導體在含有電阻、電容、電感導軌電路上的運動規(guī)律探析

梁明智

（赤峰學院 物理與電子信息工程系， 內(nèi)蒙古 赤峰024000）

導體在含有電阻、電容、電感導軌電路上的運動規(guī)律探析

梁明智

（赤峰學院 物理與電子信息工程系， 內(nèi)蒙古 赤峰024000）

本文分析討論了在含有電阻、電容、電感導軌電路上導體的運動規(guī)律，發(fā)現(xiàn)接電阻、電容和電感時導體棒的運動規(guī)律是不同的，對于接電阻時，最終導體棒將作勻速直線運動；接電容時，導體棒最終將作勻加速直線運動，而接電感時，根據(jù)電阻的不同，導體棒最終也將作勻速直線運動.

電流；節(jié)點；初始值；終了值；拉普拉斯變換

在電磁學中，經(jīng)常會涉及在傾斜的光滑導軌上接有電阻、電容或電感時，放在導軌上的金屬棒的運動規(guī)律問題，下面就這一問題進行詳細的討論.

設地面上有一與水平面成θ角的固定光滑導軌MN和PQ，兩導軌的間距為L0，其電阻可略，空間存在有與導軌平面垂直的勻強磁場，磁感應強度大小B，一質(zhì)量為m，電阻為R的導體棒AB放在導軌上并和導軌有良好的接觸.下面討論開關S分別與電阻、電容或電感相連時導體棒的運動規(guī)律.

1 開關S與電阻R0相連

設t=0時將導體棒由靜止釋放，t時刻時棒沿導軌向下的速度為V，則根據(jù)電磁感應和牛頓第二定律有：

當t=0時，V(0)=0，則該方程的解為：

（2）最終導體棒將作勻速直線運動，其速度為：

2 開關與電容C相連

設電容開始時所帶的電荷量為0，t=0時將導體棒由靜止釋放，t時刻時棒沿導軌向下的速度為V，此時電路中的電流為I，電容兩端的電壓為uc，則根據(jù)基爾霍夫定律和牛頓第二定律有：

整理后有：

解有：

對UC(S)求反拉普拉斯變換有：

由(2)式得導體棒的速度為：

下面對導體棒的速度進行如下討論：

（1）導體棒的運動可理解為勻加速直線運動與速度按指數(shù)規(guī)律增加運動的合成，若令，可知τ越大，導體棒的速度增加的越慢，而τ的大小只取決于電路本身與初始條件無關.

（2）若t>>τ時導體棒運動速度為：

由(6)式可知導體棒最終將作勻加速直線運動.

（3）若回路電阻R=0，則導體棒開始就作勻加速直線運動，其加速度為

3 開關與電感L相連

在t=0時將導體棒由靜止釋放，t時刻時棒沿導軌向下的速度為V，此時電路中的電流為I，則根據(jù)基爾霍夫定律和牛頓第二定律有：

由（7）、（8）式整理得：

討論：⑴若方程S2+aS+b=0有兩個實數(shù)根，即：R>兩實根為：

則由(11)式有：

對I(S)求反拉普拉斯變換有：

由(7)式導體棒的運動速度經(jīng)整理后其形式為：

上式表明：（1）當電阻很大時，導體棒的速度單調(diào)地趨于某一定值，導體棒的運動不僅不是周期的而且不是往復的，即將導體棒釋放后，將慢慢地作勻速運動.其最終速度為：

（2）若方程S2+aS+b=0有一個實數(shù)根，即其實根為：

則由(11)式有：

對I(S)求反拉普拉斯變換有：

由(7)式導體棒的運動速度經(jīng)整理后其形式為：

從上式可以看出導體棒的運動仍不是往復運動，將導體棒釋放后，導體棒會很快達到勻速運動，其最終速度為：

（3）若方程S2+aS+b=0有兩個復數(shù)根，即其復根為：

則由(11)式有：

對I(S)求反拉普拉斯變換有：

由(7)式導體棒的運動速度經(jīng)整理后其形式為：

上式表明，當電阻很小時，導體棒的速度可理解為勻速直線運動與振幅按指數(shù)規(guī)律減小的周期運動的合運動，α越大，振幅減少的越快.

討論：（1）導體棒的最終速度為

（2）若回路中電阻不計，即R=0，則導體棒將作簡諧振動.

由以上的分析可知，接電阻、電容和電感時導體棒的運動規(guī)律是不同的，對于接電阻時，最終導體棒將作勻速直線運動；接電容時，導體棒最終將作勻加速直線運動，而接電感時，根據(jù)電阻的不同，導體棒最終也將作勻速直線運動.

〔1〕數(shù)學手冊[M].北京：高等教育出版社.

〔2〕賀洪江,王振濤.電路基礎[M].北京：高等教育出版社.

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1673-260X（2014）06-0015-02