2,2).1956年,S′?erp′?nski[2]證明了n=1,(a,b,c)=(3,4,5)時(shí),方程(1)僅有正整數(shù)解(x,y,z)=(2,2,2);Je′smanow′?cz[1]證明了

    時(shí),方程(1)僅有正整數(shù)解(x,y,z)=(2,2,2),并且猜測(cè)對(duì)任意的正整數(shù)n,方程(1)僅有正整數(shù)解(x,y,z)=(2,2,2),這就是著名的Je′smanow′?cz猜想,又稱商高數(shù)猜想.近年來,許多學(xué)者都在研究這一問題并取得不少研究成果[8-19].

    幸福數(shù)(happy number)這一概念是由Reg Allenby的女兒提出來的.如果重復(fù)對(duì)一個(gè)數(shù)的十進(jìn)位數(shù)字求平方和這一程序,則易見要么得到圈4→16→37→58→89→145→42→20→4,要么得到1.后一情形,是從一個(gè)幸福數(shù)開始的[20].

    本文選擇方程(1)中的a為幸福數(shù)44,利用初等方法證明當(dāng)a=44,b=117,c=125時(shí), Je′sma-now′?cz猜想成立.即

    定理1.1對(duì)任意的正整數(shù)n,Diophantine方程

    僅有正整數(shù)解(x,y,z)=(2,2,2).

    2 相關(guān)引理

    引理2.1[8]若z≥max{x,y},且正整數(shù)a,b,c(不一定互素)滿足a2+b2=c2,則Diophantine方程ax+by=cz僅有正整數(shù)解(x,y,z)=(2,2,2).

    引理2.2[21]令a=r2?s2,b=2rs,c=r2+s2,其中(r,s)=1,r>s且2|rs.若2∥rs,且c=pn(p為奇素?cái)?shù)),則Diophantine方程ax+by=cz僅有正整數(shù)解(x,y,z)=(2,2,2).

    3 定理的證明

    由引理2.1知,只需證明n≥2且z

    情形1x=y.

    由方程(2)可得,

    令n=53rn1,其中r≥0且(5,n1)=1,則

    若n1=1且r≥0,(5,n1)=1,nx?z1|53z?3r(x?z),則

    由引理2.2可知,x=z?r(x?z)=2,則x=y=z=2,矛盾.

    若n1>1且(5,n1)=1,則x=z,矛盾.

    情形2x

    情形2.1若z

    令n=53rn1,其中r≥0,且(5,n1)=1,則

    顯然n1=1且r>0,則有44x+117y53r(y?x)=53z?3r(x?z).因?yàn)閦

    情形2.2若x≤z

    令n=2r11pn1,其中r,p≥0且(22,n1)=1,則

    顯然nz?x1=1,則

    情形2.2.1若r=p=0,則n1>1,因此x=z,(4)式可轉(zhuǎn)化為:

    上式兩邊同取模13,則(?5)x≡5x(mod 13),即(?1)x≡1(mod 13),顯然有x≡0(mod 2).

    令x=2x1,則

    又因?yàn)?125x1+44x1,125x1?44x1)=1,所以有13y|125x1+44x1或13y|125x1?44x1.然而

    矛盾.

    情形2.2.2若r=0,p>0,則x=p(z?x)>0,n1=1.由(4)式可得,

    對(duì)上式兩邊同時(shí)取模3,則(?1)z≡1(mod 3),因此z≡0(mod 2).令z=2z1,則

    又因?yàn)?125z1+2x,125z1?2x)=1,所以有13y|125z1+2x或13y|125z1?2x.然而

    矛盾.

    情形2.2.3若r>0,p=0,則2x=r(z?x)>0,n1=1.由(4)式可得,

    上式兩邊同取模3、模4,則(?1)z≡(?1)x(mod 3),(?1)x≡1(mod 4).顯然x≡0(mod 2), z≡0(mod 2).

    令x=2x1,z=2z1,則

    又因?yàn)?125z1+11x1,125z1?11x1)=2,所以有13y|125z1+11x1或13y|125z1?11x1.然而

    矛盾.

    情形2.2.4若r>0,p>0,則2x=r(z?x)>0,x=p(z?x)>0,n1=1.由(4)式可得,

    則有(?1)z≡1(mod 3),因此z≡0(mod 2).令z=2z1,則

    又(125z1+1,125z1?1)=2,所以有13y|125z1+1或13y|125z1?1.然而

    矛盾.

    情形3x>y.

    情形3.1若x>y≥z,則由方程(2)可得,ny?z(44xnx?y+117y)=125z.

    令n=5rn1,其中r≥0,且(5,n1)=1,則

    情形3.1.1若r=0,則n1>1,因此y=z.由(5)式可得,

    對(duì)上式兩邊同時(shí)取模5,則2y≡0(mod 5),此同余式顯然無解,故此情形下方程(5)無解.

    情形3.1.2若r>0,則5|53z?r(y?z)?117y,因此3z=r(y?z)>0,且n1=1.由(5)式可得,

    顯然這是不可能的.

    情形3.2若x>z>y,則由方程(2)可得,117y=nz?y(125z?44xnx?z).

    令n=3r13pn1,其中r,p≥0且(39,n1)=1,則

    顯然n1=1,r+p>0.

    情形3.2.1若r=0,p>0,則y=p(z?y).由(6)式可得,

    上式兩邊同取模8、模11,則有(?3)z≡1(mod 8),4z≡(?2)y(mod 11),因此z≡0(mod 2), y≡0(mod 2).

    令z=2z1,則

    又因?yàn)?125z1+3y,125z1?3y)=2,所以有,

    若22x?1|125z1?3y,2|125z1+3y且11x|125z1+3y,則

    矛盾.

    若22x?1|125z1?3y,2|125z1+3y且11x|125z1?3y,則

    矛盾.

    若22x?1|125z1+3y,2|125z1?3y且11x|125z1+3y,則

    矛盾.

    若22x?1|125z1+3y,2|125z1?3y且11x|125z1?3y,則

    矛盾.

    情形3.2.2若r>0,p=0,則2y=r(z?y).由(6)式可得

    上式兩邊同取模3、模11,則(?1)z≡1(mod 3),4z≡2y(mod 11),因此z≡0(mod 2), y≡2z(mod 4).

    令y=2y1,z=2z1,則

    又因?yàn)?125z1+13y1,125z1?13y1)=2且4 ? 125z1+13y1,則有

    若22x?1|125z1?13y1且13x|125z1?13y1,則

    矛盾.

    若22x?1|125z1?13y1且13x|125z1+13y1,則

    矛盾.

    情形3.2.3若r>0,p>0,則2y=r(z?y),y=p(z?y),所以r=2p.由(6)式可得,

    上式兩邊同取模3,得(?1)z≡1(mod 3),則z≡0(mod 2)且7|125z?1,即7|44x117p(x?z),這是不可能的.

    綜上,完成了定理的證明.

    [1]Je′smanow′?cz L.Some remarks on Pythagorean numbers[J].Wiadom.Mat.Ser.,1956,1(2):196-202.

    [2]S′?erp′?nski W.On the equation 3x+4y=5z[J].Wiadom.Mat.Ser.,1956,1(2):194-195.

    [3]Ko C.On Pythagorean numbers a=2n+1,b=2n(n+1),c=2n(n+1)+1[J].Sichuan Daxue Xuebao, 1963,2:9-14.

    [4]Ko C,Sun Q.On Pythagorean numbers a=2n+1,b=2n(n+1),c=2n(n+1)+1(II)[J].Sichuan Daxue Xuebao,1964,3:1-12.

    [5]Ko C.On Pythagorean numbers a=2n+1,b=2n(n+1),c=2n(n+1)+1(III)[J].Sichuan Daxue Xuebao, 1964,4:11-26.

    [6]Rao D M.A note on the diophantine equation(2n+1)x+(2n(n+1))y=(2n(n+1)+1)z[J].Sichuan Daxue Xuebao,1960,1:79-80.

    [7]胡永忠,袁平之.商高數(shù)的Je′smanow′?cz猜想[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào):中文版,2010,53(2):297-300.

    [8]Deng M J,Cohen G L.On the conjecture of Je′smanow′?cz concerning Pythagorean tripies[J].Bull.Aust. Math.Sco.,1998,57(3):515-524.

    [9]鄧謀杰.關(guān)于丟番圖方程(13n)x+(84n)y=(85n)z[J].黑龍江農(nóng)墾師專學(xué)報(bào),1999,3:40-41.

    [10]鄧謀杰.關(guān)于丟番圖方程(15n)x+(112n)y=(113n)z[J].黑龍江大學(xué):自然科學(xué)學(xué)報(bào),2007,24(5):617-620.

    [11]車慧.關(guān)于不定方程(21n)x+(220n)y=(221n)z[D].重慶:西南大學(xué)圖書館,2011.

    [12]王麗麗.關(guān)于不定方程(39n)x+(760n)y=(761n)z[D].重慶:西南大學(xué)圖書館,2011.

    [13]楊志娟,翁建欣.關(guān)于丟番圖方程(12n)x+(35n)y=(37n)z[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2012,28(5):698-704.

    [14]Cheng Z,Sun C F,Du X N.On the Diophantine Equation(20n)x+(21n)y=(29n)z[J].Math.Applicata, 2013,26(1):129-133.

    [15]馬靜.關(guān)于不定方程(57n)x+(1624n)y=(1625n)z[D].重慶:西南大學(xué)圖書館,2013.

    [16]Tang Min,Weng Jianxin.Je′smanow′?cz conjecture and Fermat numbers[EB/OL].(2013-04-02)[2013-05-20] http://arxiv.org/pdf/1304.0514.pdf.

    [17]凌燈榮,翁建欣.關(guān)于丟番圖方程(195n)x+(28n)y=(197n)z[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2013,29(4):342-349. [18]唐剛.關(guān)于丟番圖方程(45n)x+(28n)y=(53n)z[J].西南民族大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2014,40(1):101-104.

    [19]Sun Cuifang,Cheng Zhi.A conjecture of Je′smanow′?cz concerning pythagorean triples[J].Advances in Mathematics(China),2014,43(2):267-275.

    [20]Richard K Guy.Unsolved Problems in Number Theory[M].3nd ed.New York:Springer Verlag,2007.

    [21]Le Maohua.A note on Je′smanow′?cz conjecture[J].Colloquium Mathematicicum,1995,69(1):47-51.

    On the integral solutions of Diophantine equation (44n)x+(117n)y=(125n)z

    Lu Weiyang,Gao Li,Hao Hongfei
    (College of Mathematics and Computer Science,Yan′an University,Yan′an716000,China)

    In this paper,basing on Je′smanow′?cz′conjecture,it is proved that for any positive integral n the Diophantine equation(44n)x+(117n)y=(125n)zhas only integral solution(x,y,z)=(2,2,2)by elementary method.

    Je′smanow′?cz′conjecture,Diophantine equation,elementary method,happy number

    O156

    A

    1008-5513(2014)06-0627-07

    10.3969/j.issn.1008-5513.2014.06.012

    2014-07-26.

    陜西省教育廳自然科學(xué)基金(2013JQ1019);延安大學(xué)自然科學(xué)專項(xiàng)科研基金(YDZ201304);延安大學(xué)碩士研究生教育創(chuàng)新計(jì)劃項(xiàng)目.

    魯偉陽(1989-),碩士生,研究方向:數(shù)論.

    2010 MSC:11D61

    猜你喜歡
    延安大學(xué)正整數(shù)情形
    延安大學(xué)王必成教授書寫
    《延安大學(xué)學(xué)報(bào)(社會(huì)科學(xué)版)》征稿啟事
    避免房地產(chǎn)繼承糾紛的十二種情形
    四種情形拖欠勞動(dòng)報(bào)酬構(gòu)成“拒不支付”犯罪
    公民與法治(2020年4期)2020-05-30 12:31:34
    被k(2≤k≤16)整除的正整數(shù)的特征
    周期數(shù)列中的常見結(jié)論及應(yīng)用*
    方程xy=yx+1的全部正整數(shù)解
    Research on the Application of English Reading Strategies for Junior High School Students
    無 題
    文苑(2016年17期)2016-11-26 12:40:05
    出借車輛,五種情形下須擔(dān)責(zé)
    公民與法治(2016年9期)2016-05-17 04:12:18
    卡戴珊不雅视频在线播放| 成人无遮挡网站| 老司机影院成人| 在线亚洲精品国产二区图片欧美 | 国产老妇伦熟女老妇高清| 亚洲国产精品国产精品| 久久久久久久久久久免费av| 亚洲国产精品专区欧美| 最新中文字幕久久久久| 亚洲精品一二三| 六月丁香七月| 亚洲精品国产成人久久av| 少妇人妻久久综合中文| 亚洲美女视频黄频| 国产成人91sexporn| xxx大片免费视频| 七月丁香在线播放| 色吧在线观看| av.在线天堂| 18+在线观看网站| 在线观看一区二区三区激情| 久久久久久久亚洲中文字幕| 精品久久久噜噜| 青春草视频在线免费观看| 国产av一区二区精品久久 | 国产淫片久久久久久久久| 一本一本综合久久| 久久精品夜色国产| 久久精品国产亚洲网站| 国产深夜福利视频在线观看| 亚洲第一av免费看| 美女脱内裤让男人舔精品视频| 观看av在线不卡| 青青草视频在线视频观看| a 毛片基地| 新久久久久国产一级毛片| 人妻制服诱惑在线中文字幕| 亚洲av中文av极速乱| 汤姆久久久久久久影院中文字幕| 国产成人精品福利久久| 高清毛片免费看| 亚洲成人一二三区av| 毛片女人毛片| 高清不卡的av网站| 精品久久久久久久久av| av免费观看日本| 国产免费福利视频在线观看| 免费av不卡在线播放| 国产色爽女视频免费观看| 香蕉精品网在线| 一级毛片电影观看| 久久久久久久久久成人| 亚洲在久久综合| 亚洲中文av在线| 国产有黄有色有爽视频| 91午夜精品亚洲一区二区三区| 2022亚洲国产成人精品| 亚洲美女黄色视频免费看| 亚洲欧美成人综合另类久久久| 最新中文字幕久久久久| 日韩中文字幕视频在线看片 | 欧美成人午夜免费资源| 日韩电影二区| 日韩成人伦理影院| 欧美日韩视频精品一区| 好男人视频免费观看在线| 国产欧美日韩一区二区三区在线 | av视频免费观看在线观看| 国产乱人视频| 久久99热这里只频精品6学生| 韩国av在线不卡| 最近的中文字幕免费完整| 大陆偷拍与自拍| 人人妻人人爽人人添夜夜欢视频 | 嫩草影院新地址| 成人无遮挡网站| 国产在视频线精品| 人妻少妇偷人精品九色| 一级毛片我不卡| 简卡轻食公司| 国产精品蜜桃在线观看| 国产色爽女视频免费观看| 国产毛片在线视频| 成人亚洲欧美一区二区av| 一区二区三区精品91| 久久久久久伊人网av| 伦理电影免费视频| 久久人人爽av亚洲精品天堂 | 成人国产av品久久久| 成人影院久久| 成年av动漫网址| 亚洲经典国产精华液单| 中文精品一卡2卡3卡4更新| 国产精品一区www在线观看| 国产午夜精品一二区理论片| 日本午夜av视频| 亚洲aⅴ乱码一区二区在线播放| 中文字幕免费在线视频6| 国产精品一区二区在线观看99| 午夜福利在线在线| 午夜福利网站1000一区二区三区| a 毛片基地| 国产v大片淫在线免费观看| 亚洲精品第二区| 国产无遮挡羞羞视频在线观看| 最近的中文字幕免费完整| 免费在线观看成人毛片| 久久久久性生活片| 蜜桃久久精品国产亚洲av| 十八禁网站网址无遮挡 | 熟女人妻精品中文字幕| 特大巨黑吊av在线直播| 日韩欧美一区视频在线观看 | 亚洲图色成人| 国产亚洲av片在线观看秒播厂| 亚洲av中文字字幕乱码综合| 另类亚洲欧美激情| 丝袜脚勾引网站| 少妇 在线观看| 人人妻人人添人人爽欧美一区卜 | 久久久久国产网址| 国产探花极品一区二区| 成人高潮视频无遮挡免费网站| 91久久精品电影网| 国产精品无大码| 亚洲欧美日韩无卡精品| 亚洲天堂av无毛| 国产欧美另类精品又又久久亚洲欧美| 激情 狠狠 欧美| 日韩亚洲欧美综合| 久久久久久久大尺度免费视频| 亚洲av中文字字幕乱码综合| 性高湖久久久久久久久免费观看| 伊人久久精品亚洲午夜| 91狼人影院| 亚洲av二区三区四区| 在线观看免费日韩欧美大片 | 欧美老熟妇乱子伦牲交| 国产成人精品久久久久久| av国产免费在线观看| 美女主播在线视频| 欧美精品一区二区免费开放| 国产精品福利在线免费观看| 亚洲一区二区三区欧美精品| 国产精品无大码| 视频区图区小说| 大码成人一级视频| 中文精品一卡2卡3卡4更新| 久久ye,这里只有精品| 青春草亚洲视频在线观看| 亚洲国产欧美人成| 久久久久人妻精品一区果冻| 亚州av有码| 久久久久久久久久人人人人人人| 中文资源天堂在线| 亚洲精品aⅴ在线观看| 搡女人真爽免费视频火全软件| 日韩成人av中文字幕在线观看| 毛片女人毛片| 又爽又黄a免费视频| 国产探花极品一区二区| 日韩av不卡免费在线播放| 亚洲精品日韩在线中文字幕| 国内少妇人妻偷人精品xxx网站| av免费在线看不卡| 日日摸夜夜添夜夜爱| 国产乱来视频区| 国产伦精品一区二区三区四那| 久久精品人妻少妇| 久久ye,这里只有精品| 97热精品久久久久久| 国产高清三级在线| 欧美精品一区二区免费开放| 国产淫片久久久久久久久| 欧美人与善性xxx| 26uuu在线亚洲综合色| 亚洲国产最新在线播放| 久久毛片免费看一区二区三区| 欧美bdsm另类| 男人爽女人下面视频在线观看| 麻豆成人av视频| 精品久久久久久电影网| 人妻少妇偷人精品九色| 国产白丝娇喘喷水9色精品| 国产亚洲91精品色在线| 久久精品国产亚洲av天美| 男的添女的下面高潮视频| 久久99热这里只频精品6学生| 一个人免费看片子| 婷婷色综合大香蕉| 亚洲人与动物交配视频| 欧美区成人在线视频| 成人特级av手机在线观看| 亚洲人成网站在线播| 男女免费视频国产| 亚洲一级一片aⅴ在线观看| 91久久精品国产一区二区成人| 大香蕉97超碰在线| 成人漫画全彩无遮挡| 伦理电影免费视频| 一区二区三区免费毛片| 99久久精品国产国产毛片| 男人狂女人下面高潮的视频| 亚洲丝袜综合中文字幕| 久久女婷五月综合色啪小说| 夜夜看夜夜爽夜夜摸| 身体一侧抽搐| 少妇丰满av| 色哟哟·www| 日本av手机在线免费观看| av不卡在线播放| 午夜精品国产一区二区电影| 男女无遮挡免费网站观看| 精品熟女少妇av免费看| 久久久午夜欧美精品| 又粗又硬又长又爽又黄的视频| 91精品伊人久久大香线蕉| 毛片一级片免费看久久久久| 青青草视频在线视频观看| 国产免费视频播放在线视频| 国产精品99久久99久久久不卡 | 春色校园在线视频观看| 亚洲国产精品成人久久小说| 久久精品国产亚洲av天美| 国产精品99久久久久久久久| 国产男女超爽视频在线观看| 国产一区二区三区综合在线观看 | av卡一久久| 国产白丝娇喘喷水9色精品| 人人妻人人澡人人爽人人夜夜| 国产精品成人在线| 欧美一区二区亚洲| 蜜桃亚洲精品一区二区三区| 欧美+日韩+精品| 黄片wwwwww| 超碰av人人做人人爽久久| 免费看av在线观看网站| 2018国产大陆天天弄谢| 日韩制服骚丝袜av| 噜噜噜噜噜久久久久久91| 国产老妇伦熟女老妇高清| 丝瓜视频免费看黄片| 不卡视频在线观看欧美| 国产永久视频网站| 国产男女内射视频| 99久国产av精品国产电影| 黄色视频在线播放观看不卡| 国产精品国产三级国产专区5o| 久久亚洲国产成人精品v| 亚洲熟女精品中文字幕| 免费观看无遮挡的男女| 丝瓜视频免费看黄片| 亚洲第一区二区三区不卡| 国产男人的电影天堂91| 国产精品久久久久久精品古装| 国产免费福利视频在线观看| 插阴视频在线观看视频| 成人免费观看视频高清| 人人妻人人添人人爽欧美一区卜 | 日韩av在线免费看完整版不卡| 美女内射精品一级片tv| 久久这里有精品视频免费| 国产极品天堂在线| 亚洲内射少妇av| 毛片一级片免费看久久久久| 精品人妻熟女av久视频| 18禁动态无遮挡网站| 欧美+日韩+精品| 成人国产麻豆网| 丰满少妇做爰视频| 一级爰片在线观看| 日韩一本色道免费dvd| 丰满少妇做爰视频| 免费av不卡在线播放| 天堂8中文在线网| 免费人成在线观看视频色| 亚洲av成人精品一二三区| 少妇熟女欧美另类| 亚洲精品自拍成人| 大香蕉97超碰在线| 欧美日韩一区二区视频在线观看视频在线| 好男人视频免费观看在线| 国产探花极品一区二区| 视频中文字幕在线观看| 久久亚洲国产成人精品v| 国产男女内射视频| 美女中出高潮动态图| 菩萨蛮人人尽说江南好唐韦庄| 亚洲av综合色区一区| 久久久亚洲精品成人影院| 一本久久精品| 国产高清不卡午夜福利| 18禁在线无遮挡免费观看视频| 精品少妇黑人巨大在线播放| 偷拍熟女少妇极品色| 99久久精品一区二区三区| 各种免费的搞黄视频| 久久精品国产亚洲av天美| 亚洲欧美日韩无卡精品| 超碰97精品在线观看| 国产爱豆传媒在线观看| 国产 精品1| 亚洲第一区二区三区不卡| 99久久综合免费| 十八禁网站网址无遮挡 | 秋霞在线观看毛片| 男人舔奶头视频| 女性被躁到高潮视频| 黑丝袜美女国产一区| 日日摸夜夜添夜夜爱| 欧美人与善性xxx| 啦啦啦在线观看免费高清www| 啦啦啦啦在线视频资源| 人人妻人人爽人人添夜夜欢视频 | 国产亚洲一区二区精品| 精品亚洲成国产av| 我的老师免费观看完整版| 黑人高潮一二区| 一区二区三区乱码不卡18| 亚洲不卡免费看| 日本免费在线观看一区| 日韩三级伦理在线观看| 男男h啪啪无遮挡| 国产精品久久久久成人av| av国产久精品久网站免费入址| 亚洲精品乱码久久久v下载方式| 国产精品一区二区性色av| 深爱激情五月婷婷| 亚洲精品一区蜜桃| 亚洲av国产av综合av卡| 深爱激情五月婷婷| 亚洲不卡免费看| 国产精品久久久久久久电影| 久久99热这里只有精品18| 国产精品久久久久久av不卡| 内地一区二区视频在线| 免费观看在线日韩| 丰满乱子伦码专区| 国产欧美日韩一区二区三区在线 | a级毛片免费高清观看在线播放| 亚洲精品第二区| 欧美激情极品国产一区二区三区 | 亚洲欧美日韩无卡精品| 人人妻人人添人人爽欧美一区卜 | 制服丝袜香蕉在线| 少妇裸体淫交视频免费看高清| 少妇精品久久久久久久| 大码成人一级视频| 久久精品熟女亚洲av麻豆精品| 97超视频在线观看视频| 日韩视频在线欧美| 国产精品三级大全| 亚洲人成网站在线观看播放| 中国国产av一级| 亚洲精华国产精华液的使用体验| 久久影院123| 国产成人午夜福利电影在线观看| 国产精品一区二区在线不卡| 91精品一卡2卡3卡4卡| 国产高清国产精品国产三级 | 欧美精品国产亚洲| 国产91av在线免费观看| 性高湖久久久久久久久免费观看| 国产亚洲5aaaaa淫片| 国产精品一区二区在线不卡| 久久精品夜色国产| 亚洲精品乱久久久久久| 韩国av在线不卡| 在线天堂最新版资源| 欧美国产精品一级二级三级 | 中国美白少妇内射xxxbb| 久久影院123| 日日摸夜夜添夜夜添av毛片| 欧美日韩视频高清一区二区三区二| kizo精华| 午夜免费鲁丝| 女人久久www免费人成看片| 久久97久久精品| 国产一区二区三区综合在线观看 | 人妻夜夜爽99麻豆av| 99久国产av精品国产电影| 亚洲国产日韩一区二区| 亚洲一级一片aⅴ在线观看| 简卡轻食公司| 熟女av电影| 我的女老师完整版在线观看| 亚洲欧美中文字幕日韩二区| 亚洲人成网站在线播| 人妻制服诱惑在线中文字幕| 欧美bdsm另类| 亚洲国产精品成人久久小说| 久久av网站| 草草在线视频免费看| 大香蕉97超碰在线| 亚洲av成人精品一区久久| 日产精品乱码卡一卡2卡三| 最近手机中文字幕大全| 亚洲精品一二三| 久久久久视频综合| 中文字幕制服av| 蜜臀久久99精品久久宅男| 人妻系列 视频| 国产黄频视频在线观看| 欧美成人精品欧美一级黄| 欧美日韩精品成人综合77777| 亚洲精品国产av蜜桃| 日本wwww免费看| 乱码一卡2卡4卡精品| av又黄又爽大尺度在线免费看| 在线观看一区二区三区激情| 丰满乱子伦码专区| 一个人看视频在线观看www免费| 国精品久久久久久国模美| 亚洲经典国产精华液单| 日本欧美国产在线视频| 日韩av不卡免费在线播放| 国产视频内射| 22中文网久久字幕| 免费观看的影片在线观看| 国产精品99久久久久久久久| 99久久中文字幕三级久久日本| 简卡轻食公司| 午夜免费男女啪啪视频观看| 中文字幕av成人在线电影| 99九九线精品视频在线观看视频| 内地一区二区视频在线| 2022亚洲国产成人精品| 国产v大片淫在线免费观看| 少妇人妻 视频| 久久精品国产鲁丝片午夜精品| 97超视频在线观看视频| 赤兔流量卡办理| 国产综合精华液| 伦理电影大哥的女人| 午夜老司机福利剧场| 精品熟女少妇av免费看| 99热6这里只有精品| 黄片无遮挡物在线观看| av线在线观看网站| av又黄又爽大尺度在线免费看| 久热这里只有精品99| 成人18禁高潮啪啪吃奶动态图 | 免费黄色在线免费观看| 3wmmmm亚洲av在线观看| av在线app专区| 五月玫瑰六月丁香| 日韩成人伦理影院| 毛片一级片免费看久久久久| 高清黄色对白视频在线免费看 | kizo精华| 卡戴珊不雅视频在线播放| 夜夜看夜夜爽夜夜摸| 熟女人妻精品中文字幕| 免费观看a级毛片全部| 国产深夜福利视频在线观看| 大片电影免费在线观看免费| 人人妻人人爽人人添夜夜欢视频 | av在线app专区| 最近最新中文字幕免费大全7| 久久精品熟女亚洲av麻豆精品| 中国国产av一级| 国产在线免费精品| 毛片女人毛片| 亚洲真实伦在线观看| 国产91av在线免费观看| 大码成人一级视频| 国产伦理片在线播放av一区| 18禁在线无遮挡免费观看视频| 亚洲欧美精品自产自拍| 国产亚洲一区二区精品| 菩萨蛮人人尽说江南好唐韦庄| 欧美97在线视频| 国产高清国产精品国产三级 | 亚洲精品日本国产第一区| 日产精品乱码卡一卡2卡三| 午夜精品国产一区二区电影| 自拍欧美九色日韩亚洲蝌蚪91 | 黄片无遮挡物在线观看| av黄色大香蕉| 精品一区在线观看国产| 性高湖久久久久久久久免费观看| 亚洲精品日本国产第一区| av播播在线观看一区| 亚洲精品一区蜜桃| 久久久精品94久久精品| 国产精品.久久久| 99久久精品国产国产毛片| 日日啪夜夜撸| 精品亚洲乱码少妇综合久久| 欧美另类一区| 三级经典国产精品| 亚洲va在线va天堂va国产| 99精国产麻豆久久婷婷| 午夜老司机福利剧场| h日本视频在线播放| 91在线精品国自产拍蜜月| 中文资源天堂在线| 夫妻午夜视频| 久久精品熟女亚洲av麻豆精品| 中国三级夫妇交换| 中文字幕人妻熟人妻熟丝袜美| 草草在线视频免费看| 免费黄网站久久成人精品| 26uuu在线亚洲综合色| 在线亚洲精品国产二区图片欧美 | 国产在线视频一区二区| av不卡在线播放| 久久99蜜桃精品久久| 新久久久久国产一级毛片| 亚洲精品国产成人久久av| 成人亚洲精品一区在线观看 | 插逼视频在线观看| 国产乱来视频区| 少妇人妻久久综合中文| 国产成人午夜福利电影在线观看| 欧美成人a在线观看| 亚洲av欧美aⅴ国产| 亚洲av不卡在线观看| 大码成人一级视频| 国产在线视频一区二区| 日韩亚洲欧美综合| 欧美日韩精品成人综合77777| 欧美一级a爱片免费观看看| 色视频在线一区二区三区| 欧美三级亚洲精品| 男人狂女人下面高潮的视频| 亚洲国产欧美在线一区| 99国产精品免费福利视频| 日韩免费高清中文字幕av| 一区二区三区精品91| 精品亚洲成国产av| 偷拍熟女少妇极品色| 欧美日韩一区二区视频在线观看视频在线| 久久精品久久久久久久性| 丰满人妻一区二区三区视频av| 蜜桃在线观看..| 欧美成人一区二区免费高清观看| 国产精品国产三级专区第一集| 亚洲图色成人| 欧美少妇被猛烈插入视频| 黄色日韩在线| 久久久久国产精品人妻一区二区| 久久久成人免费电影| 日韩在线高清观看一区二区三区| 插阴视频在线观看视频| 欧美日韩在线观看h| 亚洲第一av免费看| 国产av国产精品国产| 久久 成人 亚洲| 亚洲精品aⅴ在线观看| 中文字幕免费在线视频6| 夫妻午夜视频| 久久国产精品大桥未久av | 91狼人影院| 日本一二三区视频观看| 久久国产乱子免费精品| 中文字幕久久专区| 少妇猛男粗大的猛烈进出视频| 久久热精品热| 日日啪夜夜爽| 超碰av人人做人人爽久久| 一级毛片黄色毛片免费观看视频| 国产无遮挡羞羞视频在线观看| 国产欧美另类精品又又久久亚洲欧美| 免费看光身美女| 亚洲欧美中文字幕日韩二区| 26uuu在线亚洲综合色| 欧美变态另类bdsm刘玥| 国语对白做爰xxxⅹ性视频网站| 日产精品乱码卡一卡2卡三| 最近最新中文字幕大全电影3| 一级毛片久久久久久久久女| 欧美xxⅹ黑人| 国产91av在线免费观看| 国产视频首页在线观看| 欧美日韩一区二区视频在线观看视频在线| 免费看日本二区| 日本猛色少妇xxxxx猛交久久| 成人亚洲精品一区在线观看 | 亚洲精品aⅴ在线观看| 亚洲人成网站在线播| 成人影院久久| 制服丝袜香蕉在线| 中文字幕免费在线视频6| 日韩强制内射视频| 在线天堂最新版资源| 如何舔出高潮| 亚洲欧洲日产国产| 国产av精品麻豆| 亚洲av综合色区一区| 九色成人免费人妻av| 老司机影院毛片| 亚洲精品成人av观看孕妇| 各种免费的搞黄视频| 九草在线视频观看| 亚洲精品成人av观看孕妇| 国产欧美另类精品又又久久亚洲欧美| 精品少妇黑人巨大在线播放| 国产精品一区www在线观看| 国产精品国产三级专区第一集| 亚洲精品国产av蜜桃| 十分钟在线观看高清视频www | 简卡轻食公司| freevideosex欧美| 纯流量卡能插随身wifi吗| 国产精品秋霞免费鲁丝片| 日韩视频在线欧美| 欧美另类一区| 精品少妇黑人巨大在线播放| 美女福利国产在线 | 久久久久久伊人网av| 欧美一级a爱片免费观看看| 亚洲内射少妇av| 99re6热这里在线精品视频| 久久99热这里只频精品6学生|