概率論在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用研究

張曉梅，李紅梅

（四川文理學(xué)院 數(shù)學(xué)與財經(jīng)學(xué)院， 四川 達(dá)州635000）

概率論在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用研究

張曉梅，李紅梅

（四川文理學(xué)院 數(shù)學(xué)與財經(jīng)學(xué)院， 四川 達(dá)州635000）

高等數(shù)學(xué)是難度較大的學(xué)科，其中很多計算、證明問題如果找不到正確方法就很難進(jìn)行解答.然而在解題時如能恰當(dāng)運用概率論知識不但可以提高解題效率，而且還能幫助學(xué)生樹立解答數(shù)學(xué)問題的信心.本文通過對概率論的相關(guān)知識進(jìn)行介紹，詳細(xì)探討了概率論在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，以期為提高高等數(shù)學(xué)教學(xué)效率提供參考.

概率論；高等數(shù)學(xué)；應(yīng)用；研究

概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)分支，在解答高等數(shù)學(xué)證明問題時，巧妙的利用概率論能化難為易，達(dá)到事半功倍的解題效果，從而培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣.

1 概率論概述

人們對概率的研究始于17世紀(jì)中期，直到18世紀(jì)概率論才得以迅速發(fā)展，其中瑞士數(shù)學(xué)家雅科比·伯努利是概率論發(fā)展的奠基人，他提出著名的“伯努利大數(shù)定理”，其含義為：在多次的重復(fù)試驗中，頻率表現(xiàn)出逐漸穩(wěn)定的趨勢.該定理的提出推動了概率論的發(fā)展，概率論也從此被廣泛應(yīng)用于人類生產(chǎn)生活的不同領(lǐng)域中.

概率論是數(shù)學(xué)的一個分支，由法國數(shù)學(xué)家普拉斯在19世紀(jì)初期完成概率論學(xué)科的體系構(gòu)建，其在《概率的分析理論》中對概率進(jìn)行明確定義：全體共包括N個事件，假定其相同程度確定，發(fā)生E情況共由n個事件組成，則E情況發(fā)生的概率為n/N.

概率論理論發(fā)展到今天已非常成熟，在農(nóng)業(yè)技術(shù)、軍事、工程技術(shù)、生物學(xué)、物理學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)得到了廣泛應(yīng)用，提高了人們對事件發(fā)生的研究水平，為人類社會的發(fā)展和進(jìn)步奠定了堅實的基礎(chǔ).

2 概率論在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

高等數(shù)學(xué)中部分題目難度較大，如果采用傳統(tǒng)的思路進(jìn)行分析，不但解題過程繁瑣，而且得出正確結(jié)果的可能性較小.此時如將概率論引入到解題過程中，往往能夠迅速得出結(jié)果.下面對概率論在不同數(shù)學(xué)題目中的應(yīng)用進(jìn)行探討，以供解題參考.

2.1 利用概率分布簡化解題過程

概率分布是概率論知識中的基礎(chǔ)概念，利用概率分布性質(zhì)可以簡化解題過程，提高解題效率.實際解題時可利用處于0～1之間的數(shù)字構(gòu)造某些事件發(fā)生的概率，借助概率分布知識最終達(dá)到解題的目的.利用該種解題方法可簡化解題過程，提高計算結(jié)果的準(zhǔn)確性，從而使學(xué)生更為清晰的了解高等數(shù)學(xué)與概率論間的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣.

這一題目時，需首先對其進(jìn)行分析.即依據(jù)不均勻規(guī)則將一枚硬幣共拋出A次，每次硬幣掉落在地面上時正面朝上的概率為P=x/x+y，在上拋A次整個過程中出現(xiàn)正面次數(shù)用字母T表示，于是P={T=k})，由分布規(guī)律理論可知：

最后便可順利的得出該題目的計算結(jié)果：

又因為Eζi=Dζi=1，由同分布中心極限定理知：

2.2 概率論在計算級數(shù)與廣義積分的應(yīng)用

概率論知識中方差和數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量具有的特征，借助隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望與方差存在的關(guān)系，可解答高等數(shù)學(xué)中求解級數(shù)和廣義積分類型的題目.

首先，在高等數(shù)學(xué)中求解級數(shù)是難度較大的題目，因此更應(yīng)注重數(shù)學(xué)期望與方差知識的引入，進(jìn)而化簡解題過程，得出結(jié)果.

其次，解答高等數(shù)學(xué)問題時可變形被積函數(shù)，將其轉(zhuǎn)變?yōu)檎龖B(tài)分布隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，再進(jìn)行適當(dāng)運算，便能順利的解答出相關(guān)題目.

最后，計算積分時可采用分布計算法，但是利用該種計算方法需要多次運用分布積分法，同時還要進(jìn)行極限的計算，因此計算過程十分繁瑣.為高效的解答出相關(guān)題目，可借助指數(shù)分布隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望解答相應(yīng)題目，以降低解題難度.

3 概率論在高等數(shù)學(xué)不等式證明中的應(yīng)用

高等數(shù)學(xué)中不等式的證明是較為典型且具有一定難度的一類題目，部分學(xué)生在解答該類題目時往往不知從何下手.其實只要適當(dāng)引入概率論內(nèi)容，有些問題便可迎刃而解.

例如，已知b=1，2，3...n，xb≥0，求證不等式成立.解答該題目時應(yīng)先將模型建立起來，即假設(shè)隨機(jī)變量 ζ 為P（ζ=xb）1/n,b=1,2,3...n，且當(dāng)xb=0時公式明顯成立.當(dāng)xb＞0時，定義函數(shù)f（a）=lna（a＞0），則f（a）=lna（a＞0）為上凸函數(shù).由f（Eζ）≥Ef（ζ）[4]可知：

兩邊取e為底的指數(shù)，則可得

4 總結(jié)

很多高等數(shù)學(xué)題目難度較大，為降低解題難度，教學(xué)實踐中教師應(yīng)幫助學(xué)生正確理解概率論的相關(guān)概念，并積極的鼓勵和引導(dǎo)學(xué)生使用概率論知識分析數(shù)學(xué)問題，尋找出簡單的解題思路，進(jìn)而提高解題效率，保證計算結(jié)果的正確性，幫助學(xué)生樹立起解答數(shù)學(xué)問題的信心，逐步培養(yǎng)其學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的熱情.

〔1〕許麗利.淺談概率論在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].蘭州教育學(xué)院學(xué)報,2013（03）:118-119+122.

〔2〕卓澤強(qiáng),魏文玲,李小龍.概率思想在 高等數(shù)學(xué)計 算中的應(yīng)用研究[J].科技資訊,2010（20）:196-197.

〔3〕卓澤強(qiáng),魏文玲,李小龍.概率思想在 高等數(shù)學(xué)證 明中的應(yīng)用研究[J].科技資訊,2010（30）:177.

〔4〕李瑞軍.如何促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)概率論的主動性［J］.北京電力高等專科學(xué)校學(xué)報(社會科學(xué)版),2012（10）.

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1673-260X（2014）06-0004-02